Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Соответствующая теория называется теорией Дебая или приближением Дебая. с) Общие ссылки см., например, а работе (П. ' О. сег ссавг, Оератсшевс о1 ТЪеонсссса1 РЬувссв, Ов1тесв1$у о1 Охсога, Ох1овб. 14.1. Плазма представляет собой газообравную среду, состоящую из положительно н отрицательно заряженных частиц. Будем рассматривать следующую модель плазмы: газ из отрицательно заряженных частиц с зарядом — е движется на фоне нейтралиаующего положительного заряда,' распределенного с однородной плотностью п,е.
Пусть средняя плотность отрицательно заряженных частиц равна и,. Рассмотрим теперь дополнительный бесконечно малый точечный заряд сс, который для простоты будем считать расположенным в начале координат. Пусть этот заряд порождает малое сферически симметричное изменение ср (г) электростатического потенциала. Показать, что Плазма Из выражения (14.1Л) мы видим, что потенциал ф заметно меняется в пределах так называемой сферы Дебил„ имеющей радиус гв.
Решение Электростатический потенциал ф (г) долл"ен удовлетворять уравнению Пуассона Чзф = 4яеи (г) — 4яеп — 4ядб (г). (14Л.6) В состоянии термодинамического равновесия величина и (г) связана с ф (г) формулой Больцмана и (г) = Аезаз, (14.1.7) где постоянная А должна определяться из условия (14.1.8) п (г) «(зг = пзи. В термодинамическом пределе, когда объем системы э — со, потенциал ф стремится на бесконечности к постоянному значению ф (ос), которое мы выберем равным нулю, так что А = и,.
Подставляя формулу Болырлана (14.1.7) в уравнение Пуассона (14.1.6) и используя предположение, что реф (( 1, чтобы в разложении экспонент можно было сохранить только линейный по ф член, получаем фзф — н«ф = — 4яеб (г), (14Л.9) где н определяется соотношением (14Л.2). Решением уравнения (14.1.9), удовлетворяющим требованию сферической симметрии, является выражение (14.1.1). Заметим, что этот потенциал является экранированным с радиусом экранировки гв. Плотность и (г) представляет собой среднее число отрицательно заряженных частиц в элементе объема, отнесенное к объему этого элемента.
Эта величина имеет физический смысл лишь в том случае, когда элемент объема можно выбрать достаточно большим, чтобы в нем содержалось много частиц. Последнее в свою очередь означает, что если и' — среднее расстояние между частицами, т. е. для «( справедливо соотношение (14.1.5), то первое условие применимости развиваемой теории имеет вид «( !Чи! (( и (14.1ЛО) или ) ф п ) (( и'1з. (14.1Л1) Так как мы должны рассматривать величину и (г) только как среднее по достаточно большому объему, эта величина оказывается определенной «грубом То же самое справедливо для потенциала ф (г), и мы должны также потребовать, чтобы этот потенциал Гвава вв медленно иаменялся на расстоянии о'. Это означает, что радиус Дебая го должен быть большим по сравнению с о', так что второе условие имеет вид (14.1,3).
Используя (14Л.4) и (14Л.2), полу- чаем условие пвРевббв (( 1„ (14Л.12) или с учетом (14Л.5) ЙТ )) — „, или, наконец, йТ )) евпввв. (14.1ЛЗ) Последнее соотношение показывает, что средняя кинетическая энергия частицы должна быть большой по сравнению со средней потенциальной энергией. Системы, в которых выполняется это условие, называются горячей разреженной плазмой. Решение Выражение (14.2.Ц следует из формулы Больцмана (14.1.7) в предположении, что ()еф ((1, 14.3. Пользуясь теорией Дебая, найти полное число п,б избыточных отрицательно заряженных частиц внутри сферы Дебая. Решение + а пввб — ~ (п (г) пв) ббвг = — ~ е- х'г пг ~ — (14 3 1) а 14.4. На основе теории Дебая найти энергию Е„взаимодействия между зарядом о и зарядом в сфере Дебая. Решение Е яв(в(г) вв! б)3 в вв ) г = твх.
г (14.4Л) 14.5. На основе теории Дебая найти энергию Ео распределенного отрицательного заряда внутри сферы Дебая. Решение Еа = ~ ~ д~г ~ бб~г' (14.$Л) ~г-г') 14.2. Доказать, что плотность числа отрицательно заряженных частиц в присутствии дополнительного исчезающе малого точечного заряда определяется выражением и (г) = по + —, ф (г). (14.2.1) вГаавма Используя разложение по функциям Лежандра Р„(р), где р— косинус угла между г и г', имеем — ~', ( — "') Р„(р), г'(г, а=э (г — г'( — Я ( —,,) Р (р), г)г, а=э (14.5.2) так что Ер = —, Д хв ( г(г'е-"" 1 г' Йг'е-""+ ( г Юге-"' ( й'е-ю' = — дзх. (14.5.3) 14.6. Используя теорию Дебая, оценить среднее число пр отрицательныхх зарядов в сфере Дебая.
Решение 4 в 1 1 Ьт 13/в пр ~ — ппвгр ( — ) 3 $/4гс евапв Из соотношений (14.1.13) следует, что величина пр значительно больше единицы во всех случаях, когда применима теория Дебая. 14Л. Оценить в теории Дебая отношение энергии, найденной в предыдущих задачах, к флуктуации энергии в сфере Дебая.
14.8, Для горячей разреженной плазмы найти выражение для дебаевской длины в смеси ионизованных газов. Решение Испольауя рассуждения, аналогичные тем, с помощью которых было получено выражение (14.1.2), находим хз — Я евзп1, 4я (14.8Л) Ф где суммирование производится по всем сортам ионов, заряды и плотности которых равны соответственно ег и пр Решение Из задач 14.4 и 14.5 следует, что энергия, которую можно приписать каждой частице, является величиной порядке е'х, т.
е. такого же порядка, как и Ер. Полная электростатическая энергия в сфере Дебая является поэтому величиной порядка пре'х, а флуктуации имеют порядок ~/превх. Таким образом, искомое отношение имеет порядок ~~по,1 т. е., как покааано в задаче 14.6, является большим числом.
Гаава 14 14.9. Как показано в задаче 9Л6, применяя теорему о вириале, уравнение состояния можно записать в виде Рв ="'г кт + з (И')с сз т где И' — вириал межмолекулярных сил, т. е. (14.9.2) здесь суммирование ведется но всем частицам в системе, г;— радиус-вектор 1-й частицы и Р; — сила, действующая на 1-ю частицу из-за межмолекулярных взаимодействий. Наконец, (... )~,р обозначает усреднение по времени и по всем частицам в системе.
Используя уравнение (14.9.1), вывести следующее уравнение состояния плазмы: р=в,йт (1 ), (14.9.3) где по — величина, определенная в задаче 14.6. Решение Для плазмы вычисление величины (И')~ ср упрощается тем, что все силы являются кулоновскими. Имеем для И' И" = ~ (г~ Р~~) = — ,"~~ (г~ ~~Щ, (14.9.4) где верхний индекс С указывает, что мы имеем дело с кулонов- скими силами, и где 67 — полная электростатическая потенциаль- ная энергия, Так как У является однородной функцией степени — 1, имеем из соотношения (14.9 4) (14.9.5) Чтобы получить среднее по времени от 27, запишем эту величину в виде — — — с~9~'э (14.9.6) гп 2 сф1 где е~ — заряд 1-й 'частицы, г;; = (г; — г, ) и ~р; — потенциал в точке г„создаваемый другжзи ионами, так что мы можем напи- сать ~р~ (г) — е~ ) !г — г~~ 1 — '~ ,р,.
„=~ ' — '1 (14.9.7) Эта величина представляет собой полный потенциал, действующий в точке го без учета собственного потенциала 1-го иона. Для ~р; (г) можно взять потенциал Дебая (14ЛЛ); производя усреднение Р/ааааа (ср. вырансение (14.4Л)), находим 1, 1, 1 (И >ссз=((/>8 сэ= х,Я~ й(<Р(>с аз= с /)/(<Р'>сэ= с /)/В к (14 9 8) 4 Из уравнений (14.9Л) и (14.1.2) мы, таким образом, получаем следующее уравнение состояния: р= лс/сТ (1 — — ), (14.9.9) где число Дебая по определено в решении задачи 14.6. Заметим, что всегда, когда применима теории Дебая, отклонение от уравпения состояния идеального газа мало. 14.10.
Записать давление плазмы р в следующем виде: Р=Р =с+ Р (14Л0.1) где первый член в правой часта относится к идеальному газу (мы предполагаем, что взаимодействия являются только кулоновскимн), а второй член,' отвечает электростатическому взаимодействию. Доказать, что (14.10.2) где с/' — полная электростатическая потенциальная энергия. Для этого рассмотреть конфигурационную статистическую сумму, ввести новые переменные г'; = г;/А (где /с — объем, занимаемый системой) и использовать тот факт, что У' — однородная функция. Решение Имеем следующие соотношения: ~',> = ~ с(сг~...
с)зги ехр ( — (>с/'), (14.10.3) где интегрирование производится по объему и системы, 1 (14.10.4) Ф/ и с" ди д1а О Полагая с=ЕРс г,:=г;/Ь и используя то обстоятельство, что 5" (г.)=П'( (Т) = /, (/'(сч) (14.10.5) (14Л0.6) рр= — — — Ь ~ с(сг',... Углехр ~ — — ~-'-~, (14Л0.7) О Зс.с дБ где интегрирование теперь производится по единичному объему. Явная зависимость от Ь под анаком производной Н/пг, содержится хс — Оззз 386 Глава 14 теперь лишь в множителе Т,вл и в показателе экспоненты; неявная зависимость от Ь вообще отсутствует, Вычисляя производнуто по А и переходя к превкпим координатам, получаем соотношение 'рр= —, ~ «ввгв . г)вгм — ( Х+ — рГ'~ ехр( — рУ') (14,10.8) или Реп»ение Используя выражение (14.10.2), напишем ввв Можно представить уравнение (14Л1.1) в виде в 1 За' 1 в.
и = — в — — — и з' зт з (14.И,З) (14.И.4) решение атого уравнения имеет внд 6" = иво = аТ«о. (14.И.5) Используя соотношение Максвелла (см. задачу 1.7, п. «а») ( з ) = ( — т) (14.И.6) и соотношения (14.10.2) и (14.И,5), получаем Я= — = — аТо, в 4ГГ' а а зт з что доказывает утверждение (14.И.2). 14Л2. Рассматривая заряды в плазме как величины, которые могут изменяться адиабатически (масштабное преобразование), и рассматривая полную электростатическую потенциальную энергию У' как функцию энтропии Ю, величины заряда в и объема, найти общее выражение для У' в виде У"' =-т-г(х), (14.12.
1) где о, = ЫЛГ н х — безразмерный адиабатический инвариант. + 3( (14Л0.9) 14.И. Исходя из уравнения (14Л0.2) и термодннамического уравнения состояния (см. задачу 1.9, п. «а») (%) ='(~.) -' (14.И.1) где 5" — усредненная энергия взаимодействия (14ЛО.4), доказать, что для горячей разреженной плазмы гТ» = Адиабатический инвариант. (14.И.2) Л'заема решение Из соотношения (14.10.4) следует, что Применяя общий метод, использованный, например, в задаче 1.20, имеем г)(1' = — ое — — ь1и+ Т ИЯ', (14.12.3) или Ньсмз — = Адиабатический инвариант. (14.12.4) Соотношение (14Л2Л) получается теперь непосредственно. 14.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
