Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Первое из них позволяет заменить ехр (Ер7сТ) величиной по)Л'с в выражении (16.5.5) для плотности нейтральных доноров. Так как зта плотность равна такясе Хб — Л' — ло, имеем Л"д $+(Хе~по[)с) ехр( — Ео!УТ) ' что легко можно преобразовать к искомому виду: по(по+ а) = — сехр ~ б ) ~а а по (16.5.7) (16.5.8) о) В каждый момент времени может быть занято только одно состояние вк бс состояний дкя данного яойтральпого донора. Однако для яопякопоняого донора все [31 состояний являются разрешеввьеыя лля рекоыбянацяонных переходов. Глава 16 Воспользуемся обозначением п ~ для величины (Лг,(() ~) ехр ( — Еай Т).
Величину п, часто называют постоянной закона действующих масс для взаимодействия между донорами и зоной; величина п~ нам понадобится в задаче 16,6, 16.6. В настоящей аадаче продолжается изучение плотностей свободных и локализованных электронов в несобственном полупроводнике, которому соответствует фиг. 16.5 1.
а) Исходя из условия баланса между естественной генерацией и рекомбинацией, показать, что при равновесии уравнение электро- нейтральности в невырожденном случае (16.5.7) является следствием закона действующих масс. Показать далее, что полная скорость тепловой генерации имеет вид д = Си, (Лга — Л', — и) независимо от того, будет ли п равновесным значением. Считать при этом, что можно пренебречь вынужденной нзлучательной рекомбинацией, а также актами рекомбинации, связанными более чем с одним состоянием зоны проводимости. Выразить величкну С через микроскопические величины.
б) Показать, что для указанных условий время жизни, характеризугощее плотность избыточных электронов п„обратно пропорционально Л', + 2пр + п~ + и„. Рассмотреть стационарный пространственно однородный случай, когда световой поток с интенсивностью $р обусловливает квазиоднородную генерацию избыточных носителей со скоростью д„. Показать, что при слабой интенсивности света число п, пропорционально Гр, что при более высокой интенсивности оно пропорционально фв и что в конечном счете п, достигает насыщения независимо от интенсивности светового потока.
Решение а) Как было показано выше, уравнение электронейтральности в невырожденном примесном полупроводнике, легированном примесью одного сорта, в обозначениях задачи 16.5 имеет вид ар(ар+ ва) вв / = — 'ехр( — — ) =— пь (16.6 1) ма-п.—:р= б,' ( ьт) = Реаультат (16.6.1) был получен в этой задаче на основе требования, что при равновесии заполнение свободных и связанных состояний определяется одним и тем же электрохимическим потенциалом. Однако соотношение (16.6.1) имеет такой вид, который следует ожидать в соответствии с законом действующих масс. Мы знаем, что при равновесии скорости тепловой генерации и рекомбинации должны удовлетворять принципу детального равновесия и полностью компенсироваться.
В данной задаче можно принять, что газ свободных электронов является невырожденным Теория скорости рекомбинации в полупроводниках 423 (так как состояния вблизи дна эоны с болыпей вероятностью являются пустыми, чем ааполненными); отсюда следует, что скорость рекомбинации должна быть пропорциональна полной плотности свободных алектронов ') и и числу ))с (я + Л~о) доступных состояний ионизованных доноров. Следовательно, эту скорость можно записать в виде г = афс(и+ Л~) п, (16.6.2) где э обоаначает тепловую скорость свободного электрона (усредненную по распределению Больцмана), а — аналогичным образом усредненное сечение захвата свободного электрона незанятым донорным центром. Выражение для г вида (16,6.2) невозможно было бы получить таким простым путем, если бы вынужденная излучательная рекомбинация играла важную роль, но эта возможность исключена согласно условиям задачи. С другой стороны, скорость генерации определяется величиной Лсоп — числом электронов, способных к возбуждению при даннои температуре.
Однако эта скорость не зависит от заполнения состояний внутри зоны при условии, что это ааполнение мало для всех состояний воны. Таким образом, (16.6.3) я=А(Уб — Ф, — и), где величина А зависит от температуры, минимальной энергии возбуждения Е„и от плотности состояний в зоне проводимости, но не зависит от Хо, Л'о и и. Так как в состоянии равновесия ф = г, выражения (16.6.2) и (16.6.3) поясно приравнять друг другу; тогда получаем выра- жение пэ (па+ )Уо) А Лсл — сцо — "о оо))с (16.6.4) совпадающее по виду- с (16.6.1).
Очевидно, следует отождествить величину А Ьор с с постоянной аакона действующих масс пп так что скорость генерации равна д = эа))спс (ЛГа — Мо — п) (16.6.5) независимо от выполнения условий равновесия. Следует отметить, что уравнение (16.6.1) могло бы быть также получено на основе аакона действующих масс даже при учете процессов генерации и рекомбинации с участием двух или более с) Если при захвате электрона примесями цеятрои энергия рекомбяяация передается одяому яли более электронам (яря сохранении энергии я импульса), то э выражение для скорости рекомбинации войдут члены, зависящие от и*, пв я т.
д. Такими мяогоэлеятроявмии процессами мы здесь пренебрегаем. 424 Глава лб электронов, по тогда выражения (16.6.2), (16.6.3) будут содержать более высокие степени и, б) Разность между скоростями естественной рекомбинации и генерации может быть использована в определении времени жизни избыточных электронов т, входящего в уравнение непрерывности для избыточных электронов в пространственно однородном случае: ~е, +( г), пе (16.6.6) Здесь б, вновь обозначает скорость генерации избыточных носителей, вызванной внешним воздействием. Если г и д задаются выражениями (16.6.2) и (16.6.5), то имеем пе пе г еар~ )(по+и ) (па+а~+К ) — п~ (Леа — )у — пс — п,)) Значительная часть членов в знаменателе этого выражения сокращается, поскольку лз (по + Лг,) =- пе (Хс — Л'„— из).
Поэтому в уравнении непрерывности (16,6.6) т=- (16.6.7) Р~Фг (Ма+2пз+и1+пе) В соответствии с уравнением непрерывности в стационарном состоянии при пространственно однородной генерации должно выполняться соотношение пе (Л"а + 2ла + и ~ + пе) = =-" Зоб~ Предположим теперь, что избыточные электролы возникают со скоростью д, (иа единицу объема в единицу времени) под действием падающего потока 1з фотонов (на единицу поверхности в единицу времени) н энергия каждого фотона не меньше Еа, Возбуждение может происходить только с нейтральных доноров, поэтому можно ожидать, что скорость генерации иабыточиых носителей почти однородна по кристаллу ') опт Ке = Паотлт аптсе где о,зат — сечение фотоиоиизации нейтрального донора. Если ке все падагощие фотоны имеют одинаковую энергию, величина сает усредняется в соответствии с вероятностями возбуждений в различные верхние состояния Е„е= Ьт — Ес.
Так как Ха„=л = ЛГа — Л'а — и, то связь между лз и и, выражается соотношением пе ()Уа+2по+™!+пе) у Фат (16.6.8) )т'а - )т' а — пс — и, ее 6, о =- т) Прн более строгом решения настоящей задачи следовало бм учесть ослабление потока фотонов с увеличенном.пробега через кристалл, что прнвело бы к завнсвмостн зе от глубины лроввкновення света. 7оарим скорости рспомаипации в поврпроводпикак 425 Это соотношение представлено графически на фиг. 16.6.1 в логарифмических координатах. Отрезок а соответствует линейной зависимости и, от интенсивности света в случае слабой освещенности.
Поведение кривой изменяется в точке Ь, в которой выполняется условие вв, ж Ф, + 2но+ пв 2оо()~ (Р1а+2по+пв)а (16.6.6) Хо ж паос (Фо — 2Ха Зпо — пв) Для полупроводникового кристалла с относительно слабой компенсацией (Х, (( Л"а) при достаточно низкой температуре (так "0 го юнг. 16.6.1, Иаиенение па в зависимости ет интенсивности падающего потока фстоноа 1о а соответствии с аыражением (16.6.8). что постоянная закона действующих масс п~ мала по сравнению с Хо) величина и, может быть значительно болыке Ха + 2п, + и„ хотя н значительно меньше Хю Одновременное выполнение зтих требований необходимо для того, чтобы область с на кривой, изображенной на фиг.
16.6.1, была преобладавощей. В пределах атой области (если она существует) левая часть соотношения (16.6.8) приближенно равна и,'~3с', следовательно, при таких условиях п, ведет себя в основном как Х',~в. Верхняя граница области находится в точке Ы на кривой; прн атом (16.6.1О) по о' Ж$ )уа по. Прн дальнейшем увеличении потока фотонов значение по + и, не может сколько-нибудь воарасти по сравнению с максимально воаможным притоком злектронов Л'о — Х, (участок е кривой). 426 Г*аво 16 Поведение системы, когда величина и, + п, сравнима с Хо — зо'„ становится более сложным,', если вынужденная рекомбинация начинает играть значительную роль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
