Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Покавкем, что этот результат согласуется с определением (18.3.3) величины В. В случае однородного образца при постоянной темпеРатУРе имеем гХ, (ьlе) = — туз ~Р,= — — ХХвдю где вув— электростатический потенциал. Так как ХХв ( 0 в условиях энсперимента, градиент ~в (1ьэ) ~ 0; более того, и Н„и У„положительны по определению. Поэтому соотношение (18.3.3) покаэьввает, что В ) 0; это согласуется с нашим заключением. г) Помимо предположения об однородности и изотропности вещества, молчаливо подразумевается справедливость следующих предположений: 1. Предполагается, что напряжение разомкнутой цепи ХХ„ воаникает только за счет холловской разности потенциалов и что отсутствуют погрешности, обусловленные неточным определением положения точек замера напряжения (они не лежат на линии равного потенциала) или связанные с наличием терно-э.
д. с. Чтобы свести к минимуму ошибки, обусловленные этими причинами, удобно проиаводить измерения ХХа при двух направлениях тока и магнитных полей — положительйом и отрицательном. При соответствующем усреднении результатов эти погрешности почти полностью исключаются. 2. Мы считаем справедливой формулу и = 1! ~ В ~ е; это допустимо только в том случае, когда проводимость твердого тела соадается носителями одной аоны.
Более общий случай, когда проводимость обусловливается носителями нескольких зон, рассматривается в задаче 19.6. Более того, приведенная выше формула применима к одноаонным моделям только в пределе сильных магнитных полей; более тщательный анализ показывает, что п =- =- А/( В ! е, причем отклонение коэффициента А от единицы может достигать 20аА в предельных случаях.
Для вычислений, требующих большой точности, этот множитель должен быть принят во внимание. 3. Рассматриваются стационарные условия. Перенос е металлах Решение а) Для однородных изотропных веществ коэффициент Зеебека определяется соотношением (см. (18.1.4)] 'е'х ( —,, ) — = )'х= се'ухТ1 (18.4 1) где в обозначениях задачи 18. 1 Рх — градиент электрохимического потенциала па единицу заряда, а тухТ вЂ” градиент температуры вдоль длины образца.
Примем приближенно, что т7хТ =- Л„ТП и Рх = — У,?1, где ЛхТ вЂ” рааность температур на концах образца н Ух — соответствующая разность потенциалов. Тогда соотношение (18.4.1) можно записать в виде а= —— Ь Т (18.4.2) Подставляя значения ЛхТ = — 278,4 К вЂ” 273,1 К = 5,3 К и У = 104 мкВ, находим а= — —, ж — 20 мкВ/К. (18.4.3) Так как холодный конец образца присоединен к отрицательной клемме потенциометра, то а а 0 и материал образца относится к п-типу. 18.4.
а) Однородный изотропный обрааец имеет форму прямоугольного параллелепипеда длиной 1 = 0,8 см, шириной ш = = 0,2 см и толщиной г =. 0,1 см. Медно-константановые термопары, подключенные к образцу, понааывают температуру 273,1 К на одном конце и 278,4 К на другом. Когда потенцнометр подключается к медным выводам термопар, он показывает разность потенциалов 0,104 мВ.
Для компенсации отрицательный контакт потепциометра должен быть присоединен к холодному концу образца. Чему равен коэффициент Зеебека для образца? Каким типом проводимости, и илн р, обладает образец? б) Обсудить три источника экспериментальных ошибок при измерениях такого рода и способы нх устранения. Какие дополнительные предположения сделаны относительно этих измерений? в) Описанный выше образец помещен в поперечное магнитное поле 30 000 Гс, направленное параллельно толщине образца Термопары регистрируют разность температур в 4 К вдоль полояснтельного направления длины 1. Потенциометр, присоединенный к проводам, укрепленным поперек образца на расстоянии и~, показывает разность потенциалов — 0,036 мВ.
Какова величина коэффициента Нернста для образца? г) Кратко описать несколько источников погрешностей в рассмотренном выше эксперименте. 474 Г«а«а И б) Чтобы избежать погрешностей в измерении температуры, обусловленных краевыми эффектами, следует укреплять термопары не на концах образца. Кроме того, вместо одного измерения //„ при одном значении Л„Т следует взять набор значений У„, соответствующих различным значениям /1„Т, и затем вычислить а по тангенсу угла наклона кривой, изображающей эту зависимость. Этот метод позволяет обойти трудности, которые возникают, если вследствие несовершенства эксперимента (/, не обращается в нуль при г»,Т = О.
На значение а, полученное указанным выше способом, влияют н проводники, которые служат выводами; этот вопрос обсуждается более подробно в нескольких работах !4,1). Если а,. н иь представляют собой соответственно коэффициенты Зеебека для исследуемого образца и проводников при средней температуре 275,7 К, то а =- а„. — аь, откуда а,. = с«+ аь. Для медных выводов величина аьж 2 мкВ К»; таким образом, эта поправка ни в коей мере не является пренебрея«и»го в«алой. Другие допущения указаны в условиях задачи. Вещество образца предполагается изотропньгм и однородным; это позволяет использовать соотношение (18.4Л) и приближение (18.4.2). Далее, предполагается, что в двух направлениях, перпендикулярных градиенту те»шературы, выполняются «изотермические» условия. в) Коэффициент Нернста определяется соотнешенпем (см. (18Л.5)) У» (4/») У»/и н,у т ' //,а„т// ' (18.4.4) Подставляя значения «/» — — — 36 мкВ = — 36.10» ед.
СГСМ, Ь,Т = 4 К, ю = — — 0,2 см, / =- 0,8 см, ХХ, = 30 000 Гс, получаем коэффициент Нернста /«' = 0,12 ед. СГСМ Гс ' К ' = 0,12 10-' В Гс-' К-'. (18.4.5) г) Эффекты, обсуждавшиссн в п. «б», меняются в том отношении, что в рассматриваемом случае «изотермические» условия существуют только в направлении, параллельном внешнему магнитному полю. Другой источник экспериментальных погрешностей связан с неточным располол«ением точек замера напряжения по ширине образца, что приводит к ошибкам в измеренных значениях напряжения.
Меняя местамп у,,Т и (или) Н„а затем беря соответствующее среднее значение, можно устранить эту погрешность. 18.5. В настоящей задаче рассматривается соотношение между электронными вкладами в теплопроводность и электропроводность металла. В соответствии с последней строкой табл. 18.2Л х (0) = = (к»Т/е») Хп (О). Прямая пропорциональная зависимость между и и и известна под названием заявка Видзмаяа — Франца, а входя- 475 Перез»«в меглалэак щий в нее коэффициент называется числом Лоренца, (Введенное здесь обозначение Ж не надо смешивать с обозначением 6, использованным в задаче 18.2 для интеграла переноса (18.2.18) ) Число Ж равно величине, стоящей в квадратных скобках в последней строке табл.
18.2.1. а) Определить число Лоренца Ж в нулевом прнблн»кении в случае сильно вырожденного металла (модель Зоммерфельда). б) Вычислить электронный вклад при 300 К в полную теплопроводкость металла (модель Зоммерфельда), удельное сопротивление которого при этой температуре равно 5,01 10 ' Ом см. в) Показать, что величина Ж, определенная в п.
«6», имеет размерность Вт К ~ см г. Решение а) Для сильно нырок«денного вещества число Лоренца является универсальной постоянной, определяемой соотношением (см. последнюю строку табл. 18.2.3) Ж= —" (18.5.1) Подставляя значения фундаментальных постоянных, находим Х = 2,45 10' эрг«К 'Кл '. (18.5.2) б) Так как (18.5.3) к,=Х1с= —, ХТ Р и, = 1,46 10'«эрг».К т Ом ' см 'Кл», (18.5.4а) = 1,46 Вт К 'см '.
(18.5.46) в) В выражении (18.5.4а) мы использовали единицы, получающиеся при прямой подстановке общепринятых размерностей величин к, е, Т и о. Разделим теперь числитель и знаменатель выражения (18.5.4а) па с» (квадрат секунды). В результате получаем следующую размерность: (эрг с ')'(Кл с г) 'Ом ' см г К '. Так как 1 эрг с-'=10' Дж с-'=10' Вт 1Кл'с»Ом «=1 А» Ом=1Вт, и так как мы видим, что 1 зрг» Кл «Ом « = 10 '«Вт, откуда получаем 'непосредственно размерность (18.5.46). то подстановка значения (18.5.2) для Ж, а также значений температуры и удельного сопротивления, указанных в условиях, дает 476 Глава 1В 18.6. Познакомимся теперь более подробно с тем, какую информацию может дать определение коэффициентов Зеебека и Пернета (см.
задачу 18.1). Для простоты примем, что выполняются все условия, предполагавшиеся при составлении табл. 18.2.3. а) Коэффициент Зеебека для сильно вырожденного металла равен — 7,1 мкВ К ' при 77,8 К при условиях, когда преобладает рассеяние на акустических модах. Определить уровень Ферми для этого вещества. б) Выяснить природу уровня Ферми, вычисленного в и, «а». Кратко описать основные предпосылки, принятые при численной оценке уровня Ферми.
в) Тот же металл помещен в очень сильное магнитное поле. Пренебрегая эффектами квантования и любыми иамененпями энергии Ферми под действием поля, опять определить коэффициент Зеебека и оценить степень расхождения. г) Вычислить изотермическое напряжение, возникающее поперек образдд (в направлении у), помещенного в магнитное поле напрян«енностью 10 000 Гс, направленное вдоль осн г. Температура двух концов образца по оси х поддерживается соответственно на уровне 302 и 298 К. Дрейфовая подвижность равна 12 000 см'.В т с ', размерь1 образца: 1„=- 8 мм, )» — — 1 мм, 1,— =1,5 мм, Решение а) В соответствии с моделью Зоммерфсльда (задача 18.2) коэффициент Зеебека связан с уровнем Ферми р соотношением (1,5) (см.
также четвертую строку табл. 18.2.3 при г == 0) я«а«Т а= ~ —. Звр (18.6.1) Разрешая это выражение относительно р н подставляя численные значения к!е ==. 864 мкВ К ', к =- 862 10» эВ К, Т = 778 К, а = — 7,1 мкВ К ', получаем р = 0,27 эВ. (18.6.2) б) Величина р, определяемая соотношением (18.6.1), есть уровень Ферми, отсчитываемый от соответствующей границы зоны Жз. Для веществ п-типа величина Жв представляет собой границу зоны проводимости; для веществ р-тнпа она представляет собой границу валентной зоны. Соотношен»1е (18.6.1) применимо только в случае сильно вырожденного электронного (нли дырочного) газа. Поэтому приведенная выше оценка пригодна только в том случае, когда уровень Ферми лежит внутри простой зоны обычного вида, причем проводимость обусловливается связанными с этой аоной носителями заряда.
Кроме того, главным механизмом рассеяния считается рассеяние на акустических фононах, т. е. г = 0 в задаче 18,2, п. «в». 477 Перенос е металлах в) В пределе очень сильного магнитного поля и для модели, рассмотренной в и. «б», соотношение (18.6.1) должно быть видоизменено следующим образом (см. третью строку табл. 18.2.6): а= ~ —.
(18.6.3) 2ер Подставляя значения, приведенные в п. «а», и р = 0,27 эВ, получаем с« = — 11 мкВ К '. (18.6.4) Этот результат в Чз рава больше соответствующего результата в нулевом магнитном поле. г) Поперечное напряжение, возникающее за счет эффекта Нернста, определяется соотношением (см. (18.1.5)) (18.6.5) Предполагая, что вещество является однородным и пзотропным, это соотношение моною привести к виду — 5г„=- ИН,Л„Т вЂ”" (18.6.6) Будем предполагать, что мы работаем в области слабых магнитных полей, что имеет место сильное вырождение и в переносе участвуют носители только из одной зоны стандартного нида и что преобладает рассеяние на акустических фононах. Тогда коэффициент Нернста можно записать в виде (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
