Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 65
Текст из файла (страница 65)
(16.3.3) Одинаковый характер зависимости объясняется тем, что в этом случае, как и при спонтанной рекомбинации, существует равновесие между занятым состоянием в зоне проводимости и вакантным состоянием в валентной зоне, между которыми происходит рекомопнацнонный переход. Величина Л' п . дставляет собой число фотонов данной частоты к, обладающих энергией 1 ехр (Ьк/ЙТ) — 1 (16.3.4) Нас интересует соотношение между параметром В в выражении (16.3.3) и параметром А в выражении (16.3А).
Величина В должна входить также в выражение для скорости излучательных переходов снизу вверх, вызванных полем рекомбинационного излучения. Так как эта последняя скорость зависит от вероятности существования заполненного состояния в валентной зоне и вакантного состояния в зоне проводимости, для перехода из Е~ в Е„ имеем (йм = В1, (1 Уи) ЛГ. (16.3.5) Согласно приципу детального равновесия, в термодинамическом равновесии сумма г,р + г„— дм должна быть равна нулю 'й~~ = Еи — Еь Как известно, в термодннамвческом равновесии число Л~ определяется формулой Планка Глава 16 414 не только в целом, но и для переходов между любыми отдельными группами исходных и конечных состояний. Используя (16.3.1), (16.3.3) и (16.3.5), получаем, что в случае равновесия (Ааааа (1 — У!о)+ Ецио (1 — 1!о) Уо — Нюо (1 — Уао) Уо) = О.
Поэтому отношение коэффициентов вынужденной и спонтанной рекомбинации равно (ао (1 — йо) 4 )~'о (йо — Уао) Подставляя )„, ~,о и )о'о из (16.3.2) и (16.3.4), нетрудно получить очень простой результат  — = 1. А (16.3.6) Таким образом, беря отношение правых частей выражений (16.3.3) и (16.3.1), получаем, что как при наличии равновесия, так и при его отсутствии отношение скоростей вынужденной и спонтанной рекомбинации между Е„и ń— )от равно в точности', (16.3.7) гор б) В стационарном неравновесном случае полная скорость рекомбинации из Е„в Ев равна аово — й'во 'в Йгооад = угвр+ Йгво — 3уоо = о(гвр (1— угвр Это следует нз того, что в соответствии с принципом детального равновесия параметры А и В при равновесии доляоны быть равны друг другу.
Подстановка значений /„и (~ из (16.3.2) сразу же дает й' „=Егор (1 — Л'( ехр ( , ") — 1) ~. (16.3.8) При небольшом отклонении от теплового равновесия разность Ä— Ер становится положительной величиной, но меныпей, чем Ьт = — ń— Еь При этих условиях полная скорость рекомбинации агав „меньше, чем Иг, . Более сильное нарушение равновесия, при котором разность Є— Рр становится точно равной Ьт (т.
е. наРУшение РавновесиЯ, пРи котоРом га совпалает с ув), вызывает вынужденные переходы, происходящие вверх и вниз со скоростями, в точности равными друг другу. Для этого порогового значения разности Р„ — Рр величина о(гао совпадает с дг,р. Когда избыточные плотности свободных электронов и дырок возрастают еще больше, величина („ начинает даже превосхо- «еорик скорости рекомбикации е колукроеодкиках 415 дить ~ь В этом случае Ро — Рр > Ьч. Очевидно, это условие наиболее легко выполняется для состояний с энергией Е„и Е, = = Е„+ Е;; ему все труднее удовлетворить для состояний, сильно различающихся по энергии. Чтобы в полупроводнике возникли условия для лазерного действия, необходимо наряду с прочими условиями ') существование инверсной заселенности высших состояний валентной зоны и ниаших состояний зоны проводимости (т. е.
на высших уровнях должно находится болыпе электронов, чем на низших). При наличии инверсной заселенности полная скорость иэлучательного перехода с(гасли становится значительно больше, чем с(г,р. 16.4. В настоящей задаче, как н в задаче 16.3, мы будем научать прямую генерацию и прямую рекомбинацию электронно-дырочных пар при переходах мех«ду зонами. Для удобства снова будем предполагать, что иэлучательные переходы являются основным мехаыиэмом преобразования энергии. Рассмотрим большой однородный полупроводниковый кристалл, в котором отсутствуют неоднородные токи, так что уравнение непрерывности для иэбыточных электронов и рс дырок не эависит от пространственных координат.
В равновесном состоянии в 1 смг полупроводника содержится и, электронов и ре дырок, а в неравновесном и, + и, электронов и ро + и, дырок. Величины ио, ро и и, достаточно малы, так что величины Е„, Р и Рр находятся внутри эапрещенной зовы и лежат на расстоянии в несколько ««Т от ее границ (как и в случае, иаображенпом на фиг.
16.3.1). Показать, что иэлучательное время жизни тв иэбыточпых носителей пропорционально величине и,р, (ио + ро + и,). Решить уравнение для убывания числа носителей после прекращения вызванной извне генерации (испольэовать обозначение тя, для времени жизни в пределе слабого возмущения,когда и, достаточно мало). Показать, что сколь угодно большое отклонение от равновесия должно затухать до значения, соответствующего слабомуе «возмущению, эа время тя,.
Решение Так как по условию равновесная плотность свободных носите. лей н плотность избыточных носителей и, достаточно малы, чтобы величины Е, — Р„и Гр — Е, по-прежнему превосходили )«Т, то ') Существование ввверсвой ааселеввоств является необходимым, во ке достаточным условием того, чтобы рекомбкяацвоквое налучевке, обусловленное переходами вива, усиливалось бы еа счет стямучкроваввя новых переходов. Необходвмо тишке, чтобы процессы бееыэлучательвой рекомбвнацвм были слабыми я ве конкурировали с процессами яалучательвой рекомбкяацвв. Чтобы для какого-либо направления фотонного пучка получить «оптяческое усвлеяяеэ, превышающее вевэбежяые овтвческке потери, следует поместить лолцуроводвкк между эеркальяыми ловерхкостями.
величина запрещенной зоны Е;, очевидно, должна быть значительно больше йТ. Соответственно число фотонов одной частоты в равновесии должно быть малым по сравнению с единицей: Уеж ехр ( — — ) (<1 (16.4.1) для любой энергии фотонов, участвующих в межэонных переходах. Более того, так как разность Є— Рр должна быть существенно меньше, чем Еь из результатов аадачи 16.3 следует, что значение,Я в неравновесном случае, по-виднмому, не должно существенно отличаться от равновесного значения Лге. В таком случае скоростью вынужденной рекомбинации йгм из верхнего состояния Е, в нижнее состояние Е, можно пренебречь по сравнению со скоростью спонтанной рекомбинации йг,р между теми же состояниями.
Поэтому полная скорость иэлучательной рекомбинации равна йгеере = йг, р — йЕм = А~е (1 — ~~) — А~~ (1 — Те) Ф ~ ж А(„(1 — ~~) — А~~ (1 — Д„) Л'е, (16.4.2) где, как мы показали в задаче 16.3, в члены, отвечающие спонтанным и вынужденным процессам, входит один и тот же коэффициент А. Если электронная и дырочная заселенности характернауются квазимаксввлловским распределением даже в присутствии избыточных свободных носителей, то для любых состояний в зоне проводимости 1 I ул — Еи1 1+ехр ((Š— Р„УЬТ) ж ЕХР ( РТ ) (< 1, (16.4.3) а для любых состояний в валентной зоне Е~ — Рр 1 — Л ~ (е е )~ат вхр ( т Р ) (< 1. (16.4.4) 1+ ехр ((Р р — Е~)/ЬТ) " Подставляя выражения (16.4.3) и (16.4.4) в (16.4.2) получаем для полной скорости рекомбинации йг„е „=Авхр ( — — „) (ехр( „" ) — 1) = =Аехр( — — „) (ехр( " Р ) ехр( „Р ) — 11= =Авхр( „)(("+ее) (Р+ е) 11.
(1646) Заметим, что множитель, стоящий в квадратных скобках, зависит только от суммарных плотностей носителей, но не от равности энергий состояний, между которыми совершается переход. Поэтому Теория скорости рекомбинации е полупроводниках 417 при суммировании по всем энергиям переходов этот множитель сохраняется. Соответственно 'св и коро Величина С в приведенном выше выражении определяется матричным элементом перехода между зонами, плотностью состояний и т. д. Поэтому при заданных объемных плотностях свободных носителей от значения С зависит, будет ли излучательное время жизни тр большой или малой величиной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
