Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Так как температура Т постоянна и вещество однородно, то Ч 1п а„ = О; тогда Ч— = Ч ~ — ) = — Ч~р,= — — =Е, ю~~ (18.1.9) апет где Ю вЂ” равность электростатических потенциалов, Ь вЂ” расстоя- ние, на котором измеряется эта величина, и Š— электростатиче- ское поле. Перенос е лееталлах б) 1. Сохраним обозначения, введенные выше, и обозначим череэ1хток вдоль направления х. Тогда /х = е //у/, и /у(е = А, н определение (18Л.2) можно переписать в виде Пх/у/е Пх 4х е хеуее Р (18.1.10) Используя закон Ома — Пх//х = ее„находим По4х р= (18.1.11) таким обраэом, мы пришли к искомой формуле, связывающей р иВ 2. Из определения (18Л.З) и фиг. 18.1.1 имеем в обозначениях, введенных ранее, (18.1.12) РхП е /хПе где /, — толщина образца.
Заметим, что в соответствии с соотношением (18.1.12) для заданного вещества с фиксированным коэффициентом Холла В равность потенциалов пропорциональна 1//,. Следовательно, чем тоньше образец, тем больше ~ (/у ~ н тем легче намерить с/у. Однако, когда толщина /е становится сравнимой со средней длиной свободного пробега электронов, воаникают некоторые трудности. В соответствии с определением (18.1.3), основанным па феноменологической неравновесной термодинамике, если в обраэце соэдан ток вдоль положительного направления оси х и приложено магнитное поле в положительном направлении оси э, то в нем возникает градиент электрохимнческого потенциала (или разность электростатических потенциалов в случае однородного вещества) в направлении оси у. Величина этого градиента (или разности потенциалов) при заданных граничных условиях определяется коэффициентом Холла.
3. Даже для однородных веществ мы уже не можем полагать еу (ь/е) = — (/х//х, так как при наличии градиента температуры нельэя опускать первый член в правой части уравнения (18.1.8). В соответствии с определением (18Л,4), основанным на феноменологической неравновесной термодинамике, наличие температурного градиента внутри образца, находящегося в описанных выше условиях, приводит к образованию градиента электрохимического потенциала (уровня Ферми) внутри обраэца, величина которого определяется коэффициентом и.
Согласно уравнению (18Л.8), это обусловливает воэникновение градиента активности (или концентрации) электронов внутри обрааца и появление электрического ноля. 4. По причинам, указанным выше, мы уже не можем заменять С/у (ь/е) на — П1у. Глава 18 18.2. В задаче 18.1 мы рассмотрели феноменологическое описание реакции носителей заряда на приложенные силы. Подойдем теперь к этой проблеме с точки зрения микропроцессов, происходящих в веществе. Предполагается, что применима модель, описанная во введении, и что кинетическое уравнение Больцмана решено [2) для функции распределения , Ч, е з)в ~ (18.2 1) где 1 1+ехр [(а — р)саг) ' с [Р+ (лвт/асс) Р Х Н+ (вт!тв) а Н (р НЦ (18.2.2) (18.2.3) 1 + (в тЕЕ (т в) х (~-р) (с,г г = — 7е1с, ( — )— Т (18,2.4) Величина ех представляет собой вероятность того, что в кристалле имеется электрон с волновым вектором )с.
Как видно из (18.2 1), эта величина выражается через равновесную функцию распределения Ферми — Дирака (18.2.2) и, кроме того, содержит член, который представляет собой отклонение от равновесия в первом порядке. Здесь ч — скорость носителя, е — энергия н [с — энергия Ферми, отсчитываемая от нижней границы зоны, если мы имеем дело с электронами (Я = — 1), нли от верхней границы зоны, если мы имеем дело с дырками (У = + 1); к — постоянная Больцмана и Т вЂ” температура. Поправочный член в уравнении (18.2 1) содержит также функцию Ч", описываемую выражением (18.2.3), в которое в явном виде входят электрический заряд [ е ~, масса носителя т, скорость света с, внешнее магнитное поле Н и время релакса- В соответствии с соотношением (18.1.5), основанным на феноменологической термодинамике необратимых процессов, при наличии температурного градиента в направлении оси х и магнитного поля, направленного по оси х, возникает градиент электрохимического потенциала в направлении осн у.
По причинам, указанным в п, 3, это приводит к возникновению как электрического поля, так и неоднородного распределения активности (или плотности заряда) вдоль осн у. Величина этого эффекта в нзотропных веществах характеризуется коэффициентом Пернета Л'. 5. В соответствии с неравновесной термодинамикой коэффициент теплопроводности служит мерой теплового потока в веществе, возникающего как отклик на приложенный градиент температуры. Заметим, что тепловой поток направлен в сторону, протнвопололсную градиенту температуры. Перенос в»»«та«»ах ции т. Функция 'К зависит также от величины г", в которую в свою очередь входят пространственные градиенты приходящегося на единицу ааряда электрохимического потенциала»у, ($1е), и температуры ту, Т.
Именно посредством величины Р в задачу вводятся внешние силы. Как указано во введении, сопротивление среды учитывается временем релаксации т. Детальный теоретический аналиа показывает, что в тех случаях, когда такая концепция применима, время релаксации характеризуется выражением т = =т»е" '~», где т« — постоянная и г — параметр рассеяния, имеющий значения О, 1 или 2 в зависимости от того, преобладает ли рассеяние на акустических модах, оптических модах или на ионизованных примесях.
При решении задач настоящей главы следует обратить внимание на использование функции (18.2.1) для построения выражения для плотности тока и теплового потока (п. «а») и на использование определений, данных в аадаче 18.1„при получении формул, выражающих кинетические коэффициенты через определенный набор интегралов (п. «б»). Эти интегралы затем оцениваются для частных случаев, указанных в п. «в» н «г». Основываясь на сказанном выше: а) Вывести феноменологические уравнения, определяющие ток и тепловой поток в кристалле под действием магнитных полей и градиентов электрохимического потенциала и температуры.
Испольэовать приведенную выше функцию распределения. б) Исходя из реаультата п. «а», выразить через соответствующие интегралы переноса следующие кинетические коэффициенты: 1) удельное сопротивление при Н = 0; 2) удельное сопротивление при Н ~0; 3) коэффициент Холла; 4) коэффициент Зеебека при Н = 0; 5) коэффициент Зеебека при Н =д 0; 6) коэффициент Нернста; 7) теплопроводность при Н = 0; 8) плотность носителей заряда. в) Уточнить п.
«б» следующим образом: ввести подвижность, определяемую соотношением и = ет/т. Далее, определить время релаксации выражением т =- т»е" '~', о котором говорилось выше. Наконец, положить Н~ — ~- 0 и рассмотреть функцию (18.2.2) в предельных случаях классической и сильно вырожденной статистики. Выразить полученные кинетические коэффициенты через атомные параметры и составить соответствующую таблицу. Заметим, что для сильно вырожденной статистики н для г = О результаты совпадают с найденными на основе модели Зоммерфельда. г) Повторить расчеты, указанные в п. «в», для предельного случая Н,- со.
раева тд (18.2.6) (18.2.86) Решение а) Скорость переноса ааряда через единицу поперечного сечения описывается выражением а = ~' Яет1,Г1, = — ) т~~~112)г. (18.2.5) В правой части суммирование по дискретному набору 1«заменено интегрированием (174п») ~ 11Ч«; множитель1!4л»возникает в результате [1 — 3! подсчета состояний с дискретным квазиимпульсом йк. Выпишем скалярное произведение из выражения (18.2.1) и перейдем от декартовых координат к сферическим в )г-пространстве; такой шаг допусти»1, если изучаемое вещество изотропно. Таким образом мы заменим вх, ию гх на $'„— У, Уе, Р . Теперь подставим функцию (18.2.2) в уравнение (18.2.5) и используем в качестве переменных интегрирования 7«„= а', 8», 1р».
Интегрируя по 1д» и 6» и упрощая, получаем у,= — ©) ч, ®)'(ф) йчй. о Обратимся теперь к «поперечному случаю», когда «силы» Р, вели- чипу которых мы можем менять, лежат в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, направленному вдоль оси 2. Записывая уравнения (18.2.3) и (18.2.4) для этого случая, подставляя (18.2.4) в (18.2.3) и вводя полученный результат вместо Ч'» в (18.2.6), получаем после ряда алгебраических преобразований Ух= ееК1 ух( ~ )+ ХЕ~Ы_#_а ( —,')+'у' (К1) в — ~2) ~7хУ+ + у Я1рв 1х~«) ЧГ (18.2.7а) ,У» = — Ее Н,б~~г„~ — ) + е КЮ» ~ — ) — — (61)»в — С») 22„Т+ х1 '1«) + у (К1РВ К») Ч»~ (18.2.76) где ь мо1кно отождествить с электрохимическим потенциалом (18.1.1) и где мы ввели общие интеграаы переноса: о О 4 Г '«1ь1«2»2 д1«де ВМтпс ) 1+1»2«2 де Н» е (18.2.8в) 465 Перекос е ееетааеаа Следует заметить, что эта частная формулировка может быть применена только для веществ с зонами параболической формы, в которых эффективная масса носителя т постоянна.
Аналогичный анализ можно провести для потока тепла С, обусловленного движением носителей заряда: С= ~~~~ ~выла~э= — „, ~ еаи373дз)с. 1 (18.2.9) Отсюда приходим к соотношениям ЕеК,Ч„(л)+е'Н,62Ч ( — )+ ') В ' Ч,Т+ +т(62)з 6)Ч Т (18.2.10а) — езН,62Ч„( — ) + ХеК Ч„( — ) — ~ (62рв — 6з) ЧаТ+ ~2)ев 3 Ч Т (18.2.10б) Следует обратить внимание на то, что выражения (18.2.7) и (18.2.10) характеризуют перенос заряда и тепла, обусловленный приложенными извне градиентами электрохимического потенциала и температуры, и, таким образом, представляют собой феноменологические соотношения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
