Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Используя результат задачи 14Л1 и соотношение (14.9.8), найти сначала выражение для х, а затем вид функции 7 (х) в приближении Дебая. [Ук а з а н и е: Использовать анализ размерностей.) Решение Величина х может зависеть лишь от фундаментальных постоянных е и )с; используя соотношение (14Л1.2) и проводя анализ размерностей, находим х= —, (14.13.1) 1" Иногда представляет интерес записать этот адиабатический инвариант в несколько ином виде, используя соотношения (14.1.2) и (14Л.4): гьз Х«нтрьтз= — ' (14.13.2) Адиабатическая ннвариантность величины Ыгй представляется физически правдоподобной, так как при одновременном медленном изменении объема всей системы и размеров дебаевского «облака» (пространственного заряда) сохраняется степень порядка и, следовательно, энтропия.
Из соотношений (14Л3.1) и (14.9.8) теперь сразу же вытекает, что в приближении Дебая 7 (х) = — у т~х. (14.13.3) ОБЩИЕ РАБОТЫь 1». Кудрин Л. П., Статистическая физика плазмы, М., 197ьь ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА ион Катр«я Х. С., реЫьтй»1 В. сь., ТЬсогс«1«а1 Ме«яооз 1п Р1азгоа РЬуз1«з, Ашзгогдаш, 1967. 25» РЛАВА 15 Отрицательные температуры и инверсная заселенность У. Уитулаер * 15.0. В настоящей главе представление об отрицательных температурах вводится посредством статистической модели спиновой системы.
Обсунадаютсн термодинамические особенности и рассматривается возможность использования систем с отрицательными температурами и систем с нетепловой заселенностыо уровней в качестве усилителей иалучения. В качестве общей работы, в которой освещаются вопросы, затронутые в настоящей главе, особенно в первых нескольких задачах, мо'кно рекомендовать классическую работу Рамсея И). 15.1. Рассмотрим систему из и одинаковых слабо взаимодействутощих спиноз. Каждый из спиноз занимает один из 2а + 1 равпоудалепных невырождепных энергетических уровней с энергией тИ' (т =- — г, — а+ 1,..., + г); средняя энергия каждого спина равна иа. Найти распределение, дающее максимум энтропии, а также соотношение между и, и температурным параметром ().
Вычислить статистическую сумму системы и теплоемкость как функцию р для положительных н отрицательных значений р. (Использовать соотношение р = 1йТ как определение температуры прн отрицательных значениях р.) Найти упрощенные выражения для случал а = Ча.
Решение Как и в случае идеального газа, статистическая сумма представлнет собой просто произведение одинаковых сомножителей, по одному для каждого спина. Непосредственно применяя процедуру, использованную в задаче 2.2, получаем вероятность р заполнения уровня т любым одиночным спином р = — е 1 а,и г (р) где я(~) иа ~~~~~ е З к = ( + ~а) ~~ аЬ (~ИФ'/э) а й. М. Тмиьиг, 1ваЮвс тоог ТЬеогес1асЬе руазса бег ВЦЬаэв1тегааеа, гдгасЫ. Отрызатеаьные тееснератгры ы ынеерснаа еасеееннвсть Величина (1 определяется из соотношения ив — — — г — — — И ~(г+ 2 ) с«Ь (г+ 2 ) $)И вЂ” 2 с«Ь 2 анИс1 .
Поскольку с1Ь х — нечетная функция, величина и, отрицательна для положительных р, и наоборот. Для теплоемкости путем дифференцирования сразу получаем следующее выражение: С= — и/с()' гыв =и/сб')Рз ~1 сзсЬ' 1 3Ис- 1.4 2 — (г+ — ) сзсЬ~ (г+ — ) рИс ~. Для г='/» имеем более простые выражении 2ф) = 2сЬ вЂ” рИ", 1 ив(())= -И 1Ь-,ЗИ, 1 С =- — и/срг)уз зсЬ» — рИе. 1 1 2 2 Энтропия системы при г =-- /ь дается соотношением Я = и (/срив+ /«1п 2) = и/«~~И' 1Ь вЂ” 1)И'+1п ( 2 сЬ вЂ” рИ') ) . Для системы с г = «/«выражения имеют более простой вид, поэтому легче определить их общие свойства (знаки и, и р, обращение в нуль С при р =- 0).
С другой стороны, любая система, которая может быть описана при помощи набора вероятностей заполнения р м и р« /„»ео1кет описываться так»ке посредством некоторой обратной температуры /ср. То обстоятельство, что величина 1п р пропорциональна энергии уровня тп (как это следует из условия максимума энтропии) при г = '/«, не налагает никаких дополнительных ограничений (именно поэтому с самого начала рассматривается общий случай г "/,). 15.2, а) Исходя из общих формул для канонического ансамбля, показать, что распределения, соответствующие отрицательным температурам, возможны в том и только том случае, когда плотность состояний систамы как функция энергии убывает достаточно быстро. Определить количественно понятие «достаточно быстро». б) Показать, что это условие нарушается, если энергия систев«ы включает кинетическую энергию частицы или энергию данной моды поля излучения. (Можно использовать результаты задач 3.13, п. «в» и 3.14, п.
«в».) Для спиновой системы отсюда следует, что понятие отрицательных температур имеет смысл только в том Глава 1л случае, когда можно пренебречь связью спиноз с кинетическими степенями свободы в «решетке» и с полем иалучения. Практически это означает, что время, в течение которого достигается равновесие внутри системы спинов, доля<но быть значительно меньше времени установления равновесия спиновой системы с решеткой илн с полем излучения.
в) Рассмотреть систему, для которой плотность возможных состояний возрастает экспоненциально: р (Ь) еал, с< = О; показать, что в этом случае допустимы только состояния с температурами Т ( 1<й<х. (Экспоненциально возрастающая плотность состояний была постулирована в работе (2) в статистической модели сильных взаимодействий при высоких энергиях. В этой работе обсуждались также возможные следствия существования максимальной температуры.1 Решение а) Пусть р (Е) <1Е обозначает число состояний, энергия которых заключена между Е и Е + «Е.
Среднее значение энергии (в каноническом ансамбле) задается выражением ') е ЗзЕр (Е) ЕЕ (1» = 1 е акр(е) не Если величина р (Е) не убывает по крайней мере экспоненциально, это выражение расходится для любого отрицательного значения р.
Даже полная вероятность того, что система находится в проиавольном состоянии с энергией, не превосходящей любого заданного значения Е„ будет исчезающе малой. Такое распределение неприемлемо с физической точки зрения. б) Как было показано в задаче 3.1 для кинетической энергии частиц, число состояний со скоростями, лежащими в области между «' и «+ ЫФ; пропорционально «'ЫК Это значение соответствует величине Е'~»ЕЕ, не убывающей экспоненциально. В квантовомеханическом случае аналогичный результат был получен в задаче 3 13,п.
«в». Для данной «моды» поля излучения величина р (Е) является постоянной; для поля фотонов в целом р (Е) — Е' (см. задачу 3.14,п. «в»). Наконец, если система состоит из двух частей, так что Ь' = Е"< + Ь<", то р (Е) = ~ ЕЕ'р'" (Е') рна (Š— Е'). » В этой формуле р<п (Е) и р<м (Е) — плотности состояний для подсистем. Ясно, что р (Е) будет убывать экспоненциально только в том случае, если и р<", и р'»' убывают по крайней мере экспоненциально. Отрицательнме темнературм и инверсная васе*енность 391 в) Как показывает сравнение с результатом п.
«а», если р (Е) — еаЕ, то значения р ( св неприемлемы. Поэтому температуры, превосходящие Т, = 1%а, невозможны в рассматриваемой модели. Решение Иэ формул, выведенных в задаче 15;1, для увеличения 0 и Ю при иаотермическом намагничивании находим (Мдтв = п(»(Н» $Ь зв — Нв ФЬ хв), (Л8) т, = )ср«(ЛУ) тв + п)с (1п Я (~) — )п Я (хв) ), 1 хь в = — )ьр«Нь». 2 Количество тепла, сообщенное системе, равно Т, (ЛБ)тв. Работа, совершенная над системой, описывается выражением (ЛА)т, = — пйТ, Пп Я (хв) — )п Я (х,)).
Соотношение между Т и Н вдоль адиабаты следует из того, что энтропия 8 зависит только от величины х = в/в())»Н. Поэтому величина х должна быть постоянна вдоль адиабаты, так что Н и Т пропорциональны друг другу. Работа, совершенная над системой при адиабатнческом увеличении поля Н, равна (ЛА)з, = пр (Н,— Н«) $Ьх= п(»Н« ' ' $Ь х. Карно: т = — Н,,Т,) Ув 1 ивовврмв т = — Н„Т,) т, Рассмотрим теперь цикл (Нв, Тв) — + (Нв ( ивово»ма (Н„Т,) ~' — "' — '"-" (Н. 1 хв = — рв(»Н», 1 хв = — ЬРНв. 2 15.3. Предположим, что фиксированное расстояние между соседними уровнями И' в системе иэ и спиноз, равных Ч„пропорционально внешнему магнитному полю: И' = )«Н.
Вычислить количество теплоты и работу, которые необходимо сообщить системе, если мы хотим поддерживать ее при постоянной температуре Т, в процессе изменения магнитного поля от Н, до Нв. Найти также работу, необходимую для адиабатнческого увеличения поля, и соотношение между температурой и полем при таком процессе. Каков результирующий эффект проведения цикла Карно между двумя отрицательными температурами? (Поглощенное системой тепло определяется соотношением о() = = ТЫ как для положнтельяых, так и для отрицательных температур.) Складывая работу, совершенную над системой на четырех участ- ках цикла, получаем окончательно (А~()п«з» у (А(»)г~ у (Ют« Как для положительных, так и для отрицательных температур Т, и Т, возможны два результата: 1) Система поглощает из термостата при температуре Т, количество тепла Л9; часть этого количества, равная (1 — Т«~Т,), превращается в работу, оставшаяся часть переходит в термостат с температурой ! Т, (( ~ Т« ~. 2) Над системой совершается работа; при этом тепло переходит из резервуара с меныпнм значением ) Т ! в резервуар с болыпнм значением ( Т !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
