Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Столкновениявеи в области барьера будем пренебрегать. Показать, что число падающих эа единицу времени с одной стороны барьера частиц, способных преодолеть барьер высотой е; равно Сехр ( — ИРТ), где С не зависит от е'. Выразить через е'е и С полный ток через барьер, к которому приложен электростатический потенциал 23Е, и тем самым найти сопротивление барьера. Определить также флуктуации проинтегрированного по времени Я полного тока через барьер и убедитьсл таким образом в правильности выведенного перед этим соотношения.
Решение Число частиц в единице объема со значениями импульса в области Ырк, е(ру, е(ре вблизи р„, ру, р, равно Глава за Число частиц с импульсами, лежащими в интервале (р„р,+ Ир,) (ось г предполагается 'перпендикулярной плоскости барьера), составляет Число частиц с г-компонентами импульса в этом интервале, попадающих на барьер (его поверхность предполагается равной и) за единицу времени, равно числу частиц, имеющих г-компоненты нггпульса в указанной области и находящихся в объегге (р,(т) а. Определим величину р,' нз соотношения р,'Ч2ш = К Число электронов с пмнульсом, болыпим чем р,', проникающих через барьер за единицу времени, равно вв в В ~ ехР ( — о от) * о г)Р*= Во ~ ехР ( — ЬГ ) дх= Р', г = ВоКТ ехр ( — — ) = С ехр ( — —,) ° Ясли к барьеру приложен электростатический потенциал 2ЬЕ, то высота барьера с двух сторон будет соответственно равна Уо — ебЕ н Ро + ебЕ.
Поэтому полный средний ток через барьер равен Для малых значений бЕ это выражение принимает вид г в "огсз' 2Се ехр ( — — )— хт ) вт Поэтому сопротивление барьера В определяется соотношением 1 Свг во — — ехр ( — +) . Поскольку классические частицы независимы, можно предположить, что число частиц, пересекающих барьер с любой стороны, характеризуется распределением Пуассона. Для каждого направления среднее число частиц, пересекающих барьер за время Е, равно СЕехр ( — — „' ) Этой же величине равна и среднеквадратичная флуктуация числа частиц, пересекающих барьер. Ясли числа таких частиц обозначить через и, и п„а перенесенный заряд — череа вл, то имеем 0 = еяг — ея„ й(лг = егггп1+ егия'= 2е С ехр ( — — о) В.
Завиеимоеть флуктуаций от времени Сравнение с выражением для 1/Л дает — л'ае ддг 8 что находится в согласии с полученным ранее результатом. 23.6. Флуктуирующая величина р (1) состоит нз ряда идентичных импульсов вида ) (г), случайньгм образом распределенных во времени. Предположшг, что шкала времени разделена на столь небольшие интервалы одинаковой длины 1,+, — 1, = б, что число импульсов и„. центры которых лежат в интервале между 1, и 1е., и равно О или 1; тогда можно написать (если центр / (1)) приходится на 1 = О) у(1) =,'", п,у(à — 1,). Так как величины п„независимы и каждан характеризуется распределением Пуассона, имееме Дп„=п,=йб Дп„Дп,=О, гФа, где Х вЂ” среднее число импульсов в 1 с. Вывести соотношения у(г)=), ~~(Р) )1 ее Ь(т)=~ ~ 1Я~Ь+ )(1. Репгение Первый результат легко получается: р р) = ~ п,у (1 — 1„) = ).б,", у (г — г„) = 1, ~ у (Р) (г', г е» где совершен предельный переход б — ь О, позволяющий заменить сумму интегралом.
Второй результат выводится следующим образом. Имеем др (г) = у (е) — р у(е) = ~ п„1 (8 — е,) — ~ п„~ (1 — 8е) = С'дп ~(1 а4о Глава 28 следовательно, йу(~) йу(К+ ) = ~ ~ йл1(2 — 2„'Ц~~~йп,~(г+ — 2,)1= = 'Я ввлгвП)(в — в,)1(8+т — ~в)= = )~ »~' 31 (в — Е,) 1 (в + т — Е„) = г = Я ~ 1 (8) 1"(~ + т) вп', где мы снова устремили 6 к нулю при замене суммы интегралом.
23.7. Ток 1 (~) состоит из случайной последовательност и импульсов, появляющихся со средней частотой ), импульсов в 1 с. Каждый импульс заключается в появлении тока постоянно й величины 1в, продолжающегося в течении времени 2в. Найт н корреляционную функцию. Решение Иа результата предыдущей задачи находим )( ).1;(го — (т(), (т(<г,в ( О в противном случае, так как подынтегральное выражение равно 1, 'в области, в которой два импульса, смещенные по отношению друг к другу ка величину т, частично 'перекрываются, и равно нулю всюду вне атой области. Длина( области перекрытия равна ~а — ( т ) при ( т ) ( 1в~ и нулю в противном случае. 23.3. Спектральная фупкпия С„("ю) вещественной флуктуирующей величины у (~), для которой значение у можно сделать равным нулю при соответствующем выборе уровня отсчета, определяется следующим образом.
Определим сначала усеченное значение уз (г), которое равно у (~) в интервале значений г длиной Ю и нулю всюду вне его. Обозначим через Уз (во) фурье-образ функции уз ($), так что рз(в) == ~ Уз(ю) ехр(йод) Йо. 1 = -рБ Тогда функция Св (ю) определяется соотношением Са(ю)=11ш о !Уз(св)~~ 2 8 вв 541 Зависимость уСвуитуазиа от времени где черта обозначает усреднение по ансамблю. Покааать, что со у'= ~ 6„(со) осо. о Оценить 6„(со) в случае, когда величина у (с) складывается из последовательности одинаковых импульсов, появляющихся в случайные моменты времени.
Для простоты предполагается, что интеграл по времени от каждого импульса равен нулю; тогда величина у (4) такясе равна нулю и преобразование уровня отсчета не является необходимым. Показать для этого примера, что, для того чтобы определение 6 (ю) было удовлетворительным, необходимо перейти к пределу больших Я и произвести усреднение по ансамблю. Рещение Согласно известному свойству фурье-преобразования, имеевс ) УБ (~)! Ссс ) ( ~ Б (СО) ! С)СО ° В пределе больших Я левая часть соотношения, являющаяся интег ралом от у' по интервалу времени о', становится равной л~'. так как уз (с) — вещественная величина, имеем УБ (со) = = УБ ( — ю); следовательно, ( УБ (со) (в =- ! У'Б ( — со) )в.
Поэтому правую часть можно представить в виде интеграла от нуля до бесконечности: уо=Пш З ~ )УБ(,0))оде. Б Очевидно, выполнение усреднения по ансамблю в правой части не нарушит справедливости выражения, поэтому получаем сь Уо= ~ 6у(со)йо. о Предположим теперь, что +ос у(с)= У ~(с — е,), с= — со где моменты 4„распределены случайно, причем на единицу времени приходится в среднем )ь моментов 1„. Если длина интервала Я очень велика по сравнению с продолжительностью импульса, можно написать (пренебрегая весьма Глава 28 малыми краевыми эффектами) уз(с) =Х ~(« — г.)' суммирование выполняется по всем г, для которых «„ лежит на отрезке', длиной Я, используемом в определении уе («). Отсюда имеем — ~ Г(8 — «„)ехР( — йод) й= 1 ~/Б ) (1 — 1а) ехр [ — йо (1 — г„)[ Й ($ — 1„) ехр ( — «он'„) = 1 ~/ 2з Уз(а) = ~', а = Р (а) ',"„ехр ( — йод) где Р (а) — фурье-образ импульса с «центромэ в начале координат, т.
е. Р(а) == ) Г(1)ехр( — ~оМ)й. [/2я Это дает [ Уз (а) [з = [ Р (а) [* ~ У ехр ( — йод,) )~. а 1 Уз (а) !з =- ЛЯ [ Г (а) ~з, так что ~у(а) = о [Уз(а) [э= 2Л[Р(а) ['. Отсюда ясно, что мы обязательно должны выбрать большое значение 8 и провести усреднение по ансамблю. Поэтому определение Если длина интервала Я очень велика по сравнению с [/а, то суммирование в правой части будет выполняться по комплексным числам с единичным модулем и случайными фазами, причем число членов в сумме равно в среднем Ло'.
Квадрат модули атой суммы равен квадрату расстояния от начала координат до конечной точки двумерных случайных блуждений, состоящих в среднем из ЛЯ шагов единичной длины. Независимо от величины Я квадраты этих расстояний будут флуктуировать в широккх пределах. Только в том случае, когда мы возьмем среднее по направлениям шагов путем усреднения по всем возможным значениям 1„ (т.
е. произведем усреднение по ансамбл«о), мы получим определенное значение, а именно среднеквадратичное смещение при случайном блуя«дании из ЛЯ единичных шагов, которое точно равно ЛЯ. Поэтому для достаточно больших значений Я Завиеимаеть флуктуаций вт времени 6„(в), не содержащее ни перехода к пределу болыпих 8, ни усреднения по ансамблю, не дало бы разумных результатов в рассмотренном частном случае, т. е. не было бы удовлетворительным.
23.9. Линеиная система имеет функцию отклика (передаточную функцию)>) А (а), т. е. сигнал х (г) = ехр (гвг) на входе системы дает сигнал у (г) =- А (в) ехр (1вг) на выходе. Определить спектральную функцию выходного сигнала Со (в), если флуктуирующвй входной сигнал имеет спектральную функцию 6> (в). Используя этот результат, выразить средний квадрат выходного сигнала через спектральную функцию входного сигнала. Решение Обозначая фурье-образ усеченного входного сигнала (определенного, как в задаче 23.8) через Хя (а), имеем 6,(в) = Иш — ~ Хя(о>) ~з. 2 я та Фурье-образ выходного сигнала, вызванного усеченным сигналом на входе, равен А (в) Хя (в). Для достаточно больших Я выходной сигнал для усеченного сигнала на входе будет отличаться от усеченного сигнала на выходе уя (г) только пренебрежимо малыми краевыми эффектамн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
