Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 68
Текст из файла (страница 68)
16.7. Рассмотрим условия стационарности в полупроводниковом кристалле с равновесной плотностью свободных носителей и, и ро. Вновь предположим, что полупроводник пространственно однороден и что, кроме того, уровни энергии свободных носителей не вырождены (лоро — — и';). Предполагается, что алектронно-дырочная рекомбинации определяется прежде всего активностью Лс„одновалентных рекомбинационных центров. Каждый центр имеет только два зарядовых состояния: «пустое» или «заполненное» с одним электроном. Предположим, что центр может быть заполнен только одним способом, так что вероятность заполнения подчиняется распределению Ферми — Дирака.
Энергия локализованного состояния такова, что в равновесии отпогпение числа заполневных центров к числу пустых центров равно ро!ро. Наряду с определением величины р о можно определить сопутствующую величину и~ — — ио(рь так что отношение числа заполненных центров к числу пустых также равно по/иь Когда энергия Ферми совпадает с энергией локалиаованного состояния, плотности свободных носителей, очевидно, точно равны р«и.
рр Предположим, что для пустого центра сечение аахвата свободного электрона, имеющего скорость р„, равно о,. В этом случае говорят, что центр имеет поэффииивнт захвата р„оо для свободного электрона со скоростью р„. Коэффициент захвата для пустого центра, усредненный по тепловому распределению скоростей электронов, удобно записать в виде с„=— (р„оо ). Точно так же можно назвать величину ср — = (ррор ) коэффициентом захвата заполненного центра для свободной дырки, усредненным по скоростям всех свободных дырок.
а) Показать,что в том случае, когда процесс иабыточной генерации, выаванной внешним воздействием, приводит к изменению плотностей свободных носителей до значений п = — ио + и, и р = = ро + р„ доля занятых рекомбинационных центров равна ио Ре ое ос+со + М б) Показать, что устойчивая избыточная генерация со скоростью у, приводит к таким аначениям и и р, для которых Хвсоср (ир — з)) у с~ (о + ад+ ср (Р+ Рд в) При условии достаточной малости Л'„, когда и, и ре почти ие различаются, показать, что время жизни избыточных Теория скорости рекомбинации о иолдирооодиикак 427 электронов и дырок одинаково и имеет вид то (по+во) + «саик по+ Ро+ по где то — время жизни для очень малых значений п„а т — предельное время жизни для очень больших значений и,.
Решение а) В настоящей задаче энергия локализованного состояния, связанного с рекомбинационным центром, определяется с помощью чисел и, и рь Из определения ясно, что п,р, = п,р, = и';. Так как отношение числа занятых центров к числу пустых центров в равновесии равно по)пь в равновесии доля всех заполненных центров определяется выражением оо!ис 1+и~(о или ио 6 о — о,+и, Эта доля будет оставаться неизменной и прн нарушении равновесия, если выполнено условие и, = р,. Однако прн и, ~ р, рекомбинационные центры должны принимать р, — и, дополнительных электронных зарядов (если при этом можно пренебречь изменениями заполнения других типов локализованных состояний).
Таким образом, неравновесный случай характеризуется изменением частичного заполнения рекомбинационных центров (р, — п,)~М„. Результирующая доля «занятых» рекомбинационных центров равна (16.7.1) по+ си 6) Если предположить пространственную однородность, то уравнения непрерывности для избыточных алектронов и ивбы- точных дырок можно представить в следующем виде« Нос ио — =д,+(д — г) =4с, — —, (16.7.2) ~е, +(, Гс), ос б« тр В этих уравнениях величина д, — скорость генерации, возбуж- денной внешним воздействием, а т„и т — времена жизни избы- точных электронов и дырок.
Так как электронно-дырочная реком- бинация определяется заданным набором рекомбинационных цент- ров, то г — скорость захвата свободных электронов пустыми реком- бинациониыми центрами, 4ло Глава 1о д — скорость тепловой генерации свободных электронов занятыми центрами, г' — скорость захвата свободных дырок центрами, аанятыми плектронамн, д' — скорость тепловой генерации свободных дырок «пустыми» центрами. Иа уравнений (16.7.2) ясно, что при тепловом равновесии д = г и д' = г'.
Более того, величина у — г должна равняться у — г для установившегося стационарного неравновесного процесса. Рассмотрим прежде всего генерационно-рекомбннацнонные переходы между центрами н зоной проводимости. Используя коаффнцнент захвата с„, можно записать скорость захвата электронов Лг„(1 — 7,) имеющимися центрами: г = иЛ', (1 — 7„) в„.
С другой стороны, скорость тепловой генерации должна быть пропорциональна плотности занятых центров: д = АХ7,. АУ„ао поПвп~сп по+ и! по+ пв или 1= и1сп. С учетом скааанного можно написать следующие соотношения, связывающие скорости генерации н рекомбинации электронов с коэффициентом ааполнення 7„, который остается определить: 4в= ивгвв1всп1 г = иЛ'„ (1 (,) с„, (16.7.3) г — д=й„сп [и — ~„(и+и,)).
Аналогично, испольауя то обстоятельство, что в равновесии г' =- 4', можно выразить скорость генерации дырок череа рь Процесс генерации и рекомбинации дырок можно описать соотношениями я'= рвФ,(1 — 7,) с„, г' = рХ4„сю г' — и' = М„сп (~, (р+ рв) — рв). (16.7.4) Параметр тепловой активации А можно выразить через ив н с„ так как необходимо, чтобы в равновесии, когда („преобразуется в ),о= и4(ив+ и~) и и заменяется на и„выполнялось равен- ство д = г. Поэтому Теория скорости рекокбиноции е поярпроеодникох На коэффициент ааполнения 7„для установившегося неравновесного случая налагается требование, что г — д = г' — д', или )у„с„[п — [ (и+пс)[= де„ср [(р+ рс) ~, — рс[, откуда имеем сп (по+и1+ пе) + ср (до+ Ш+пе) веспер (по+ РО+ пе) Для очень малых отклонений от равновесия времн жиани для глубоких уровней равно сп (по+ пс)+ ср (Ро+ Рб то= ее~тенер (по+ Рей е) См., напрвмер, работу [1Ц.
(16.7.9) поп+ Разор (16.7.5) сп (и+ пй+ ср (Р+ Р~) Подставляя (16.7.5) в (16.7.3), определяем зависимость (г — у) отпирч (и+ пй (поп+ Р1ср) Веспер (,Р— П,Р,) сп (и+и~)+с (Р+Р~) Так как мы обсуждаем стационарный случай, из уравнений (16.7.2) следует, что величина, определяемая выражением (16.7.6), должна быть отождествлена со скоростью иабыточной генерации д, и с Пкйап И Р )тр. ЗаМЕНЯЯ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПСРС КВаДРатОМ ПЛОтНОСтИ собственных носителей, получаем и р Иеспср (пр — и.) И— (16.7.
7) т, тр сп (и+не)+ ср (Р+Р~) ' Результат (16.7.7) впервые был получен Холлом [1) и Шекли и Ридом [2). в) Как указано вьппе, соотношение (16.7.7) выражает параметры т, или т„через ие и р,. Применяя выражение (16.7.1) и (16.7.5), МОЖНО УСтаНОВИтЬ СООТНОШЕНИЕ МсжДУ тп И П„НЕ СОДЕРжаЩЕЕ Р„ или соотношение между тр и р„не содержащее п„но эти выражения довольно сложны'). Однако если число ее'е мало, то п, и р, практически одинаковы независимо от того, мала или велика избыточная плотность по сравнению с тепловой (равновесной) плотностью свободных носителей.
Доля 7, занятых центров все еще является функцией отклонения от равновесия, но если Ле„(7е — 7„о) мало по сравнению с и„ то электроны и дырки обладают одинаковым установившимся временем жизни. Полагая и, = ре в (16.7.7), имеем Глава 16 430 тогда как для отклонения, очень болыпого по сравнению с тепловыми плотностями свободных носителей, время жиани асимптотически приближается к т = — + —, 1 ($6.7.10) Меер )геен Итак, для любого значения п, величины то и т могут быть испольаованы для описания времени жиани носителей: то(ло+Ро)+т не (16.7.11) но+ Ро+ ле что и требовалось покааать.
ОБЩИЕ РАБОТЫ 1. Ркения С, М., Фотоэлектрические явления в полупроводниках, М., 1963. 11. В!ауетоге е. В., Яеш!сош1пс!ог Я!а!!внсв, Ох(огд, 1962. (Имеется перевод: Дон. Военкор, Статистика электронов в полупроводниках, ивд-во «Мир», 1964.) 111. Аале)»Ь«гу Р. Г„ргоЫешв !в ВесошЬшаМоп Я!а!!в!!св, в книге: ревгЬбгрсгргоЫеше, то1. 6, ед. О. Ма«)еЬшя, )«е»о г'огЬ, 1967. 1У. Воен А., Сопсер!в ш РЬо!осопдпсв!т!!у авд АПе6 РгоЫешв, 1«ек уогЬ, 1963.
У. Ману А., Вгау В., ЬИе!оше о1 Ехсевв Сагг!егв ш Яеш!совбпс!огв, в книге: Ргоатевв !и Яеш!совбис«огв, то1. 3, е6. А. О!Ьвоп, Хе«о гогЬ, 1958. У1«. Анеео»н А. И., Введение в теорию полупроводвнков, М., 1962. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Яаи В. А«., РЬув. Рет., 87, 387 (1952) ° 2. Зло«у!еу )у., Веаа )у. Т., РЬув. Вет., 87, 835 (1952), гллвА 17 Перенос в газах Д. Гриффитс 17.1 а) В изотропном стационарном газе молекула примеси первоначально находится в точке г = О. После /т' столкновений с другими молекулами рассматриваемая молекула окажется в точке гя = (хя, уя, гя). Введем обозначения Ьхя = — (хя — хк,) и Ьхя=(хя — хя 1)а и предположим, что для средних по большому числу возможных траекторий 1) (Ьхя ) = (Лука) =- (/[э~к > (т. е. гаэ является изотропным); 2) величина (Ахв > (равная, например, )ь/3) не аависнт от /1' (т.
е. газ является однородным и стационарным); 3) (Ах~Лх~ > =- О для 8 чь / (т. е. последовательные свободные пробеги некоррелированы). Показать, что средний квадрат смещения (хя ) в направлении х равен /[/аа/3, откуда показать, что (* (' — 3 если 1/т — средняя частота столкновений. Выразить словами смысл величины Х. б) Пусть /(х, г) — распределение вероятности для молекулы примеси в момент времени / [т. е. / (х, 8) Их — вероятность того, что в момент времени / молекула расположена между плоскостями х и х + Ых независимо от координат у и г).
Вычислить среднее значение и дисперсию смещения для распределения /(х, 8). в) В соответствии с центральной предельной теоремой г) теории вероятностей распределение / (х, /) асимптотически для больших / является нормальным (гауссовым) распределением с нулевым средним значением (см. задачу 2.9). Покааать, что в этом случае распределение / (х, г) удовлетворяет уравнению д1 да/ — =В— д1 дла где /) = Аь/бт. я Р. х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
