Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Чтобы получить вириальное разложение, нужно представить у в виде степенного ряда по и, т, исходя из (11.1.11), и подставить в выражение (И.1ЛО). Это можно выполнить либо путем утомительной сортировки членов, либо следующим более изящным методом. Введем величину х = поl))), 'тогда х = у7' (у).
Теперь надо получить разложение — = — = ~~~~ а„х". 1 (у) 1 уд (у) х (1 1.1.13) Пусть уо — аначение величины у, удовлетворяющее уравнению (ИЛЛ2). Из теории функций комплексного переменного следует, что р„$7(у))т)пЫ (У) — х)=7(уо)в (И 1.14) Фаеееее иереаеде где контур интегрирования лежит на комплексной у-плоскости и проходит вокруг начала координат и вокруг точки уе. Записывая у!' (у) — х = у~' (у) ( 1 — —,* ~, (11.1.15) мы можем разложить логарифм; тогда находим ее У (у,) = —.
$ 1 (у) е1 (1и у1 (у) — ~~~~ — ( —, а=э. Р =-Й х —:.", 1"'„"';"'. (11.1.16) откуда следует, что величина (и -(- 1) аэ является коэффициентом при у" в !~' (у)! ". Таким способом получаем окончательно ()Р =Л' 1 — — + ° ° 1 ° Г 2ьч (11.1.17) 1 1, 261 1 (1) = ее "0 ее (11.2.3) то можно применять параметрическую форму уравнения состояния (уравнения (11.1.6) н (11.1.7)!. Обсудим теперь, что происходит при и, ( ие. Возникающие здесь трудности связаны с тем, что, когда и, убывает от очень больших значений (и, >) и,), решение у уравнения (11 1.7) будет воарастать и стремиться к единице при и, -э и,. Это означает, что величина а, которая при и, >)ое имеет большие отрицательные вначения, при и, -е- э, стремится к нулю.
Это в свою очередь означает, что для низшего энергетического уровня Е„который мы положили равным нулю при выводе уравнения (11 1.6), величина те = ее приближается к единице, а 1п(1 — ее) стремится 11.2. В работе [1! было показано, что при у ~ 1 функции е' (у) и ~' (у) могут быть записаны в виде У(у) =2,36( — 1пу) и+1,34+2,61!ну — 0,73(!пу)э+..., (11.2 1) ~'(У) = — 3,54( — 1пу) и+2,61 — 1,46!ну — 0,10(1пу)э+... (11.2.
2) Ыы видим, что эти функции имеют точку ветвления при у = 1 и не определены для у» 1 (при этих значениях степенной, ряд уже не сходится). Если удельный объем и, превышает критическое значение э„определяемое равенством Раааа 11 к — оо. В результате соответствующий член суммы в правой части выражения (ИЛ.1) будет преобладать над остальными. Этот член дает число частиц на уровне Ко (см. задачу 3.12).
Предполагая, что Х имеет большое, но конечное значение, найти у для случая о, ~ о„выделяя из суммы (И.1.1) член с 7 = О. Состояние у = 0 считать невырожденным. Найти уравнение той части изотермы, для которой ое и,. Решение Из (ИЛЛ), (И.1.2) и (10.2.7') имеем 1 Е ехр ( — а+рЕ1) — 1 = + У. . (И.2.4) ехр ( — сс+ УЕо) — 1 с-1 охр ( — о+ ()Е1) — 1 ' Мо Если выбрать Е, = 0 (что соответствует нижнему пределу интегрирования в (11.1.9)), то выражение (И.2.4) мо1кно представить в виде )У= е а 1 ~З ехР( — а+РЕ1) — 1 Ыо (И.2,5) Используя тот факт, что здесь первый член в правой частн пред- ставляет собой число Л~о боаонов на низшем энергетическом уров- не, и заменяя суммирование интегрированием, получаем Л~ =)(1о+ — „У1 (У). Применяя соотношение (И.2.3), находим 1= — + — —, во е~ И'(з) ее 1 (1) (И.2.6) (И.2.7) имеем иа соотношения (И.2.7) (И.2.9) или ое у=1 — — —; ее ое (И.2.10) При оо ) ие аначение у должно быть приближенно равно единице, Положим во втором члене правой части соотношения (И.2.7) у = 1 и убедимся, что ошибки при атом пренебрежимо малы.
Записывая для Хе выражение (11.2.8) е а 327 Фовоеие зерееодвв отсюда действительно следует, что у -в- 11при Л' — со. С помощью разложений (И,2.1) и (И.2.2) легко оценить величину члена, которым мы пренебрегли. Подставляя (И.2.10) в (И.1.6), находим, что для ив е ров изотерма описывается уравнением рР / (1) (И.2.И) т. е.
изотерма горизонтальна. Заметим также, что (И.2.12) — =1 —— Лв о т. е. конечная доля частиц системы находится в низшем энергетическом состоянии. Это явление называется коиденса~ией Бозе— Эйнштейна. И.З. Используя разложения (И.2.1) н (И.2.2), показать, что на иаотерме при хч =- ге величина д"р/дз" имеет порядок Лье эйо для болыних значений Лв,[3).
решение При и~ ие недостаточно ограничиться только главным членом 2,61 — = /' (1) в правой части разложения (И.2.2); учитывая первые два члена, вместо соотношения (И.2.9) получаем Ло* — + — "' ( — о — 3,64( — а)чв~, (И,3.1) — а оо 1о, так что при гв — — зе имеем 3,54вв'ос ) -Пв -"=(' оо Нетрудно показать, что члены, которыми мы пренебрегли в (И.3.1), маль1 по сравнению с оставшимися. Из (И.1.6) теперь можно найти частные производные от Р по а; мы получаем, что производная дР/ди конечна, а производная д~Р/да (т 1) имеет порядок Л'о" "/о. Аналогично из (И.1.7) следует, что производная д"и,/да" является величиной порядка Л'<о" п~е. Объединяя зти результаты, находим путем прямых вычислений, что д"р/дс," является величиной порядка /У'" оне. Это означает, что иэотерма имеет горизонтальную касательную при гв = г,.
И.4. Оценить температуру конденсации Бове — Эйнштейна для идеального газа бозонов с молекулярным весом 4 и плотностью 0,16 г см о (плотность жидкого гелия) при постоянном объеме. Глава 11 Решение Температура перехода определяется соотношениями (10.2 16) и (11.2.3): где р — плотность. Иначе можно написать Т, =- 115рз!зЛХ-з1з (11.4.2) где р — плотность, выраженная в г см з; Ы вЂ” молекулярный вес; температура Т, выражена в кельвинах.
Подставляя значения р и М, укааанные в условиях задачи, находим Т, =-3,2И. (11.4.3) Это значение достаточно близко к Х-точке — температуре, при которой аНе 1 переходит в аНе 11; поэтому широко распространено предположение о том, что )-лереход в жидком гелии аНе по своей природе действительно связан с конденсацией Бове— Эйнпггейпа.
Помимо других фактов, эксперимент расходится с этой простой теорией в том, что теплоемкость идеального газа бозонов остается конечной при температуре Т, (см. аадачу 11.6), в то время как теплоемкость жидкого гелия в Х-точке становится бесконечной '). 11.5. Найти на (р, и~)-диаграмме геометрическое место точек конденсации и доказать, что оно является изэнтропой. Решение Искомое геометрическое место получаем иа (11.1.6) и (11 1.7), полагая у = 1 и исключая р. В результате имеем $/в аз 1 (1) 2лт И (1))пв Потенциал д = рро связан с а = р)ь, 6 = 1ПТ и с энтропией Я соотношением (ср.
задачу 1.20) д = — „+ сс)'т' — ()У, Я так что для энтропии получаем Я = йд — лай + )грУ. (11.5.3) ь) Кзи показано а работе [71, свойство сверхтекучести возвииазт у боваэйиштсйиовского газа со слабым ззаимодсйстввем кажду частицами или киазичастицами, хотя и отсутствует у идсальиого бозе-газа, — Прим. дед. Фааоеме аерееодм Для классического идеального газа имеем (см. задачу 3.12) У=2 Рп (1 1.5.4) применяя выражение (ИЛЛ), окончательно получаем ЬРое Ю 5 еХ 2 (И.5.5) Решение Пока температура остается выше точки Т„определяемой выражением (И.4.1), мы имеем для давления выражение р= — ) (у) =СТ "Ку), (И.6.1) где Энергия в соответствии с (И,5.4) определяется выражением 0=-еСиТ ')(у), (И.6.2) (11.6.5) в то время как удельная теплоемкостьаа (в расчете на,частицу) равна др Ст= — — = — уев )'е' от 2 ЮТ (И,6.4) При Т ) Т, теплоемкость является монотонно убывающей функцией температуры Т.
Ниже Т, имеем у = 1 и, следовательно, р = СТа~') (1), (И.6.5) так что С„',5 Ста/ау,1 (1) (И.6.6) Заметим, что в идеальном бозе-газе теплоемкость Су при низких температурах изменяется пропорционально Те)а, тогда как тэплоемкость жидкого гелия пропорциональна Та; это является еще Используя (11.1.6) н (И Л.7), можно записать уравнение (И.5.5) в виде — = — — — 1п у, 8 5 1(у) йа' 2 уТ (у) (И.5.6) так что изэнтроны являются кривыми у = сопа1. Поскольку кривая, определенная уравнением (И.5.1), также принадлежит к этому классу, она должна быть изэнтропой.
И.б. Вычислить теплоемкость идеального бове-газа. одной причиной для сомнения в тождественности Х-перехода с конденсацией Бозе — Эйнштейна '). При Т = Т, из (11.6.6) и И1.4.1) находим С;= — й —,* 1,9й. 4 Т (1) (11.6.7) Из выражения (11.6.4) и поведения давления р (ср. задачу 11.3) следует, что С~) является непрерывной функцией Т, в то время как пСгЯТ испытывает скачок. Решение Записывая (11.2.2) и (11.4,1) в виде (11.7.1) и объединяя с соотношениями (11Л.7) при у = 1 и (10.2.16), находим (11.7.2) 11.8.
Показать, что двумерный идеальный газ бозоиов не обнаруживает конденсации Бозе — Эйнштейна. Решение В двумерной системе уровни знергии описываются выражением ьа ЕЗ вЂ” — Зт1 а (П1 + Пе ) 1 (11.8Л) где и; — положительнь|е целые числа.
Вместо выражения (11.1.3) теперь имеем (о = Ее — двумерный объем) ~Ы= — „™ ое)Е. (11.8.2) Выражение (11.1.9) принимает внд ОР Ч= — — „, у 1 1П (1 — "-аз) ИЕ, 2лт е (11.8.3) откуда 2ят ел" д= — п,"„—, и л=1 (11.8.4) 1) Си. прзмечавие к задаче 11.4.— Прим. рад. 11.7. Вычислить долю частиц идеального бозе-газа, находявтихся на низшем энергетическом уровне, как функцию температуры ниже температуры перехода. Фаеовме мерееодм 331 так что из (10.2.7') получаем ее А" 3мео ~~ емм о рве Л и м 1 (И.8.5) Так как сумма ~~~ ~и ' расходится, мы можем разместить в задано=! ном объеме любое число, частиц и конденсации не произойдет. (Наличие или отсутствие конденсации в идеальном бозе-газе зависит от функции плотности состояний [4).) КОНДЕНСАЦИЯ ПАРА И.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
