Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 73
Текст из файла (страница 73)
«д» и 17.11, п. «г», найти более точнов соотношение между г * и т, чем оценка, полученная в задаче 17.8, и. «д». Решение а) Средний поток ионов, обусловленный присутствием электрического поля, равен п]«Е. Поток, воэникаюший иэ-аа днффуэии, «) Дальнейшее обсуждение см. в книге Рейф« П1Ц, а также к работе Ланд«берга [3]. Пер«зо««га»аж равен — В (дп1дг). Следовательно, в стационарном случае прŠ—  — = О. дз дг б) дУ Е=- — д дг где У(г) — электростатический потенциал в точке г.
Поэтому [пп=. — — +сопзФ зУ В дУ ди — пр — — 0 — =О, дг дг т, е. п=п«ехр ( — — ) аУ и где и, — постоянная. Однако стационарное состояние является равновесным состоянием в ааданном электрическом поле. Поэтому плотность числа ионов задается классическим (каноническим) распределением Больцмана ру» п=п«ехр ( — — ) МТ)' где еУ (г) — потенциальная зкертня иона в точке г. Отсюда путе»« сравнения получаем соотношение Пернета — Эйнштейна.
в) Согласно задаче 17.9, п. «д», ет зщА»ф» Из задачи 17.11, и. «г» имеем откуда р. е ,О = И' ЗА«ф»»* Таким образом, гз ЗА»фз [Предыдущее соотношение имело вид г«ж т/Л»ф».) Глава лт ОБЩИЕ РАБОТЫ Исчерпывающее наложение влементарной кинетической теории содержится в работе 1. Геанг Г., К!пет(с ТЬеогу о1 Оавев, СашЬПйбе, 1940.
Уравнение Вольцмана исследуется в следующих работах: П. РеНебе Б. А., Бтат!в«1са! РЬув!св, Ыечг Чогй, 1966. П1. Бе«1 р., рппйашвптаМ о1 Б!асММса1 апй ТЬегша! РЬув!св, Ыетт Чогй, 1965, СЬ. 12 — 14. 1Ч. Ниапб К., Бта1!вт!са! МесЬап!св, Ыетт Чогй, 1963, СЬ. 3 — 6. (Имеетсн перевод: Н. Хуанг, Статистическая механика, изд-во «Мир», 1966.) Классичвсиое рассмотрение дано в работе Ч. Саартан Б., Сеюйнб Т. С., Ма«Ьеша«1са1 ТЬеогу о1 Ыоп-пп!1огш Савве, . СашЬг1йбе, 1939.
(Имеется перевод: С. Ченнен, Т. Наулинг, Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, 1960.) Изложение новейших теорий (в частности, введение в теорию плотных газов) содержится в работах Ч!. Ргос. 1псегп, Бушровппп оп Тгапврогс Ргосевввв 1п Бсас(вс(са! МесЬап1св, ей. 1. Рг(йод!пе, 1 опйоп, 1958. ЧП. Ьес1пгев 1я ТЬеогеМса1 РЬуысв, ей. %.
Е. Вг!1«ш, то!. 9С, Кечг Чог)с, 1967. Принципиальные вопросы кинетической теории исследуются в работах ЧП1*. Боголюбов 11. 11., Проблемы динамической теории в статистической физике, М., 1946. 1Х*. Боголюбов Н. Н., ЖЗТФ, 16, 681 (1946). Х*. Боголюбов Н. Н., Уравнении гидродинамики в статистической меха- нине. Зб1рник праць 1нституту математики АН УССР, т.
10, стр. 41— 59, 1948. См, также Избранные труды в трех томах, т. 2, Киев, 1970. Х1. Уленбен Дж., Форд Д'ж., Лекции по статистической механике, изд-во «Мире, 1965. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Бар!с«ба, Ргос. Воу. Бос., 66, 68 (1900). 2. Р!ррасй А. В., Ргос. Воу. Бос., А305, 291 (1968). 3. Банк«Ьегб Р, Т., Ргос.
Воу. Бос., А213, 226 (1952). 4«.Хин«ив А. Н., Математические основании квантовой статистики, М., 1951. 5«. Гиббс. Дж., Термодинамические работы, М.— Л., 1950. ГЛАВА 18 Перенос В металлах') Дж. Хониг * ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 18.0. В задачах гл. 18 н 19 рассматривается реакция свободных электронов в твердом теле на приложенное внешнее электрическое поле, магнитное поле и градиенты температуры. В применяемом здесь обычном приближении электроны считаются независимыми частицами, подчиняющимися статистике Ферми— Дирака. В приближении нулевого порядка твердое тело рассматривается как «ящик» или сосуд, внутри которого электроны движутся, как «газ»; это так называемая модель Земмерфелъда.
Более реалистично влияние кристаллической решетки учитывается в приближении первого порядка, где периодический потенциал решетки рассматривается как возмущение состояния почти свободных электронов. Можно исходить из противоположного допущения, а именно считать, что электроны достаточно жестко связаны с атомными ядрами в твердом теле, но способны двигаться через решетку благодаря некоторому перекрытию орбиталей, принадлежащих близко расположенным атомам.
Как то, так и другое рассмотрение приводят к одним и тем же реаультатам: в кристалле существуют области близко расположенных уровней энергии (энергетические воны), разделенные аапрещенными зонами (энергетическими щелями). Эти зоны соответствуют областям, для которых волновое уравнение Шредингера имеет или не имеет решения. Линия равдела между разрешенными и запрещенными уровнями носит название границы гоны. Волновые функции»у всегда могут быть представлены как волновые функции свободных электронов, модулированные функцией, имеющей периодичность решетки. Исключительное значение имеет определение энергии е электронов в твердом теле и вида Ж как функции независимых переменных и параметров.
Как и в случае свободных электронов, энергия зависит от волнового вектора й. В дальнейшем мы всегда будем изучать весьма частный случай, а именно гоны обычной формы, для которых (18.0.1) ») В гл. 18 и 19 постоянная Волъцмапа обозначается через и, чтобы избежать путаввцы с модулем волнового вектора в = ~ й Ь е г. М. Нев»Ю Эерегипеп«о1Свеш1»«гу, Ршбпе Ншчегеау, Ьа1ауеме, 1вбг Глава Г8 где Ж вЂ” нижняя граница эоны, а второй член представляет собой кинетическую энергию, формально совпадающую с выражением, полученным для свободных частиц; в нем т — масса частицы, л = — Ы2я и Ь вЂ” постоянная Планка.
Однако в данном случае в качестве т берется не масса свободного электрона, а некоторая зффеьтиивнлл масса, аависящая от зонпой структуры твердого тела. Такой прием позволяет избавиться от рассмотрения в явном виде взаимодействия носителей заряда с решеткой. Динамика частицы вводится следующим обрааом: на основе весьма общих соображений можно показать, что скорость электрона в кристалле определяется соотношением ч=- гг'б <Ч (18.0.2) где Чг — оператор градиента относительно неаависнмой переменной й.
Производная по времени й волнового вектора свяаана с внешней силой Г соотношением к = Г(6. Взаимодействие электронов с внешним полем учитывается в настоящем изложении путем составления и решения киветичвслого уравнения Ъольпмана, в которое электрическое, магнитное и тем,пературное поля входят явным образом в качестве параметров. В идеальной периодической решетке электрон не испытывает сопротивления при движении; однако примеси, колебания решетки и другие виды неидеальностей создают механизм рассеяния, который также должен быть учтен в уравнении Больцмана.
Стандартным приемом является введение времени релаксации т, свяаанного со средней длиной свободного пробега 1 соотношением т = Р ~ ч ). Можно покааать, что этот подход применим при некоторых довольно ограниченных условиях и что результаты эквивалентны линейной неравновесной термодинамике. Для описания рааличных механиамов рассеяния, как показано в последующих аадачах, испольауются рааличные предположения относительно времени релаксации т.
Как будет показано в аадаче 18 11, для описания набора состояний почти целиком заполненной зоны можно с тем же успехом рассматривать оставшиеся свободные состояния аоны, которые могут быть отождествлены с фиктивными частицами, называемыми дырками. Дырки можно считать носителямн положительного заряда, причем их кинетическая энергия, а также уровень Ферми отсчитываются от верхней границы зоны. Поэтому для дырок имеем и'= Жв — — = — Ж.— з, вгзз (18.0.3) Звг где вв — верхняя граница воны. При рассмотрении последующих задач необходимо строго различать полную энергию Ж носителя Перенос е металла» заряда и его «кинетическую энергиюэ 69«е/2т, которая обозначается через е. Наконец, говорят, что рассматриваемый образец относится к и- или р-типу в зависимости от того, какими носителями обеспечивается проводимость — электронами или дыркаии.
18 1. В настоящей аадаче мы поанакомимся с а) понятием электрохнмического потенциала, широко применяемого в настоящей и следующейглавах, и б) с методами, обычно испольауемыми для описания в макроско- Оа пическом термодинамнческом масштабе реакции носителей аарядов в проводнике на приложенные извне силы. а) Электрохимический потенуиал ь электронов определяется соотношением ь = р„— есуе (18,1,1) р= — * при «ОТ=О. е» (~/е) У» (18.1.2) где р„— химический потен сеиал, — е — заряд электрона и ср, — электростатический потенциал.
Выразить химический потенциал через активность электронов в еди- Х ницах, которые свяааны с концентрацией электронов с„соотношением а„= у„с„, где у„— коэффициент активности. Показать, что для однородного вещества при постоянной температуре градиент электрохимнческого потенциала на единицу заряда электрона совпадает с напряженностью электростатического поля. б) Обоаначим череа 1ь длину обрааца в направлении е. = х, у, х; далее, пусть У =— ч фе), Ю нв ч ср„а Хх и Сх — соответственно плотпость тока и поток тепла в направлении Х и Т вЂ” температура.
На фиг. 18.1.1 показана ориентация прямоугольного параллелепипеда относительно этих декартовых осей. Расстояние между точками С и ее, между которыми измеряется разность потенциалов П», равно Л; в направлении оси г приложено магнитное поле Н,. Введем ряд определений для однородных изотропных веществ при условии Уо —— Х, = О и условии изотер)«ичности че Т = =ту Т=О: 1. Электрическое удельное сопротивление 460 Глава 18 Показать, что это определение приводит к обычному выражению для р череа сопротивление образца В,. 2.
Коэффициента Холла 7э Я/е) Я= — 1" 11 при Ч,Т=О. х л (18.1.3) Показать, как эта величина связана с разностью потенциалов вдоль оси у и с током в направлении х. Объяснить, почему желательно делать образцы как можно тоньше вдоль направления магнитного поля. Дать интерпретацию реаультатов. 3. Коэффициент Зеебена а= х(~ ) при Гхив м О. (18.1.4) х Установить„можно ли выразить св через равность электростатических потенциалов; обсудить смысл соотношения (18.1.4). 4. Коэффициент Нернетпа Лт=,, при à — = О. оэ (у~) (18 1.5) ~г~х Установить, можно ли вырааить Лт через разность электростатических потенциалов; обсудить смысл соотношения (18.1.5). 5. Тел онроводноеть определяется соотношением Сх х= — —" при э = — О.
ухг х— Интерпретировать это соотношение. Решение а) Согласно обычной термодинамике, имеем р, = ро + кТ 1п а„, (18.1.7) где а„— активность электронов в исследуемой системе н р~— химический потенциал электронов при а„ = 1. Беря градиент потенциала (18.1 1) при постоянной температуре, находим Ч ( — ) = — Ч(1па„) — Ч<р„ (18.1.8) где Чту, — градиент электростатического потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
