Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 54
Текст из файла (страница 54)
две заштрихованные площади на фиг. 11.14.1 должны быть равны. Это условие означает, что давление р одинаково для пг и пы, поскольку в случае однородной плотности мы имеем ча, = и/ (и). Таким образом, (Зр = — '= 7 (и) — п~' (и) = 7 (и) — уп = ф (и), (11.14.13) где использовано то обстоятельство,' что в случае однородной плотности (' (и) = у. Равенство ф (пг) = ар (пп), таким обрааом, означает, что рг = ры [ср. соотношение (7.3.1)]. 11.1б. Для ааданиых вначений полного объема и и полного числа частиц Х найти, в какой части пространства плотность частиц имеет значения пт и ип, введенные в предыдущей задаче; переходной областью пренебречь.
Дать выражение для свободной энергии такого неоднородного состояния с двумя плотностями, пренебрегая свободной энергией переходной области. Глава 11 344 Доказать, что давление имеет одинаковое аначение для всех состояний с двумя плотностями. Доказать также, что такое состояние имеет меньшую свободную энергию, чем состояние с однородной плотностью при тех же Х и р ').
Решение Пусть ог (илн пд) — объем, занятый частицами с плотностью и» (илн пп). Пренебрегая объе»юм переходной области, имеем иг ) О, ид ) О, юг+ пп = щ (1 1.15.1) Условие (И.15.1) выполняется при одном н том же значении у = ус для любого и» (см. фиг. И.15.1). Число частиц удовлетворяет условию Л' = п,и, + пг»эд, (И.15.2) таь что для всех значений У.'з в области Х п㫠— пд и (И.15,3) ((пг) — пК (пг) = ~ (пд) — пи~' (пп). (11.15.5) Иэ выражения (И.14.8) следует, что, пренебрегая переходной областью, имеем для свободной энергии — рг" =- Ф (п) = и»1 (п») + пгг~ (пд), (И.15.6) Г=-гг+ггб (11.15.7) для давления получаем вырал«ение) ()Р= — = — ' Рг+ — "" Рп=фР1 (= ~Ргг), (И.15.8) которое доказывает, что давление одинаково для всех состояний с двумя плотностями.
Чтобы докааать, что для всех значений ЛЧп, удовлетворяющих условию (И.15.3), свободная энергия состояния 'с двумя плотностями больше свободной энергии состояния с однородной плотностью с теми же дг и р, следует доказать, что иг1(пт)+пд~(пд))и1 ( г г „д " ), (И.15.9) Ч другие характеристики неустойчивого состояния с однородной плотностью исследуются в задаче 7.2, и. «д». существует состояние с двумя плотностями. Плотности пг и пд определяются, как мы видели, условиями Г' (п») = Г' (пд) (И.15.4) и Фавовые переходы или что на графике зависимости 7' (и) от и (фиг.
11.15.1) прямая, касающаяся кривой в двух точках, лежит выше этой кривой, как это, очевидно, имеет место. В заключение заметим, что в задачах 11.12 — 11Я5 содержится (приближенный) вывод пзотермы Ван-дер-Ваальса, включая горизонтальную часть. Рассмотренгсе является прнбли'кенным, хотя миг. 11.15.1. его можно провести и строго 16).
Однако в нем учитываются только дальнодействующие силы притяжения, хотя реальные силы взаимодействия между атомами обычно являются короткодействующими. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. сег Нааг Нп Е1епсесссз о1 ТЬеггаоагамзыса, Хеи Уогк, 1966. 2. Орееаоиввы В'., РЬуыса, 4, 722 (1937). 3. сет Наат Нп Ргоо. Коу. 8ос., А212, 552 (1952). 4. Лаийвдегд Р'. Т., ТЬегспойупаппсз, Хеъ УогЬ, 1961, Аррепй)х В, 5.
Итегбе1аий Н., АоЬапй1. Хогг)се УЫепз)сара-А1сай. Оа!о, Рйа1.-Ха1пгт. К1., Хо. 11 (1943). 6. оаи Каосреи Н. О., РЬуз. Вет., 135, А362 (1964). 7". Новолюбов Н, Н., Изв. АН СССР, сер. фиаич., 11, 26 1, 77 (1947). 8в. БоволюбовН. Н., Избранные труды в трех томах, т.
2, Киев, 1970. гллвА 12 Кооперативные явления ') Д. тер Хаар * 12.1. В соответствии с нашими целями определим ферромагнетик как решетку, в которой расположены спины. В настоящей главе нас особенно будут интересовать две модели ферромагнетиков— модель ХХзинга и модель Гейзенберга. В общем случае мы можем записать гамильтониан взаимодействия между спинами в виде ХХ = — 2 ~~ (1„(1 — и) Я~Я +1„(1 — и) Ядзи+1,(1 — и) Я8з]. (12.1.1) где 1 и и — радиус-векторь( узлов решетки, ог, оги, Я вЂ” компоненты вектора спина Бг, соответствующего 1-му узлу решетки (мы выражаем все спины в единицах й), и Х; (1 — я) — компонента обменного интеграла1, зависящего только от разности 1 — я.
Модель ХХзпнга в простейшей форме получается, если положить 1„(1 — й) =Хи(1-д) =О, (12.1.2) 1,(1 — я) = .(-г(=( ' ' ( ) 1, если 1 и я — ближайшие соседи, (12Л.З) О в противном случае и предположить, что частицы имеют спин г((г, т. е. я принимает только значения, равные +г)г и — г/м Модель Гейзенберга в простейшей изотропкой форме получается, если положить (12.1.4) Х = 1з = 1, = 1 (1 — й), так что гамильтониан (12Л.1) принимает вид Н= — 2Х 1(1-а)(В 8з).
(12.1.5) В присутствии внешнего магнитного поля (с нндукцией В) мы должны вместо выражения (12Л.5) написать ХХ= — Я У (В Вг) — 2 2,' 1(1 — и) (Вг В ), (12.1.5) г,з () См. работы (1 — 3]. (См. также ]4, б].— Прим. иерее.) " Р. гег Наиг, Рораггшопг о1 Т)(еоге$1са1 РЬуз1сз, Уштстзау о1 Ох1ог(], Ох]ог(). Кооперативные явления (р) = и (сФЬ г — —,), (12Л.9) где (12 Л.10) Решение Знергия диполя равна н= — (р в), (12.1.11) и среднее 'значение (с в направлении поля В дается выражением ~ е а~рсогейсогО (г)= ' (12.1.12) ) е спасове где 0 — угол между направлениями д и В. Зто приводит к выражению (12.1.9).
При высоких температурах функция влонжевека с1Ь г — 1~г ведет себя как ЫЗ, и поэтому ЗйТ (12.1.13) в то время как при низких температурах (р) и (г )) 1). (12.1Л4) 12.2. Частица со олином — Б в магнитном поле В имеет следующие уровни энергии: Ем = — л(гв БМ, М = — Ю, ° ° ., +Б (12 2 1) где рв — маснетон Бора, я — фактор Ландо и поле считается однородным. Простейший способ дальнейшего исследования состоит в использовании приближения молекулярного пола.
В этом приближении прежде всего гамильтониан (12.1.6) записывается в виде Н = — дрз ~' ~Яе ( В + — '~~ Т (1 — я) Яг ) 1. (12, 1. 7) в г Затем операторы Яг в сумме по я заменяются средним значением (Я ), которое не должно зависеть от И в силу трансляционной инвариантности. Из выражения (12.1.7) видно, что внешнее поле при этом заменяется эффективным полем в.ее= в+ в, (12.1.8) где В' — так называемое молекулярное поле. Чтобы найти поведение системы, необходимо научить сначала поведение магнитного диполя с моментом 1г во внешнем поле В, где энергия диполя равна — ()г В). Показать, что среднее значение момента при заданной температуре равно Глава 12 Пренебрегая всеми другими аффектами, показать, что выражение для статистической суммы 2 шкеет вид ва (28+1) « (12.2.2) «Ь« где теперь = 2 ра)»вВ.
1 (12.2.3) Используя выражение (12.2.2), найти средний магнитный момент частнпы. Решение Выра;кение для статистической суммы (!2.2.2) следует непосредственно из ее определения Я= ~ ехр(~у(«~ВМ). (12.2.4) Средний магнитный момент определяется выражением (1«) = б оо = г)«воВе (г) (12.2.5) где функция Бриллюэна Вз имеет вид Вз (г) = 2~ сг)«((23+ 1) г) — — с1Ь г. (12.2.6) 2о+ 1 При высоких температурах (г (( 1) .~з()-3(~+ ) 2 (12.2.7) так что У Ф+1) гзкв зау (12.2.8) 12.3..Используя приближение молекулярного поля, найти среднюю намагниченность (М) ферромагнетика со спином а) Показать, что в рассматриваемом приближении существует точка перехода, или точка Кюри Тс, такая, что в пределе  — » О значение (М) = О является единственным в области Т » Тс, в то время как при Т ( Тс величина (М) может быть и отличной от нуля. Если (М) ч1» О в пределе В -».
О, то говорят, что вещество обладает спонтанной налаен«ченнос»нью. Найти выражение для Т '). 9 Термины «те»шература (тсчка) перехода» н «температура (точка) Кюри» в настоящей главе используются как сакскими. Это выра»кение совпадает с выражением (12.1.13), если принять во внимание, что величина Я (В + 1) д»рвв является квантовоые- ханическим эквивалентом классической величины р'. Кооиератиение яеяеяия Решение Вместо гамильтониана (12.1 1) имеем теперь и= — (М В„,), (12.3.1) где магнитный момент М всей системы равен М=аЬХВе (12.3.2) В В+ з (Я)~1(ф з Из выражений (12.2.5) и (12.2.6) получаем из Д/ частиц со спином Ч, (М) = ЛКрв (й), или (12.3.3) для системы (12.3.4) (М) х //арн ~~ ~ 2 Роорв~афф ) ° 1 ! 1 Следовательно, иа уравнений (12.3.4) и (12.3.3) приходим к следующему неявному уравнению для (М); (М) =- — /Удрв 15 ~ — ()урв (В + д (М))~, (12.3.6) где 2 Х 1(к) Л' (хая)з (12.3.7) а) Чтобы найти температуру Кюри, нужно решить уравнение (12.3.6) для случая В =- О, а именно ;; 1(д) (12.3.8) яео 2ЬТ Мое' где М, = '/ /Уд(ев — намагниченность при Т = О.
Заметим прежде всего, что значение (М) = О всегда является решением уравнения (12.3.8). Далее, рассмотрим величияу у=в (ЛХ1 б) Определить поведение средней спонтанной намагниченности вблизи Тс в) Определить поведение средней спонтанной намагниченности в низкотемпературной области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
