Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Величина Н„, г удовлетворяет уравнению „+( — „, [Е„,~ Н(,)) —,'2 В=О; 1 [1+1) г 1в,г 1 В2 и гг аналогичному 'уравнению с У=О удовлетворяет Л<е>. 318 Глава лО За счет вклада координат центра масс появляется множитель 2НЧ'/ио, и мы имеем Ввоза = — 2 МЛгоо,~ ~(21+ 1) бо ~ ехр ( — рЕ) р (Е; 1) т) Е, о где мы предположили, что не существует дискретных уровней энергии, заменили суммирование по и интегрированием по Е и приняли, что числа уровней энергии Е„~ и Еф между Е и Е+ НЕ задаются величинами р, (Е; 1) ~(Е и ро (Е; 1) НЕ, где р (Е; 1) =.
= р,(Е; 1) — р,(Е; Ц. Вводя волновое число Й, определяемое следующим образом.' Лото Е— получаем Еноол= 2 ~Лтго",Я (21+1) бг ехР ~ — — ~ з(Й, 1) о1Й; а~т г" бвоьо уравнение для Л„, теперь принимает вид — „+~Й вЂ” „, и(г) — — о~в=О.
оОЯ Г ш 1(1+1) Ч Для больших значений г величина 0(г) обращается в нуль, н асимптотическое решение для Л имеет вид Л = з1п (Йг + т) (Й, 1)) при граничном условии (соответствующем обращению в нуль волновой функции на границе объема) Л (го) =. Е'о' (го) = О, где г, велико. Зто граничное условие приводит к условиям Йго+ тт (Й, 1) = пя, (10.10.4) Йго + т1'о' (Й, 1) = пя. Если ЛЙ и ЛЙ'о' заменяются на Й, когда и иаменяется на единицу, то имеем, очевидно, 1 1 р(Й, 1)= ль,я~о) а из условий (10.10.4) следует (го+ — ч) ЬЙ=я, ( ° — -) г,+ — ) ЛЙ"о=я, д„~~о> т откуда получается выражение (10.10,1).
319 Пеидеааънаа нванпввил вав ФОРМАЛИЗМ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ в) 10.11. Для многих целей оказывается удобным применение формализма, не зависящего от числа частиц в системе. Пусть теперь ю„— полный ортонормированный набор одночастичных функций (при необходимости включающих зависимость от спина).
Для системы из Х одинаковых частиц можно тогда использовать в качестве полного ортонормироввнного набора базисных функций соответствующим образом симметризованные функции (вв, в'„..., вн)= — 'Я ер<р;,(Р1)~р„,(Р2) ... рв„(РМ). (10.11.1) р Набор бра-функций, соответствующий набору кет-функций (10.11.1), имеет вид (цв, 1, ...вн)= —, ~~ ервр';,(Р1) ~р'„(Р2) ... <р*; (РЛ~)., (10.11.2) а) Доказать, что наборгв (10.11.1) и (10.11.2) удовлетворяют соотношению ортогональности 1 ав (в,', в,', ..., Ь(в„Ц, ..., 1л)= ~~ ~ з,, 6()в — 1ю)...
6(Ь вЂ” )ив) р (10.11. 3) и свойству полноты или замкнутости. Мы предположили здесь, что индекс в является непрерывным параметром. В случае дискретности параметра 1 следует заменить 6-функцию Дирака ва 6-символ 1(ронекера. б) Пусть ( Ч' ) — соответственным образом симметризованная волновая функция системы из Л'частиц. Вырааить ! Ч') через набор (10.11.1). Дать также выражение для оператора (в, действующего на функции в пространстве Гильберта, натянутом на базисные функции из набора (10.11.1). Решение б) ~Ч)=1 ... 1,П, ... (в,!в„,в„)«„...,1.,(Ч), где ~ Ж указывает„что интегрирование ведется по координатам 1-й частицы (и, если необходимо, указывает суммирование по ее спиновым переменным). а = 1 ...
1 вН, ... вН И1; ... в(1я)11, ..., 1 ) Х Х (вйэ ° з вязав)1вв ~ (хл) (в)е ~ 1я в) Ссылки на общие работы см. в работе (2). (См. также (3 — 5).— Прим. нерее.) Глава 10 зго 1ОЛ2. а) Рассмотрим системы с произвольным числом частиц, т. е. рассмотрим гильбертово пространство, являющееся (прямым) проиаведением гильбертовых пространств, соответствующих О, 1,..., Л", ... частицам. Полный ортопормированный набор, образующий базис этого гильбертова пространства, состоит из функций !0>, !1>, ~1» 1з>, ..., !вы [ю ..., [п>...
(10Л2.1) [а+ (1), а+ (1)) =- 0 (10Л2.3а) и для фермионов [а' (в), а' (1))+ = О. (10.12.36) в) Введем оператор а (1), определяемый соотношением Ов ° ° )л, / а (1) = (Л' + 1)вм (в', ьн ..., [и / . (10.12А) Доказать, что для базанов [а (М), а(1')) = 0 (10.12.5а) и для фермионов [а (1), а (1)]в. — — О, (10.12.56) г) Найти выражение для а (1) ~ 1м ..., 1„). д) Доказать, что для боаонов [а(1), а+ (1)) = 6 (1 — у) и для фермионов [а (1), а+ (1))е —— 6 (1 — 1).
(10.12.6а) (10.12.66) е) Пусть Р— оператор вида а Ха[ +2 Ха'у' (10.12.7) где Й[" и Й[ввэ — соответственно одночастичный и двухчастичный операторы, различающиеся только тем, на какие частицы они действуют. Выразить ь1 через а' (1) и а (1). где ~ 0) — вакуумное состояние. Введем теперь оператор рождения, производящий собственный вектор, соответствующий )в' + 1 частицам, из собственного вектора, соответствующего Л' частицам, следующим соотношением: а" (1)/1ы ..., вл)=(У+1) ~'(в, вм ..., [я), (10.12.2) Выразить / 1в,..., [п ) через а' (1) и вакуумное состояние.
б) Если [А, В) = Л — ВА — коммутатор и [А, В)в. —— = АВ + ВА — антикоммутатор двух операторов А и В, доказать, что для бозонов Нвидвак»квй квактовыа гаг Решение а) )Ум ..., Рл) =ща+(У«) а" (1»)... а+(гп)) О). б) Результат следует из (10Л2.1) н (10Л1Л). в) Результат следует нэ (10.12.4) и (10.11.1). г) Рассматривая матричный элемент (У„..., ун г ( а (1) ~ 1„..., «и ) н принимая во внимание, что окончательное выраженно справед. лнво для любого (у;,..., ун, ), находим ,а(У)(0, ..., Ул)=Л '(6(1 — У«)! гю °, уъ)+ - ° ° + + (~ 1) б (1 — У»«) / гы ..., 1» «)), где верхний (ннжний) анак снова соответствует случаю бозонов (фермионов).
Из этого уравнения следует, что а(у) является оператором уничтожения. д) Результат следует нз (10Л2.1), (10Л2.4) и выражения, приведенного в п. «г». е) »в= ~ йй'(У)йа'( Р) а'(1) а(Р)+ + — ) йдуй'ггу'(Уу(йа'(Ру')а+(г)а'(у)а(у')а(Р). (10.12бу 10.13. Рассмотрим систему, заключенную в конечный объем и, так что в качестве исходного полного ортонормированного набора можно взять набор плоских волн Ч; -г- о-гугехр(у(у«г)). (10.13Л) Заметим, что в подобном случае обычно вместо а'(У«) и а(1«) пишут аы и аы. Если 1«г и Йц имеют вид а2 Ч«+ О (г) г 1»«у = Р (г~у)г (10.13.2) найти выражение для операторов И через аы+ и аы.
Решение а»ы» Х в айаы+ Х (У(Ч) айаы — ч+ 2,~Я У(Ч)айай.аы,+чав ы ы, ч ы,ы,ч где (Ч) = ) «г'гехр( — У(Ч.г)) ЕУ(г), У(Ч) = ) «1»гехР[ — 1(«1 г)))У(г). э«-«зз« 322 Глава 10 10.14. Дать выражение для функции а+ (1) а (1)-( 1„...г гн > и обсудить физический смысл оператора и (1) = а + (1) а (1). (10.14 1) Решение а' (1) а (1) ~ ', ..., Ь > = )(' (1) ( 1ы....
1м >. где .У (1) — целое число, указывающее, как часто 1 встречается среди чисел 1„..., гн. Оператор и (1) является поэтому оператором чисел заполнения. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. ггг Ваог Б., Е1ешеввв о1 ВвамвМса1 Мес>гап1св, Нечч тот>с, 1954. 2. бг Волг Уо в книге Ргозгевв ш 1отт Тешрегатпге РЬув1св, чоЕ 3, Ашвтегйашг 1965. Зо, Боголюбог В. Б., Лекции во квантовой статистике, Киев, 1949. 4о.
Боголюбов В. Б., Ивбравные труды в трех томах, т, 2, Киев, 1970, 5*. Тябливоо С. В., Методы квантовой теории магнетиама, М., 1965. ГЛАВА '11 Фазовые переходы д'. тер Хиар е 11.0. Напомним, что для большого канонического ансамбля имеем (см. задачу 10.2) с/ = 1п В, (10.2.5) ч=й (10.2.6) (10.2.7') где п = )«'/г = 1/вм а ис = э/Лс — удельный объем. КОНДЕНСАЦИЯ БОЗŠ— ЭЙНШТЕЙНА В ИДЕАЛЬНОМ БОЗЕ-ГАЗЕ с) 11.1.
Для идеального бозе-газа с одночастичвыми квантовыми состояниями / (с энергией Ег каждое) имеем (см. задачу 3.12, и. «ае) д = — ~х~ 1и (1 — Су), (11,1.1) ) где сг = ехр (сс — ~Е~). (11.1.2) В случае точечных частиц с нулевым олином, находящихся в объеме, не подверженном действию внешних сил,число уровней энергии с(2, лежащих между Е и Е + с1Е (или плотность состояний), описывается выражением (ср.
задачу 3.13, и. «ве) с(2=2я ( — „) нЕ'«с1Е. (11 1.3) Из соотношения (11.1.2) ясно, что всегда сс ( ~ЕЬ (11 1.4) так как сг должны быть меньше единицы. ° О. сег Наат, Вера«впав« о1 Т)сеете«1«а1 Р)суасе, ОвЬляеНу ог ОхЬ«б, О огб. с) Общее обсуждение ем. в Работе Н]. (См. также (З).— Прим.
левее). Зге Глава 11 Полагая (ИЛЛО) (ИЛ Л2) у=о", (И.1.5) показать, что уравнение состояния следует из уравнений Г)рпо 1 (у) (И.1.6) —,"', =И'(у) (И.1.7) где ~(у) =,", — "."„ (И.1.8) а=) и где ко задается выражением (10.2.16). Получить вириальное разложение величины рр))) по степеням )),~. Решение Комбинируя формулы (И.1.1) — (ИЛ.З) и (10.2.6) и заменяя суммирование интегрированием в выражении (И.1.1), находим в= — 2 ( в, ) ' ~)~в! )~ —" ~*)вв. )11лв) Разлагая логарифм в ряд и интегрируя, получаем Тогда из соотношения (10.2.7') следует, что вв (И.1.И) отсюда сразу вытекают соотношения (И.1.6) и (И.1.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
