Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Обращаясь теперь к результату, полученному для классической переменной, заметим, что обобщенной силой, связанной с Р, является Е„, т. е. 522 Г ° 21 х-компонента электрического поля. В электрическом поле ЕезЕ Р =г1'ех= —" ттз о так что дР„Лез дЕе тм1 Мы видим, что результат ЬР„''=ЙТ ( — *) справедлив только для случая ИТ )) аю . Это условие оаначает, что состояния системы, между которыми Р„имеет ненулевые матричные элементы, т.
е. состояния, при переходе между которыми квантовое число осциллятора изменяется на ~ 1, будут различаться по энергии ка величину, гораздо меньшую ЕТ. Это согласуется с критерием классического поведения системы, использованным в предыдущих задачах. 21.5. Предположим, что величину Х можно представить в виде линейной суперпозиции нормальных координат д„системы (кинетическая энергия равна ~~ ",'ад'„потенциальная энергия равна е ~ ~зюга)~ Х=У, а,д„ (величина Х может быть, например, поперечным смещением средней точки натянутой струны). Среднеквадратичную флуктуацию величины Х вшжно вычислить, либо используя результаты задачи 21.2, либо применяя известные результаты для д,'.
Предполагая, что Х является классической переменной (и учитывая, как это влияет ка значения коэффициентов а), показать, что оба метода приводят к одинаковым результатам. Решение Рассмотрим прежде всего предположение о том, что Х является классической величиной. Матричные элементы Х между состояниями, отличающимися по энергии на й ю„, пропорциональны ез„'ю,~'. Если величина и„! ю,м пренебрежимо мала, то эти матричные элементы будут пренебрежимо малы для состояний, разность энергий которых сравнима с. йТ (исключение составляет лишь случай Ью, (( ЙТ). Это означает, что все осцилляторы, которые играют заметную роль в задаче, могут рассматриваться классически. Чтобы применить результат задачи 21.2, заметим, что обобщенная сила Р„, влияющая на Х, обусловливает обобщенную силу Флуктуации обобщенних механических нерененних 523 Рхсг„влинюЩУю на ноРмальнУю кооРДинатУ бт и поэтомУ вызовет изменение среднего значения этой координаты на величину Рхег„/в„'.
Отсюда следует, что результирующее отклонение величины Х (от нуля) будет задаваться соотношением Это означает, что Хо /Т б /Т у '"> бух те Второй метод (так как д„д„= О, г ~о) дает Хг ~ ге Далее, '/,в„'дг = '/,йТ, поскольку, как говорилось, все осцилляторы, дающие заметный вклад, должны рассматриваться как классические. Подставляя д,', получаем тот же окончательный результат, что и с помощью первого метода.
21.6. Показать„что если Х, и Хг — две переменные, характеризующие совершенно классическую систему, а Р, и Рг — соответствующие обобщенные силы, то корреляционная функция для флуктуаций двух координат задается соотношением ЛХ / Х ( дле ) ( дХз ) Предполагается, что система находится в контакте с термостатом при температуре Т. [3 а м еч а н и е: В данном случае нетрудно получить тот же результат для квантовомеханической системы, если и для нее поведение Хд и Хг предполагается классическим. Необходимо только слегка модифицировать доказательство, использованное в задаче 21.2.) Решение Рассмотрим гамильтониан «о — РгХг РгХг где Но, Хд и Х, являются функциями обобщенных координат и сопряженных импульсов г1, р. Тогда ) Хе ехр ( — (Но — РгЛг — Рглг)/ау) бЧ бр Хг— 1 охр( — (Но — РгХг — РгХг)1/ьТ) бя бр Гаага 31 Отсюда имеем дХ, ь 1 ) ХьХг ехр [ — (Но — РьХь — агХг)/аТ] ььЧ др ( — ')— дрг )т аТ ) ехр[ — (Но — РьХь — РгХгУЬТ]аьЧИР 1ь Хь ехр [ — (Но — РьХь — ГгХгУ ЬТ] "Ч др Х (' ехр [ — (Но — РьХь — ГгХг)]аТ] дЧ др ~ Хг ехр [ — (Но — ЕьХь — ГгХг)ь1сТ] др ь]Ч Х )ь ехр [ — (Но — ГьХь — НгХг)ььЬТ] аьЧ Ыр 1 — — — 1 ИТ = — (ХьХг — ХьХг) = — ДХьДХг.
аТ То же самое выражение получается, очевидпо, для (дХг]дРь)т. 21.7. Проводник соединен топким проводом с очень большим проводником, причем оба проводпика и соединяющий их провод сделаны из одного и того же металла. Большой проводник играет роль термостата (с температурой Т) и резервуара электронов (с химическим потенциалом р) для мепыпего проводника. Меныпий проводник в присутствии болыпого имеет емкость ьэ.
Флуктуации Дл числа электронов в меньшем проводнике можно определить либо путем применения результата для флуктуаций заряда конденсатора (задача 21.3), либо путем использования выражения для флуктуаций числа и, выведепкого для большого канонического апсамбля (задача 20.5). Показать, что эти дна»одхода приводят к одипаковому результату. Решеияе Среднеквадратичная флуктуация величины заряда еДи опре деляется соотношением — — "= — йТ, 2 ~' 2 откуда имеем — 5'аТ длг аг С другой стороны, при испольаовании большого канонического ансамбля получаем следующий результат: д =и( — ,'") . Входящий сьода химический потенциал представляет собой, очевидно, химический потенциал электронов в резервуаре частиц, который также равен химическому потенциалу в меньшем проводнике (флуктуации ке влияют па величину в правой части).
Прк постоянном температуре химический потенциал мояьет возрасти Флуктуации обобщенних механичеехих неременних 525 при добавлении электронов в систему. Эти добавочные электроны будут находиться на поверхности металла и увеличивать химический потенциал только за счет увеличения электростатической энергии электронов в системе. Если число электронов в меньшем проводнике увеличится на бп, то элктростатический потенциал возрастет от нуля до значения ебп/6 и дополнительная энергия электронов, равная увеличению химического потенциала бр, составит ехбп!6.
Таким образом, ехби бр = —. Следовательно, и два выраьчения, выведенные выше, эквивалентны. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА т. Ландау Л. Д., Лилбилиц И. М., Статистическая физика, М., 1964. ГЛАВА 22 Флуктуации термодинамических переменных.
Системы с постоянным давлением, изолированные системы 22.1. В задаче 20.1 мы рассмотрелн флуктуации энергии системы при нулевом внешнем давлении, находящейся в контакте с термостатом. теперь нас будут интересовать флуктуации термодинамических величин для системы с произвольным фиксированным внешним давлением, находящейся в контакте с термостатом.
Чтобы набежать трудностей, связанных с введением иаобарического ансамбля (ср. задачу 3.18), будем учитывать фиксированное внешнее давление р путем введения дополнительного члена рп в гамильтопиан, где и — оператор, связанный с объемом. Это дает иам возможность использовать канонический ансамбль. а) Наблюдаемой, связанной с гамильтонианом системы Нв + + ри, является Е + ри, где Š— внутренняя энергия. Флуктуации этой величины при фиксированном давлении р можно найти точно тем же путем, что и флуктуации энергии в случае нулевого давления (задача 20.1).
Показать, что этот метод приводит к следующему реаультату для флуктуации энтропии: А8' = йС„. б) Покааать также, что ( зу' ) (Напомним результат задачи 21.3: Апв = — йТ (дЫдр)т ) Решение а) Для случая нулевого давления (задача 20.1) было получено выражение йТв ( дЕ ) Рассуждая аналогичным образом в случае фиксированного давле- ния р, приходим к выражению (ЬЕ+ рМ)в = ггТв ~ — гв)1 в С. И". МгСотЫе, У. У. ТЬошрюв РЬув1са1 1,аЪогаГогу, 0шгегвму еу Ргеаа1вл, Ргеаа!ан.
Флуктуации термодинамические кераиекниа 527 Но, согласно первому закону термодинамики, ТЛЯ = ЛЕ+ рддр, так что левая часть приведенного вьппе выражения равна Т' ехо'с, тогда как пРаваЯ часть Равна >еТеСр. ПозтомУ имеем М = )оСр.
Заметны, что был использован следующий метод выяснения смысла флуктуации такой термодинамической величины, как энтропия. Из обычного термодинамического рассмотрения были получены линейные соотношения меокду изменениями этой термодинамической величины и изменениями энергии и объема. Затем мы воспользовались этим линейным соотношением, чтобы связать флуктуации термодинамической величины с имеющими совершенно однозначный смысл флуктуациямн чисто механических величин — энергии и объема. б) Обозначая собственные состояния Но + ро через .[ г ), можно написать ~ <г ) о (с> <е [ ехР ( — (Но+ Рир>ст) ( г> т,е У— Яр (и ехр ( — (Но+ ри)>ИТНг 8Р (ехр! — <Но+Рту >от)) У <т ) ехр ( — (Но+ ро)рлТ) ( г> т Дифференцируя по Т при постоянном р и замечая, что операторы (Но + ро) и ехр [ — [Но + ро)>йТ) имеют только диагональные элементы, находим У <г ) и( г> <т ( Но+ ро ( т> <г( ехр( — (Но+ риу>ст) (г> (дй) 1 ( дт )о — >Т ~ ~(г ( ехр [ — (Но+ роу >ст) ( т> ~ <т(о(т><г) ехр[ — (Но+ ри)/>от) [г> Х ч~~ ~<г ( ехр [ — (Но+ ри)>>ст) ( г> ч~~ <т ) Но+ ро ( г> <т ) ехр ( — (Но+ ро)! >от) [ т> Х ~~~ ~<с ) ехр [ — (Но+ роУ~>ст) ) г> = —,[п[Е+ р ) — п(Е+ ри))= 1 1 = — Ы [ЬЕ+ рйп) = — ТНотхЗ.
>сто >сто Следовательно, 528 Глава лл 22.2. Испольауя результаты предыдущей задачи, найти значения ЛЕ' и ЛЕ Ли для системы с фиксированным давлением, находящейся в контакте с термостатом. Решение Имеем ЬЕ = ТЛŠ— рйп. Отсюда следует, что КЕз =- Тзййч — 2рТЬЯЬю+ рт ЫР =- = йТ'Ср — 2рйТз ( — ) — рЧсТ ( — ) Далее, ЬЕЫ= ТЬЗЬи — рЛ~~=ИТ ( — ) +рйТ ( — ) Этот реаультат несомненно может быть применен в самых рааличных формах. Заметим, что прн р = О мы снова получаем значение йТ'Ср для ЛЕ', т, е. результат, который был найден в задаче 20Л. 22.3. Исходя из общего результата предыдущей задачи, показать, что флуктуации внутренней энергии и объема идеального классического газа с фиксированным внешним давлением, находящегося в контакте с термостатом при температуре Т, удовлетворяют соотношениям ЛЕ' = йТ'С„ ЛЬ'Ли = О.
Решение Для идеального газа из Х частиц ри = МАТ; поэтому Подставляя эти выражения и соотношения С„= С, + ~Час в общие выражения для ЛЕ~ и КЕЬи, сразу же приходим к искомым результатам. Эти результаты можно получить непосредственно, исходя из того, что классическое каноническое распределение полной внутренней энергии идеального газа (равной сумме поступатель- Флуктуации термодинамические переменник 529 пой кинетической энергии молекул и внутренней энергии молекул) не зависит от положения молекул, какие бы требования на иих не налагались. 22.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
