Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Таким образом, с|пот К; =16ят)о(кТ)"" Г(г+ 1+ с) ьз (19 2.3) б) 1. В нулевом магнитном поле в соответствии с (18.2 11) имеем о = е'К,. Иепольэуя (19.2.3), получаем и/кт о = 16ятее(о (кТ)"" Г (г + 2) — ' (19.2.4) 2. Теперь можно исключить экспоненциальный член иэ выражения (19.2.4), используя первую строку табл.
18.2.2 или выражение (16.5.3); это дает о=4к1»е»(кТ)" ("+ )„ (19.2.5) 3 (2поенТ) С» в) В соответствии с (18.2.13) а = (2/еТ) (К»/К, — р), где 2 = = *1. При подстановке выражения (19.2.3) получаем се= — ( кТ ("+ ) — 91 = Я вЂ” (г+2 — +) .
(19.2.6) здесь 1 — средняя длина свободного пробега, э = (1нй) (ссеМс)— скорость носителя, волновой вектор которого равен )с, т — эффективная масса, е — энергия и й = Ы2к, где Ь вЂ” постоянная Планка. Тогда выражение (18.2.8а) принимает вид К,= —, ~ е( ~е. се~ г, д(, Эйэ ,) де (19.2.1) о Г*аеа 1У 19.3. а) Используя соображения, приведенные в задаче 16.5, получить выражение для плотности электронов п„, перешедших с донорных примесей в зону проводимости примесного полупроводника прн температуре Т. Предполагая, что применима классическая статистика и что зоны имеют стандартную форму, выразить окончательный результат через плотность доноров №, плотность акцепторов №, эффективную массу т„перешедших электронов н необходимую для перехода энергию активации ею Для простоты положить г = О.
б) Используя результаты п. «а», выразить проводимость о примесного полупроводника и-типа через указанные выше параметры и череа параметр тю введенный в табл. 18.2.2. б) С помощью первой и второй строк в табл. 18.2.2 можно исключить ев из выражения для коэффициента электропроводности, выразив его через плотность носителей заряда 4езтэа 4е таз„ Зщ ( т) /2 (19.3.4) (г О), Решение а) Согласно об очной статистической теории (1, 2) примесных уровней в полупроводниках, вероятность того, что данный уровень занят носителем заряда, описывается выражением у 1 аваев (19.3.1) 1+ д„ехр ((зз — рД(кТ) Л В приведенном выражении н, = — ь — е, — уровень Ферми, ез— энергия ионизации доноров, отсчитываемая от границы зоны проводимости (см.
задачу 19.1), н д — статистический вес, равный Ч, для электронов (др — — 2 для дырок). В правой части величина Л =— = Л'з — № есть полное число донорных центров в единице объема, занятых электронами при Т = О К, и Л„~ — та же величина для Т ) О, а № и № — плотности донорных и акцепторных примесей. Пусть величина Ле= — Л вЂ” Л„представляет собой полнуео плотность ионизованных донорных центров. Рассмотрим отношение Лэи„!Л„, где и„— плотность носителей заряда в зоне проводимости. Представим эту величину в виде (Л~./Л) и„!(Л,„в!Л), подставим вместо п„выражение (16.5.3) и воспользуемся выражением (19.3.1) в предельном случае — р,lкТ >) 1.
Так как п„=— = Л„, находим — =2д„( ь," ) 'ехр( — — з). (19.3.2) При кТ (( зз отсюда следует, что л„(( Л; тогда получаем и =(2д„(У,—.№))" ( ' „," ) ехр ( — — "~). (19.3.3) Пар«асс в асваарввсдаиааа Подставляя теперь вместо н„выражение (19.3.3) и упрощая, находим искомое соотношение 3 ( ) з~~ (2Еа (Л и Жа)) '(2ятнк7) ' ехр ( — З "Г ) .
(19.3.5) 19А. Изучим теперь электропроводность полупроводников с собственной проводимостью. а) Вывести выражение для коэффициента электропроводпости о полупроводника с собственной проводимостью через эффективные массы (нт„, тр), подвижности (ис, ир) и ширину запрещенной зоны (е«) при условии, что можно пренебречь несобственной проводимостью, обусловленной примесными центрами.
Предположить, что в рассматриваемом случае справедлива классическая статистика и что зоны имеют стандартну«о форму. б) Исходя иэ результатов, полученных в п. «а», показать, каким образом по наблюдаемому изменению а с температурой можпо определить ширину запрещенной зоны полупроводника с собственной проводимостью. в) Предполагая, что вещество электрически нейтрально, вывести общее выражение для коэффициента электропроводности полупроводника, в котором электроны и дырки в сравнимых количествах принимают участие в процессе проводимости; выразить результат через плотности доноров и акцелторов. Считать температуру такой, что ббльшая часть примесей лонизована. При каких условиях это выражение сводится к полученному в п. «а»? г) Распространить результат п.
«в» на область температур, предшествующую той, в которой начинает чувствоваться влияние собственных характеристик полупроводника, т. е. на область обеднения. Кратко пояснить зависимость проводимости от температуры (для этого класса веществ. Решение Как показано в задаче 16,5, произведение плотности электронов в зоне проводимости на плотность дырок в валентной зоне определяется выражением (16 1.12). В используемых здесь несколько иных обозначениях ') это вырал~ение имеет вид и«= — (л лл) =Лс~д'~ехр ( 2 т) ' (19.4.1) где ев — = е, — е, — ширина запрещенной зоны.
В рассматриваемой задаче может быть использовано выражение (16.5.3) или пер- «) Сопоставление обозначений: Задача 16.6; аа р«Е Ес Ес "'с асс асс асс Ер Глана 19: а„ар в еа е, та тр Л", Л'с рс, рс 496 Глава 1в вая и вторая строки табл. 18.2.2; соответственно мы можем написать где использованы те я;е обозначения, что и в задачах 19.2 и '19.3. Тогда имеем и;=-(икпр) "=.2( — „, ) (т т ) 'ехр ( — — е).
(19 4 3) а) Для вещества с собственной проводимостью и„=- пр =— гг,; следовательно, проводимость образца„обусловленная дырками в валентной зоне и электронами в зоне проводимости, описывается выражением .=2е ( — '" ) ' (т„тр) Гв(па+ ир) ехр ( — — е), (19,4.4) где и — подвижность носителя. б) Если изменениЯми величины Тв~г (и„-т ир) с темпеРатУРой ггонпго пренебречь по сравнению с соответствующими изменениями экспоненциального члена, то график зависимости 1п о от 1/Т представляет собой прямую линию с наклоном — ее'2к. в) Будем исходить пз уравнения электрокейтральности: ир п„+ Л;г — Л'а + и,', — и„' = О. (1 9.4.5) Здесь ир и и,', — плотности дырок и электронов, связанных с соответствующими примесями, и Л"а и Л а — плотности донорных и акцепторных центров.
В соответствии с условиями задачи величинами ир и и„' можно пренебречь по сравнению с Л', и Лге. Заменяя пр на и,'/и„в упрощенном уравнении электронейтральности и разрешая его относительно и„, получаем гн па = 2 Р~е — Ла)+ ~ 4 (Лге — Ла) +пг~ . (19 4 6) (19.4,7) где ггг определяется выражением (19.4.3). Тогда проводимость, обусловленная наличием электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне, задается соот- ношением и = п„ела + и еир — — ела (Ьи„+ пр), (19.4.8) Лг 2 (2ктакт)в ( 2ям ркТ ) Мг о=п„ем„+иреир — — иге(и„+ир) = Аналогично можно показать, что г1 г гпг ир= —,, (˄— Ле)+~ —,(Л~.— Уе)~+и, ~' (19.4.2а) (19.4.2б) Перепое в повулроводлипах 497 где ип и ир — подвижности и Ь = и„!ир.
Подставляя выражения (19.4.Й и (19.4.7), находим г2(Ь1)(ЛеЛ)+(Ь+1)~4(Лойе)+и (19.4.9) При Л'е = Л'о это выражение переходит в (19.4.4). г) В области обеднения н~ (( ( Л'е — Лт, ! и выражение (19.4.9) принимает внд н ж(Ло — Ло) Ьеир —— — (Лее — Ло) еил. (19.4.10) В этом приближении величина и зависит от температуры так же, как и и„; плотность носителей заряда фактически равна постоянной величине (Л'д — Л',). В этом состоит существенное отличие от случаев, рассмотренных в предыдущих пунктах, где плотность носителей заряда заметно менялась с температурой.
19.5. Рассмотрим термоэлектрические явления в полупроводниках с собственной и примесной проводимостью. а) Найти коэффициент Зеебека се„ для примесного полупроводника п-типа„ выразив его через плотность носителей заряда п. Выразить тот же коэффициент через плотности донорных и акцепторных примесньгх центров Л'д, Л~,. Выполнить те же расчеты для примесного полупроводника р-типа. При этом предполагать справедливость классической статистики и считать, что зоны имеют стандартную форму. б) Показать, каким образом из данных относительно зависимости и„или ар от температуры мегино определить энергию иопизации ее или е„необходимую для образования свободных дырок или электронов. в) Получить выражение для коэффициента Зеебека ее„для примесного полупроводника и-типа в области обеднения. Как коэффициент а„зависит от температуры в атой области7 г) Вывести выражение для коэффициента Зеебека и для полупроводника с почти собственной проводимостшо в зависимости от соответствующих параметров зон, эффективных масс, плотностей н подвиясностей носителей в обеих зонах.
Распространить результат на случай полупроводника с собственной проводимостью. д) Как можно определить ширину запрещенной зоны по изменению а в зависимости от температуры7 Рещение а) При данных, указанных в условиях задачи, удобно использовать четвертую строку табл. 18,2.2 или выражение (19.2.6). Подставляя выражение из первой строки табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
