Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 71
Текст из файла (страница 71)
«а»). Для газа в трубке диаметром И понятие коэффициента вязкости имеет смысл, только когда А (( Ы„В атом случае») 1/г«. Для Х )) с) скорость течения определяется столкновениями молекул со стенками трубки и не зависит от г. Поэтому Перекос е еаеах наблюдаемая вязкость (определяемая по скорости течения) достигает конечного предельного значения при г- О. г) Газообразный аНе будет вести себя подобно идеальному газу в области давлений, в которой столкновения между молекулами не играют важной роли, т.
е. при Х )) с(. Иэ задачи 17,3, п. «а» имеем е. 1 секези ' Согласно уравнению состояния идеального газа, р = — = п)сТ, рВТ где смысл обозначения поясняется в предыдущих задачах. Следо- вательно, искомая область давлений определяется условием так как (3шьт) и Для заданных значений параметров газообразного 'Не это условие определяет следующую область давлений: р (( 5 10е днн.см-э ж — атм. 1 2 17.7.
а) Два атома одинаковой массы, имеющие начальные скорости ген т„ испытывают упругое столкновение. Какие значения скоростей возможны после столкновення7 б) Чему равно изменение Л скорости одного из атомов, если угол рассеяния в системе центра масс равен 09 в) Пространственно однородный одноатомный газ с плотностью числа частиц п имеет изотропное распределение по скоростям ~ (т), обладающее следующими свойствами: ') 7'(т)с(т=п, — „~ тт(т)с)в =э=О, — '1 "П.) п Прн столкновении двух атомов распределение по 0 не зависит от их относительной скорости, и среднее значение 0 равно ф.
Вычислить в первом порядке по ф среднее значение (Л) величины ( Л ~ для столкновений атома, имеющего начальную скорость и = О. (Скобки (...) обозначают усреднение по столкновениям.! 444 Глава П г) Используя полученные результаты, показать, что группа атомов, первоначально имевших нулевую скорость, начнет «диффундировать» нарун«у в пространстве скоростей с «коэффициентом диффузии» вл, = Агуг~рЧ«, где 1!т — средняя частота столкновений для атома с нулевой скоростью и А — безразмерная постоянная. !У к а з а н и е: Испольаовать результат задачи 17.1.) б) й =гтг ъм где 2ъ'г — относительная скорость после столкновения, т. е. юг=-юг= — )т' — тг! 1 гтг 'ъ г = югюг соа О. Разлагая вектор А на компоненты, параллельную и перпендикулярную ъ о получаем Лз =- — ю, (1 — соз О), Ль —— юг зш О.
в) В первом порядке по О Лх =в,О, Лв —— О, поэтому ! Л ( =- вгО, и после усреднения по О имеем (А! =югер. Вероятность того, что ростью сталкивается с т7'(т). Таким образом, по О) имеем за единицу времени атом с нулевой скоатомом со скоростью т, пропорциональна для среднего значения ! Ь ! (усредненного ) Л»7(т) ат (Л) = ) »1(т) лт Решение а) В системе центра масс атомы имеют начальные скорости ~ гтг — — -+- '~г (т, — тг). Из сохранения полного импульса следует, что конечные скорости такгке должны быть равны и противоположно направленьь Из сохранения полной кинетической энергии вытекает, что модули начальных и конечных скоростей должны быть равны.
Следовательно, начальные скорости равны по величине н противоположны по направлению; то же самое имеет место для конечных скоростей. Все четыре скорости лежат на сфере радиусом юг в пространстве скоростей; центр этой сферы соответствует скорости центра масс. Перекос в савве Так как кг, = и/2, получаем ~ оЧ(2) ~2 (й) = —, ср ог (т) от Но 2(2 У ( 2)2~2 где А' — безразмерная постоянная.
Следовательно, (Л) = у А' <рА. г) Так как газ является иэотропным, вектор Л имеет произвольное направление. Следовательно, атом с нулевой скоростью начинает совершать случайные блуждания в пространстве скоростей, причем средняя длина шагов равна (Л ), а совершаются они со средней частотой 1й. Вследствие атого скорость атома отклоняется от нулевого значения, и длина шага может изменяться при увеличении числа случайных блужданий. Для исходного коэффициента диффузии в соответствии с задачей 17.1 имеем г~ (а)2 Р о Этг откуда 42(р2)гз Ро где А — новая безразмерная постоянная.
1Некоторые процессы в металлах „где подобное исследование столкновений при помощи рассмотрения случайных блужданий в пространстве скоростей особенно удобно, обсуждались недавно в работе (21.1 17.8. а) В случае, рассмотренном в задаче 17.7, п. «в», вычислить среднее значение 22 для столкновений атомов, обладающих малой скоростью и, с точностью до членов второго порядка по ~р. б) Показать отсюда, что группа атомов с малой скоростью и будет приобретать в процессе столкновений среднее ускорение 2 (') = —— 3 где  — безразмерная постоннная.
в) Считая, что выражения, полученные для Ро и (и ), справедливы для произвольной скорости и, показать, что в общем случае существует поток атомов через единичную «поверхность> пространства скоростей (приходящийся на единицу объема реального про- Глава ГГ странства и на единицу времени), пропорциональный выражению (Азрз д1 + пэ 1) д1 1 1о э««« (Это так называемое релансационное приближение ь).) е) Оценить порядок величины <е в газе из классических жестких сфер, для которых все углы рассеяния равновероятны в системе центра масс. Решение а) Рассмотрим столкновение двух атомов с начальными скоростями и и ч.
Пусть тч = (и — ч)/2. Разложим изменение скорости Л первого атома на векторы, параллельный и перпендикулярный ьч. Поскольку вектор Ль может с равной вероятностью иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной ьч, то <Г«> < О Согласно решению задачи 17.7, п. «б», Аа = — »ч (4 — сов 9) = = '/»т«8» с точностью до членов второго порядка по В.
Так как газ иэотропен, вектор <Л ) = <Ла > должен быть параллельным и; примем это направление за ось х. Тогда <Л> (Лз ) 4 <В > (и > 4 (В > ( < >) Отсюда, используя соображения размерности, можно получить искомый результат; его можно также получить и посредством следующего более детального анализа: ) о (ч — а<1(ч) дч (иа) = ) <ч — в<1<ч> Ыч Для малых и ( у — и ( = и — и — *+ О (из).
Следовательно, ~ (ч — п(1(ч) й =и (й+О (из)), (47.8Л) »> Дальнейшее обсуждение см. в работе [1И]. г) Отсюда показать, что функция распределения по скоростям 1(ч) для газа в состоянии равновесия является максвелловским распределением, полученным в задаче ЗЛ. д) Исходя иэ полученных результатов, задать функцию 1« и оценить значение де в следующем общем приближении для 1(ч) в случае столкновений: Перенос е еаеае так как из соображений симметрии эн/э=О.
Кроме того, ~ эн|ч-и)/(ч) е(ч= ~ [э„э — и — "+0(из)) /(ч) «(ч= = п [ — и ( — *)+0(и»)) . Так как распределение /(ч) изотропно, то (-",'*) =(-".') =(Ф) =Ф( ) =Ф" Поэтому (ва) = — — """+ 0 (иэ). Зно Следовательно, (Л) — — (8») — и+ 0 (из) = — Н»трап+ 0 (иэ), $4 3 где Вз — безразмерная постоянная. б) (и) = —, Са) (н) ' где 1/т (и) — средняя частота столкновений для атома со скоро- стью и. Величина 1/ "е (и) пропорциональна потоку молекул (17.8.1). Таким образом, — = — + 0 (из), 1 1 «(и) « гдв т = т(О). Следовательно, (и)= — — и+0(и ).
в»,р и в) Диффузионныйпоток атомов в пространстве скоростей задается по аналогии с законом Фина (в трех измерениях) как поток — 0„(д//дч) атомов через единичную «поверхвость» пространства скоростей, приходящийся на единицу объема реального пространства и на единицу времени, где коэффициент.0, вычислен в задаче 17.7, и. «г». Дрейф, рассчитанный в п. «б>, вызывает поток в пространстве скоростей, определяемый соотношением ° я«,р» / (ч) (ч) = — — ч/ (ч) в той же системе единиц.
Сумма этого вырая«ения и диффузионно- го потока дает искомый результат для полного потока. Глава ГГ г) В равновесии полный поток равен нулю для любых т. Из результатов п. «в» имеем дГ/дт 'б т. Это согласуется с предположением об изотропности Г'(т), т. е. Г'(т) является функцией только ( т !. Поэтому Агу"г а( +г»«ов т. е. В»аг 1п/ = — — +соиз1 2А»'в'г 1 или Вгаг 7(т)=соне«'ехр ( 2А«аг ) ° Легко показать, что для такого распределения 7' (т) — ЗАЧ~~ оз яг Но гг = Уг по определению. Поэтому АЧВ» = "/г. Применяя теорему о равномерном распределении анергни для установления связи уг с те»шературой Т, получаем ~(т) =с пз«.ехр ( — — „'„) .
Постоянную сон»1 мояшо определить из условия нормировки ) 7(т)от=я в виде (2яаГ ) Таким образом, равновесное распределение является максвелловским распределением. (Втот результат справедлив независимо от сделанных приблигкений.) д) Функция Г«(т) является равновесной функцией распределения, к которой при столкновениях релаксирует Г (т), т. е. максвелловской функцией распределения из п. <гю (Для движущегося газа необходимо модифицировать результат п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
