Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 69
Текст из файла (страница 69)
бьч//пъ, РерагФшепс о[ Раув[се, спмегычу о1 ехеэег, ехеэег. ') Так называемая центральная предельная теорема в теории вероятяостя впервые была получена А. М. Ляпуновым. О предельяых теоремах в статистической фяэяке см. [4[. — //рлл. перев. Глава П 432 [В этом случае говорят, что молекула примеси совершает случайные блуждания ').! решение а) Поскольку хн = хл, + Лхн, то (хлв) = (хЪ 1)+ 2 (хл ~ахи)+(Лх$~). Далее и-» хн 1= ~ Лхо Поатому я — 1 (хн »Лх~.) = ~ (Лх;Кх„) =О, так как последовательные смещения независимы. Следовательно, ( ~) =( ~-~)+ 3 " ° Отсюда, применяя метод математической индукции, с учетом х»=О имеем (хЦ = —, ЮР. 3 За время г молекула примеси испытывает в среднем Я=8/т столкновений.
Тогда (х'(~)) = 3,' Л» = (пхн) -[- (Куй) + (Лгй) = (Ьхя+ Ьуя+ йгй). Таким образом, Л' представляет собой средний квадрат смещения между столкновениями, т. е. Л является квадратным корнем из среднего квадрата свободного пробега. б) Так как газ является изотропным и стационарным, среднее смещение равно нулю в силу симметрии. Дисперсия (х»(1)) = = Л»1/Зт по определению. в) Нормальное распределение для переменной х с нулевым средним значением и дисперсией о' имеет вид 1(х) = (2яоа) М' ехр ( — — *, ) (см.
аадачу 2.9). Беря логарифм, дифференцируя и применяя для"дисперсии выражение, найденное в п. «б» (о* = Л»г/3«), сразу же получаем иско- ») См. [П!, гл. 12!. Перенос е газах мое уравнение, в котором ог Хг П= — = —. 2с ст' 17.2. а) Однородный изотропный стационарный газ содержит небольвтое количество нримесных молекул,, плотность числакоторых и (х, Ц не зависит от у н г. Считая, что примесные молекулы совершают независимые случайные блуждания того же типа, как и в предыдущей задаче, вывести для болыаих в интегральное уравнение для и (х, г), содержащее зависимость от п (х, 0). »гУ к а з а н и е: 7'(х, '0) = 6 (х).) б) Используя результат задачи 17.1, п.
«в», преобразовать это интегральное уравнение в дифференциальное уравнение для диод ь в) Показать с помощью этого уравнения, что средний поток примесных молекул в направлении х пропорционален градиенту концентрации дп!дх, и определить коэффициент диффузии. (Такое соотношение называется законом диффузии Фина.) г) Каково равновесное распределение примесных молекул? Решение а) При г = 0 функция распределения 7 (х, «) являетсн 6-функцией и описывает молекулу, с достоверностью локализованную в точке х = О, т.
е. 7(х, 0) = 6 (х). В соответствии с определением 6-функции имеем п (х, О) = ~ п ($, О) 6 (х — 5) сгч. ге Эта формула определяет и (х, 0) как снабженную весом сумму б-функций, каждая ив которых соответствует одной молекуле на плоскости $ = х. Поэтому п (х, 0) = ~ п Д, 0) 7 (х — $, 0) с($. Так как концентрация примесных молекул мала, движение каждой нз них не зависит от других н каждая функция 7 (х — $, г) независимо меняется со временем, как указывалось в задаче 17.1, т. е. се п (х, с) = ) и ($, 0) г' (х — 5, г) сгэ, гв — оввз Глава 1» где для больших 8 )) т распределение / (х, «) становится нормальным с нулевым средним вначением и дисперсией У8/Зт.
Это выражение является искомым интегральным уравнением. б) Из и. «а» имеем д" (* «) — Г п(«О) д)(з «' ~) Д~ д« и нэ задачи $7.1, п. «в» д)(* — Б, О П дЧ(. — Ь «) 7),д«)(* — Б, «) д«д (з — Ц)» дх« Поэтому ) = «) — 1 п Я О) 7' (х — "б, () «)$ — П т. е. мы получили искомое дифференциальное уравнение. в) Пусть поток примесных молекул на единицу поверхности в направлении х равен Ф„. Иа соображений симметрии следует, что Ф» —— Ф, = О. Тогда дз(х, «) дФ д«дз так как число молекул сохраняется. Следовательно, используя результат п.
«б», получаем дФ„д»п — — "= Д— дх дз« ' Интегрируя это уравнение и замечая, что в силу симметрии системы Ф„обращается в нуль, когда дп!дх = О, имеем дп Ф = — Пд х Величина П представляет собой коэффициент диффузии, причем в соответствии с задачей 17Л )„« и= —. 6« ' г) В равновесии Ф„=О, поэтому — =О. Аналогично ди дп — — О. дз д« Поэтому равновесное распределение плотности является однородным, Перепое е еаеаа 17.3. а) Предполагая, что все молекулы ведут себя как жесткие упругие сферы, показать, что средний свободный пробег приказной молекулы радиусом г, в гаве, состоящем иа молекул радиусом гз с плотностью п„приближенно равен 1 л(г1 + г«)«п« б) Показать отсюда, что коэффициент взаимной диффузии Р для небольшого количества примесных молекул массой т, и радиусом г, в газе из молекул радиусом гз с плотностью и, при температуре Т может быть записан в виде ее ( зпт 1пе Р= блп«(г1+г«)« ~ т«! где и — безразмерная постоянная порядка единицы и я — постоянная Вольцмана.
(Использовать результат задачи 17.2, п. «вэ и теорему о равномерном распределении; см. задачу 3.6, и. «вэ.) в) Окись углерода СО, этилен С«Н«"и азот Хз имеют молекулярный вес, равный 28. Коэффициент взаимной диффузии для небольшого количества молекул СО в газе С«Н«при нормальных условиях (т. е. при температуре 0' С и давлении 760 мм рт.
ст.) равен Р (СО,' СзН«) = 0,129 см«с Аналогично при тех же условиях Р (СО; Х,) = 0,176 см'с г и Р (С,Н,; Яз) = 0,129 см'«с ' Показать, что коэффициент самодиффузии для газообразного азота при нормальных условиях равен Р (Х,; Р(з) = 0,176 см'с-г.
г) Можно ли говорить о коэффициенте самодиффузии для гааа из квантовомеханически неразличимых молекул) Решение а) Молекула примеси сталкивается со всеми молекулами, центры которых находятся на расстоянии не больше чем (г1 + гз) от ее центра, т. е. со всеми молекулами, центры которых лежат внутри кругового цилиндра с поперечным сечением л (г, + гз)« и осью, совпадающей с траекторией центра молекулы примеси.
Средняя длина свободного пробега с хорошей точностью равна среднему расстоянию между молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра, т. е. л (г«+ г«)«п« Глава 77 Из-за разницы в способах усреднения среднеквадратичная длина свободного пробега Л может отличаться от этого значения на множителем порядка единицы. б) Из задачи 17.2, п. «в» имеем Л» Л Л Р= — = — —. =е =от Но Л/т есть величина порядка средней скорости молекулы, т. е.
— =а(о») ' л где я — безразмерный множитель порядка единицы. Согласно теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы (ср. задачу 3.6, п. «в»), 1 — » 3 — в»«о = — ЙТ 2 2 поэтому Из этого результата и результата п. «а» следует искомое выражение для Р. в) Все три газа находятся при одинаковой температуре и состоят нз молекул одинаковой массы. Главный компонент находится в ка»ядом из рассматриваемых случаев при одинаковом значении давления и поэтому в приближении, в котором справедливо уравнение состояния идеального газа, имеет одну и ту же плотность числа молекул. Из п. «б» следует, что коэффициенты диффузии отличаются только эффективными радиусами молекул. Так как Р (СО; С»Н«) = Р (С»Н«; Ж»), имеем г (СО) + г (С»Н«) — г (С,Н«) + г (М») т.
е г(СО) = г(М,). Соответственно для коэффициента самодиффузии азота Р (Х»', Х») имеем гв + г» = 2г (Я») = г(М») + г (СО), откуда Р (М,; г(») = Р (СО; М») = 0,176 см'с '. г) С точки зрения эксперимента любая диффузия является взаимной диффузией.
Термин «самодиффузия» представляет собой удобное название для взаимной диффузии двух различных групп Перевес е салах молекул, у которых не существует сколько-нибудь значительного различия свойств, определяющих коэффициент диффузии (такими свойствами являются масса молекулы и взаимодействие с другими молекулами любой группы). Поэтому с точки зрения эксперимента не возникает вопросов.
При более глубоком подходе диффузия является необратимым процессом, связанным с возрастанием энтропии. Перемешивание (самодиффузия) одинаковых молекул не приводит к возрастаяию энтропии. Следовательно, строго говоря, нельзя говорить о коэффициенте самодиффузип. 1С этим связан парадокс Гиббса ').] ч )р р бт' где Хр — эффективная среднеквадратичная длина свободного про- бега для переноса импульса. Таблица 11.4.1 к еое две сы-Г с-1 К-1 4,54 2,43 0,89 ч !04, г сеса с-г сирл Гее Мслевулврвыз вес 1,5 2,5 1,5 )че Ыо Кг 20,2 28,0 82,9 2,98 1,67 2,33 д) Исходя из вышедоказанных выражений, вычислить отношение К/т) для газа и сопоставить с численными данными, приведенными в табл.
17.4.1 для трех газов при нормальных условиях. г) См., папрвмер, книгу ПУ) (Иоложекве парадокса Гкббса в этой книге противоречит наложенвю в книге Гиббса 15).— Прим. ред.) 17.4 а) В каких пределах можно рассматривать теплопроводность как процесс случайных блужданий? б) Беспримесный газ имеет коэффициент теплопроводности К, массовую плотность р и теплоемкость на единицу массы при постоянном объеме с„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
