Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Пользуясь аналогией между законом диффузии Фина (задача 17.2, п. «в») и уравнением теплопроводности, обобщить рассуясдения в задачах 17.1 и 17.2, и покааать, что х ~4 рс„бт где Х вЂ” аффективная среднеквадратичная длина свободного пробега для переноса тепловой энергии. в) В каких пределах можно рассматривать явление вязкости как процесс случайных блужданий? г) Пусть коэффициент вязкости чистого (беспримесного) гааа равен г); показать при помощи рассуждений, подобных приведенным в и.
«б», что Г*ава 17 Величина С, представляет собой молярную теплоемкость при постоянном объеме и Л вЂ” газовая постоянная. Далее, откуда Ыи = рс, дТ« «/, = — Р„рс, —, дТ по в соответствии с определением К '< Х вЂ” 'в ° дТ дх Решение а) Теплопроводность является результатом перехода энергии от молекулы к молекуле при столкновениях.
Как и число примес- ных молекул в случае взаимной диффузии, энергия теплового дви- жения сохраняется при столкновении. Однако если примесные молекулы могут и не содержаться в газе, то тепловая энергия при температуре Т всегда отлична от нуля. Таким образом, можно считать, что в процессе случайных блужданий происходит рас- пространение любого локального избытка тепловой энергии. Далее, согласно классическим представлениям, данный избыток энергии теплового движения может быть произвольным образом распре- делен среди молекул. Поэтому следует считать, что порции тепловой энергии, совершающие случайные блуждания, имеют бесконечно малую величину.
Эти отличия от случая диффузии не влияют на асимптотическое поведение распределений вероят- ности. Следовательно, и вид дифференциального уравнения, опи- сывающего перенос, остается неизменным, при условии что «число примесных молекул» заменяется на <избыточную тепловую энер- гию», а Х заменяется величиной Х„которая представляет собой эффективную среднеквадратичную длину свободного пробега при переносе тепловой энергии.
Следует ожидать, что отношение а /Х имеет величину порядка единицы, а точное значение Х„/) аависит от эффективности передачи энергии теплового движения при столкновениях. б) По аналогии с ааконом диффузии Фика имеем да (3.= -Р.—, да где у„— поток избыточной энергии теплового движения на еди- ницу поверхности в направлении х„а и — плотность избыточной энергии теплового движения.
(Для простоты предполагается, что ди/ду = ди/дз = 0.) Коэффициент диффузии Р„для энергии теплового движения описывается соотношением л' Р и 6« Перекос е ее«ах Следовательно, К Лй — =,0 рс " бт ' в) Подобпо энергии теплового движения, начальная компонента импульса также сохраняется при столкновении. Не выходя за рамки классического (неквантового) подхода, можно считать, что этот ияшульс неопределенным образом распределяется среди молекул. Перенос заданной компоненты импульса, направленный только по нормали к его собственному направлению, можно рассматривать как процесс случайных блуясданий.
Параллельный перенос может воаникнуть только в том случае, когда йч т Ф О; при этом возникают изменения плотности, а поведение системы определяется главным образом процессом распространения звуковых волн. г) Рассмотрим перенос у-компоненты импульса в направлении х, где х и у — нормальные декартовы оси. Соотношение, аналогичное закону Фила, имеет вид Рс = В Р дх где Рс„— поток р-компоненты импульса в направлении х через единицу поверхности, нормальной к оси х, и ре — плотность у-компоненты импульса. Коэффициент диффузии для поперечного переноса импульса Вр задается соотношением 'Хй сер — — —.~ бт ' где Лр — эффективная среднеквадратичная длина пробега для рассматриваемого процесса.
Отношение Лр/Л должно быть порядка единицы. Так как Ре = Р"ы где ис — средняя скорость молекулы в направлении у, имеем доо Р = — Эр —. сх р Но, по определению е), до„ Р дх откуда ч Лй — =Р р р бъ' д) Из результатов п. «а» и «в» следует, что К сеЛй С»Лй ч Лр МЛ„ 440 Глава 17 где ЛХ вЂ” молекулярный вес газа. Отношение Хв!Ц доли«но быть числом порядка единицы, одинаковым для всех газов с близкими столкновительными процессами переноса энергии и импульса. Из приведенных в условиях числовых данных имеем 2,47 для 1че, — 1,96 для 57>, КМ чс.
2,54 для Кг, т. е. для обоих одноатомных газов Щ/)4 ж 2,5. Для двухатомного газа более низкое значение указывает на различие передачи энер- гии теплового движения, связанной с внутренни>ш (вращательны- ми) степенями свободы, и энергии, связанной с трансляционнымн степенями свободы. 17.5 а) Используя результаты задач 17.3 и 17.4, п. «б>, показать, что при температуре Т коэффициент вязкости газа из атомов, которые ведут себя, как жесткие упругие сферы радиусом г и массой т, приближенно равен (3т'лТ) Н 24кгз б) Как зависит коэффициент вязкости от давления газа7 в) Зависимость коэффициента вязкости для газообразного «Не от температуры приведена в табл. 17.5 1.
Таблица 17.5.1 Коэффициент вязкости газообразного «Не как функция температуры Т, К 15,0 75,5 171 291 457 665 1090 к, 10«г см"«с в 29,5 81,8 139 197 268 339 470 Качественно объяснить эту температурную зависимость. г) Пусть сила взаимодействия между двумя атомами гелия— преимущественно отталкивательная и изменяется обратно пропорционально и-й степени расстояния между ними. Используя соображения размерности, определить и из приведенных данных. Решение а) Из задачи 17.4, п. «б» имеем Ч «з — = — ж — =1) р 6« 6« где 11 — коэффициент самодиффузии гааа.
Из задачи 17.3, п. «в» и «д» имеем св ( 3вТ ')«1> В= 6яа(2г)а 1 ы ) Перенос е газах 44з Следовательно, из б) При заданной температуре коэффициент вязкости ц не зависит от плотности и, следовательно, от давления. в) Для газа жестких сфер ц Тмз. Из графика зависиьшсти 1я т) от 1я Т для газообразного еНе находим 1я ц ж г 1я Т + сопз$, где г =- 0,66 -+- 0,02 ) 0,5.
Атомы еНе взаимодействуют посредством силы отталкивания, сильно зависящей от межатомного расстояния. По мере увеличения температуры средняя кинетическая энергия атомов возрастает, поэтому они гораздо больше сближаются при столкновениях. Следовательно, эффективный радиус жесткой сферы г уменьшается и т) изменяется с температурой быстрее, чем по закону Тиз, как это и наблюдается на опыте. (При температурах, значительно превышающих критическую температуру, примерно равную 5 К, влияние дальнодействующего притяжения между атомами еНе пренебрежимо мало.) г) Средняя кинетическая энергия атома при температуре Т приближенно равна 1сТ.
Сила, действующая между двумя атомами, находящимися на расстоянии х друг от друга, равна — С/х", где С вЂ” константа. Поэтому их потенциальная энергия имеет вид С7(п — 1) х" з (л 1). Эффективный радиус ясесткой сферы г определяется этими двумя выражениями для энергии. Единственной безразмерной комбинацией г, С и йТ является СПТг" '. Следовательно, Т мз ц- — -т МЗ+2дн — 0 гз Из приведенных данных имеем — + — =0,66~0,02, откуда и = 13,7 ~ 1,6. 13начение и = 13 используется для члена, описывающего отталкивание в известном потенциале Леннарда-Джонса. Такое рассуждение, построенное на соображениях размерности, впервые было предложено Рэлеем Н).1 Глава 17 17.6. а) Коэффициент вязкости при 0' С дейтерия и гелия, обладающих молекулярным весом 4,0, равен соответственно 1,2.10 'и1,9 10-«г см-«с «. Оценить отношение вторых вириальных коэффициентов В» для рассматриваемых веществ при атой температуре, используя для их межмолекулярного взаимодействия потенциал твердых сфер.
(Заметим,что, согласно задаче 9.9, величина В»пропорциональна молекулярному объему.! б) Идеальный газ с заданным молекулярным весом при ааданных температуре и давлении можно рассматривать как предел последовательности гипотетических неидеальных газов с теми же молекулярным весом, температурой и давлением.
Каково теоретическое значение коэффициента вязкости идеального газа, рассматриваемого как такой предел7 в) Коэффициент вязкости газа можно определить по скорости его течения через капиллярную трубку диаметром Ы под действием перепада давления. Качественно оценить результат серии таких измерений вязкости для гипотетической последовательности газов. г) В какой области (среднего) давления газ «Не ведет себя в этом эксперименте, как идеальный' газ, если й = 10 «см7 Решение а) Из задачи 17.5, п. «а» имеем г(Не) )2 1,2.10-« г(0») ) 1 9 10 « В случае жестких сфер второй вириальный коэффициент В» пропорционален молекулярному объему (ср. задачу 9.9).
Следовательно, искомое отношение приближенно равно В,(В,) =(1'9) б) В пределе идеального газа величина В» (и вириальные коэффициенты высших порядков) стаповятся равными нулю, поэтому г-«. О. Следовательно, теоретическое значение коэффициента вязкости задается соотношением (ср. задачу 17.5,п. «а»): (3»«аТ)м« т) =1(ш -о т. е. т) -«. со при г — ~- О. в) Коэффициент вязкости ц -«- со, так как Х-+ со при г-» 0 (ср. аадачу 17.3, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
