Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Преобразуя выражение (16.4.6), можно записать излучательное время жизни в виде коро С (ПО+ РО+Пе) (16.4.7) где функциональная зависимость соответствует приведенной в условиях задачи. Так как, согласно условию, можно считать, что уравнения непрерывности для свободных электронов н свободных дырок в данной задаче не зависят от пространственных координат, уравнение непрерывности для каждого сорта свободных носителей имеет впд (16.4.8) 'св если можно пренебречь безызлучательпыми процессами. В уравнении (16.4.8) величина д, является скоростью генерации, выаванной какой-либо внешней причиной (см.
решение задачи 16.2). Решения уравнения (16.4.8) можно найти, записывая время жизни в виде тяо 1+ пе!(ко+Ро) (16.4.9) где величина коро С(п,+р,) (16.4 10) является временем жизни в пределе слабого возмущения, когда и, мало по сравнению либо с п„либо с р,.
Подстановка выраже- ния (16.4.9) в уравнение (16.4.8) приводит к уравнению непре- рывности (16.4 11) зт-оооо которое легко решить путем разделения переменных для моментов времени, следующих после прекращения генерации иабыточных носителей. !Можно найти решение и для интервала времени, в течение которого скорость генерации изменяется„ но это сопряжено с весьма сложными выкладкамиП 418 Гааза 16 Кслн аначенне д, принять равным нулю для всех г ) О, считая, что пе = гт' в момент времени ( = О, то разделение переменных дает г М 1 1 ("е+ "о+Ро) (16 4 12) то то ) яе И+леддо+Ро)) ле()о+ло+Ро) о яе Соответственно явное выражение для ьа имеет вид (до+ Ро) ))г (16.4.13) Р+яо+Ро) ехр Яхо) — гт Независимо от начальной величины Л' плотность де доля(на стать меныпе, чем из + ро, аа время порядка 0,7тэ илн быстрее.
Последующее убывание происходит в основном по зкспоненциальному закону. Прн Х )) по + ро начальное убывание гг, происходит по гиперболическому закону. 16.5. Рассмотрим полупроводник, схема Энергетических зон которого изображена на фиг. 16.5.1. Полупроводник называется Елнноагй эгннглр несобственным (примебным), если основной вклад в плотность свободных электронов возникает за счет примесей (дефектов), а не за счет воабуждення из зоны проводимости. Кслн преобладают отрицательные носители (электроны), то такой полупроводник относится к п-типу (донорные примеси). Предположим, что другими состояниями локалиаованных дефектов, кроме показанных на фиг.
16.5.1, можно пренебречь и что валентная зона содержит пренебрежимо малое число свободных дырок. Предположим далее, Е =О ьг Рл й ег ем еф Фиг. 16.6Л. Схема энергетических аоп простого прнмесного полупроводника, приннтан н задаче 16.6. Твердое тегю содержят Иа одноаалентаых донорных примесей н едмняце объема м )т одноэалентлых номпенсяруюжях анцептороэ ()У < ЮЛ). ЭлентРоны моггт эоэбУжДатьса яа доноряых саяаанных состоаннй э аону проводимости. В качестве начала отсчета анергяя выбирается анэшяй уровень (дно) эоны проводимости, Ег = О.
Зона яаляется маотропной я харантермэуетсн сналярной аффентяэной массой т . Энергия основного сосгоаяяя донора Юг — Х,~, я донор может присоединить элентрон пря этой анергяя любым яэ (3( способоа; возбужденными состояпмямя доноров э втой задаче мы пренебрегаем. Пря термодянаммчесном равновесии нааэяфермяеэснме уровни Ро, р,г для состоннмй эоны проаоднмоста я донарных оостояняй соотаетстаепно саападаюг с уровнем Ферми Юр.
Теория скорости рекомбинации е кояукроеодникск 419 что гаэ свободных электронов является невыроавденнылс г) как в равновесном случае, так и при наличии избыточных электронов, плотность которых равна ле (см. также задачу 3.13). а) Получить соотношение между плотностью свободных электронов и квазифермиевским уровнем для зоны проводимости, обозначая череа Лг, величину 2 (2птс)сТ/йэ)э/э, которую можно рассматривать как плотность состояний вблиаи Е„ааменяющую истинное распределение раарешенных состояний в зоне. (Это представляет собой повторение части аадачи 16.1.) Выразить также плотность нейтральных донорных примесей через энергию Ферми (в равновесном случае) или квазифермиевский уровень (при отклонении от равновесия).
Как указано в подписи к фиг. 16.5.1, каждый донор может присоединить один электрон с энергией Е~ = — Еб и стать нейтральным, причем кратность вырождения волновой функции этого локализованного электрона равна ~ь Мы пренебрегаем возбужденными состояниями доноров, т.
е. воаможностью того, что донор остается нейтральным, в то время как его электрон находится в воэбуятденном состоянии. б) Покааать, что плотность свободных электронов и, в случае равновесия удовлетворяет соотношению но (ко+бес) Л'с е Ес 'е = — ехр ~ — — ) =иь )Цо — Ео — ко ()~ т ИТ е' которое выражает закон сохранения электронов.
Решение а) В настоящей задаче предполагается, что зона проводимости является простой и характеризуется скалярной эффективной массой лт,. Этот параметр позволяет установить связь между плотностью состояний на единичный интервал энергии и иавестной плотностью квантовых состояний в пространстве обратной решетки э) д (Е) = 4я (2т,~йэ)э/эЕг~э. Полное число электронов в зоне проводимости в случае равновесия при температуре Т определяется соотношением Ое и,= ') ~(Е) л(Е) с(Е, о (16.5.1) е) Свойства вырожденного алевтронного гааа (например, теплоемвость) отличаются от предсвааываемых классической теорией, поскольку эначение и, велико и уровень Ферми лежит выше дна аоны.
Наоборот, в невыроюдевном случае плотность электронов настольно мала, что уровень Ферми лежит нюне дна эоны. В последнем случае фермиевское распределение сводится к больцмановскому для любой энергии, соответствующей состояниям воны. э) Согласно квантовой механике,не более двух алевтронов (с противоположно направленными спинами) могут находиться в объеме Ьэ,импульсного пространства в кристалле единичного обьома. Приведенный реаулътат для б (Е) получается при преобразовании к энергетической переменной Е = рэ/2тс.
Глава' 16 где ~ (Е) обозначает вероятность Ферми — Дирака заполнения невзаимодействующих состояний с энергией Е. Поэтому, когда газ свободных электронов невырожден, Е 1+ ох р ((Š— ЕгУ ЬТ) 1 м7 ) (16.5.2) Выраясение (16.5.1) тогда принимает вид и,=4я( —;~ ) 'ехр Я) ) У'"ехр( — У) НУ=- о =Л'.
ехр (-Я (16.5.3) г ~п т и==во+и,=И,ехр ( — ) = (ьт!= =- ио ехр ( " ~ ) . (16.5.4) Следует, однако, помнить, что Е„можно подставить обратно в выражение (16.5.2), чтобы получить вероятность заполнения для определенной энергии, только в том случае, когда время рекомбинации (время жизни) очень велико по сравнению со временем, необходимым для установления теплового равновесного распределения свободных электронов. Рассмотрим теперь ааполнеяие связанных донорных состояний, пользуясь понятиями уровня Ферми и квазифермиевского уровня. Ксли число иониэованных доноров на единицу объема равно Л~,„, то имеется Л~а„= ЛГз — Хю нейтральных доноров; так как мы пренебрегаем возбужденными состояниями доноров, то каждый нейтральный донор должен находиться в одном ив своих основных состояний. Заметим, что предварительно ионизованный донор может стать нейтральным при попадании электрона в любое из ~~ состояний с энергией Ео = — Ею Поэтому можно сказать, что число заполненных состояний с энергией Е, равно ЛГо„, тогда так как интеграл в первой строке выраокення (16.5.3) равен (Ы4)по.
В неравновесном случае выражение (16.5.3) следует видоизменить так, чтобы учесть наличие всех и = ио —, и, свободных электронов; тогда электронная квазифермиевская энергия г"„определяется соотношением Теория скорости рекомбинации е полупроводниках 421 как число незаполненных раарешенных состояний ') равно р~Л(бы В случае теплового равновесия при температуре Т отношение числа ааполненных состояний к числу возможных состояний определяется равностью мен ду энергией Ее и электрохимическим потенциалом: Хо„: ~,Л'о;=ехр ( Р ' ): 1. Отсюда следует, что полная плотность нейтральных доноров равна б 1+ (1Д) ~) вхр [(Ес — Ег)1)сТ) 1+((431) ехр[( — еб — кг1)от[ ' (16.5.5) В неравновесном случае мы можеы ввести понятие одонорного квазифермиевского уровня» Гк.
Вта величина представляет собой энергию, которую следует подставить вместо Ег в выраяоенне (16.5.5), чтобы получить правильное значение плотности нейтральных доноров. В случае несобственного полупроводника, рассматриваемого в настоящей задаче, электрон, перешедший с донорной примеси, долл ен либо находиться на одном иа Л', компенсирующих центров, либо' быть одним из и, электронов в зоне проводимости. Таким образом„ при равновесии имеем Л'оп = Л'о — Ж* — по Рос —— Л', + ло. (16.5.6) При отклонении от равновесия в выражении (16.5.6) следует заменить по на п = и, + и,. б) Для рассматриваемого невырожденного полупроводника п-типа в равновесии можно, используя выражения (16.5.3), (16.5.5) н (16.5.6), вывести простое выражение для п„которое не содержит явным образом величину Ег.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
