Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 55
Текст из файла (страница 55)
г) Определить восприимчивость (М)/В при~ очень высоких температурах. Глава 1в 350 Очевидно, что график зависимости у от (М)/ЛХо представляет собой прямую с тангенсом угла наклона, равным единице, тогда как тангенс угла наклона касательной к построенной в тех же коор- динатах кривой в начале координат равен ~1 (й)<2ЙТ. Но, так как последняя кривая является выпуклой, решение (М) = О будет единственным, пока выполняется условие йт -.ф,1', Х(а).
(12.3.9) Й Однако ниже температуры Тс определяемой выражепием Л,' 1 <а) С 2>в (12.3.10) ( ) <м> т, <м> т' <м>о м, — т м, том3 +; (12311) используя далее, что Т жТс и (М) ж О, получаем (М) = ЛХ, ( ' ) '*.
(12.3.12) в) При Т вЂ” в- (> величина (М) стремится к М,. Разлагая гиперболический тангенс при больших значениях аргумента, находим (М) = ЛХо ( 1 — 2 ехр ( — — ) 1<, (12.3.13) в то время как экспериментально установлено, что М, — (М) ведет себя как То<в. г) При температурах выше Тс спонтанная намагниченность отсутствует. При Т >) Тс можно разложить гиперболический тангенс в уравнении (12.3.6); тогда о о <М> а>ввп Тс <М> Мо 2ат Т Мо (12.3.14) будет, кроме того, существовать отличное от нуля решение уравнения (12.3,8).
Вычисляя свободную энергию (ср. задачу 12.4), можно показать, что зто решение соответствует равновесию; таким образом, система обладает спонтанной намагниченностью ниже температуры Кюри Тс. б) В левой окрестности точки Тс величина (ЛХ) мала, так что можно разложить гиперболический тангенс в уравнении 12.3.8: ноонврот нвннв ввввнин или !М) Х)овн Мо 2Э (Т вЂ” Тс) (12.3.15) откуда для восприимчивости в расчете на один спин )! = (11)/ВЛе получается так нааываемый закон Кюри — Вейееа 2= а(т — т ) (12.3.16) а (Т вЂ” Тс) 12.4. Ферромагнетнк Иэннга содержит Х частиц со спинам "о. Пусть Х~ (У ) — число спинов с з-компонентой +'/ ( — '/о), и пусть спины, направленные вверх и вниз, распределены по решетке случайным образом.
Пусть величина (12.4.1) является параметром порядка. Показать, что энтропия и внут- ренняя энергия даются соотношениями (12.4,2) Е = — — зХЛВо, (12.4.3) Решение Если распределение положительных и отрицательных свинов предполагается совершенно случайным, вероятность И" того, что существует ЛГ+ положительных спинов н Х отрицательных свинов, дается выражением Х! л'„! л' ! (12.4.4) а энтропия Я вЂ” выражением Я = й 1п И" = й (1п Л!! — 1п У+! — 1п Л/ !). Применяя формулу Стирлинга (см, задачу 2.11) (12.4.5) (12.4.6) 1п Л!! = Лг 1п Ф вЂ” Л!, имеем Я = й (Лг 1п Ф вЂ” Лг+ 1п Л/+ — Лг 1п Ф ).
(12.4/7) где г — координационное число, т. е. число ближайших соседей на спин. Найти равновесное аначенне В, минимнэируя свободную эноргию по А. 352 Г.ваза 12 Вводя величину Л, определяемую выражением (12.4.1), и используя условие Л+ + Лг = Л', получаем выражение (12.4.2). Чтобы найти свободную энергию, нужно вычислить внутреннюю энергию.
Имеем Н= — — 1 ~~~ ргра, 1 (12.4.8) па где суммирование производится только по парам ближайших соседей и введены новые переменные ру, равные +1 (или — 1), если спин в узле 1 положителен (отрицателен) по отношению к направлению осп г. Используя (12.4.8), можно записать энергию в виде Е ==- — — 1 (~1~~ + (1 — ~1~ ), 1 (12.4.9) 1 1 Л'В 2 +'ь 2 Х (12.4.10) где Р— вероятность того, что спин направлен в положительную сторону оси г.
Аналогично имеем 4 Х1 Д = — гор= — г —, 2 2 ьт (12,4.11) и (~»-= 2 '~~Р-+ 2 хМ-Р.,=х '~ . (12.4.12) Объединяя выражения (12.4.9), (12,4.12) и (12.4.1), получаем выражение (!2.4.3), Таким образом, для свободной энергии имеем выражение Р=Š— ТЕ.—.— — —,з~1ЧЛ~+ЛУсТ ( — (1+Л)1п ( — (1-)-Л)~+ + — (1 — Л) 1п ~ — (1 — Л)) ) . (12.4.13) Из условия дГ!дЛ вЂ”..— 0 тогда получаем (12.4.14) где (1 т ((> ) — число пар ближайших соседей, в которых оба спина направлены в положительную (отрицательную) сторону по отношению к направлению оси г, а ~~ — число пар, в которых один спин направлен в полоясительнуго, а другой — в отрицательную сторону.
Предполагая, что положительные и отрицательные спины распределены случайным образом, находим для (1~., (з — координационное число, т. е. число ближайших соседей в расчете на спин) Кооперагпивние ив*енин В=1Ь вЂ” "В. ид (12.4.15) .Принимая во внимание, что, во-первых, для модели Изинга ~Т (д) — гТ и что, во-вторых, в соответствии с (12.4.1) величина В прямо пропорциональна (М), можно видеть, что мы вновь пришли к приближению молекулярного поля (12.3.8). 12.5. Используя результат задачи 12.4, найти параметрическое выражение для теплоемкостн изинговского ферромагнетика в приближении молекулярного поля. Найти скачок теплоемкостн в точке Тс и поведение теплоемкости при Т -+.
О. Решение Из выражения (12.4.3) находим для теплоемкости с, с„= — — зХУВ— 1 йЯ 2 е1Т (12.5.1) где В удовлетворяет уравнению (12.4.15), которое в соответствии с нашей задачей запишем в виде В= 1)з —, Лтс (12.5.2) откуда Втс!Т' (12.5.3) с1ез (НТс1 Т) — (Тс1 Т) Таким образом, теплоемкость определяется параметрическими уравнениями ,уегз сйз г — г с1Ь г (12.5.4) Тс гсвг=вЂ Т ! (12.5.5) се-е. 2 1У1е при Т-+. Тс 3 (12.5.6) Так как с, = О для Т ) Тс в приближении молекулярного поля (Е = О; см. (12.4.3)), скачок теплоемкости с, в точке Тс равен ЗЛЫ2. 23 — Оззз где величина г связана с В соотношением г = ВТс!Т. Чтобы найти поведение вблизи Тс, заметим, что г-е.
О при Т вЂ” ~ Тс, поэтому мы можем разложить различные гиперболические функции, входящие в уравнение (12.5.4). Окончательный результат имеет вид 354 Глава 13 При Т ~( То из (12.5.5) видно, что г ж Тс~Т, и поэтому получаем иа уравнения (12.5.4) гс з 2То с,ж4ЛЪ( т ) ехр( т (12.5.7) Решение Принимая во внимание существование двух подрешеток, запишем гамильтониан в виде Н= — аЬ У ( Бг ' ~в+ —,~~ Т (1 — й ) Ба + — ~~Х (1 — д ) Бс ~ )— вг ш '"' зг — див '~~ (Вгг ~в+ — ' '~ ЯТ (1г — дг) Ваг+ и ш + — „ .У~ в (1а — йз) Взг1 1 (12.6 1> где 1п дг (1г, яг) — узлы первой (второй) подрешетки.
В приближении молекулярного поля мы заменяем Яз, и Ба, нх средними значениями (Бг> и (Яг), которые теперь рааличны, и переписываем гамнльтониан (12.6.1) в виде и= — (м, вф) — (и, вф,), (12.6.2) где Мг=з)гв Х8 Е (12.6.3) ВвФф =  — йг (Мг) — йг (Мг) в вф=в — ~ (м > — ~7 (и > (12.6.4) 12.6.
В ферромагнитном веществе обменный интеграл Т (1 — я) пологкителен, когда 1и и — ближайшие соседи. Коли зта величина отрицательна, мы имеем дело с антиферроягазнетияом. Чтобы рассмотреть антнферромагпетик, предположим, что кристалл может быть разделен на две подрешетки, причем все ближайшие соседи спина из одяой подрешетки расположены в другой подрешетке. Мы теперь будем иметь два средних значения магнитного момента, различные для двух подрешеток, поскольку отрицательное значение обменного интеграла 1 (1 — й) указывает на то, что предпочтительным является антипараллельное расположение спиноз ближайших соседей.
Применяя приближение молекулярного поля, найти восприимчивости антиферромагнетика при высокой температуре и определить температуру Незла, т. е. температуру, ниже которой обе подрешетки обладают спонтанной намагниченностью. Вновь рассмотреть случай спина г/г. е!ееяеративнне явлен я при (Мд= 2 !»а<зв(8д. (12.6.5) Дополнительный множитель Чг возникает из-за того, что Л" спиноз.
распределены поровну по двум подрешеткам. Далее, 2~'<' — бд= 2 С '<" — бг>, ~г >в' <в>ев>г ~г Х <грз>г дг= — 2~ <г ~~ = — 2 (12.6.6) Юг =— а! аз где дополнительный знак минус введен для того, чтобы учесть антиферромагнитный характер доминирующего взаимодействия. Так как обе подрешетки входят в уравнение (12.6.2) незави- симо, для каждой из них могут быть испольаованы результаты задачи 12.2, и мы получаем <Мд — «>уа в 15 ( —, рбрв ( — 7! <Мд — Чг<М»>)~, 1 1 (12.6.7) (Мг) «"*не!в ~)~ < 2 Рйзз <В дз(Мд т! (Мз))) ' При высоких температурах !ах ж х и <М! > з рЛ ЫРВ) ( — д! <Мд — дг <Мг))в (12.6.8) (Мг > й ЯгМ (0)ев) (В дз <Мд д! <Мг)) так что для полной намагниченности получаем <М> = <М,>+ <М,> = 2Во где величина (12.6.9) Д=де+тз=— 2ХУ<а> (12.6.10) совпадает с выражением (12.3.7) с точностью до анака, а (12.6.11) Чтобы найти температуру Нееля Тее, положим В = 0 и разложим пшерболический тангенс, так как непосредственно ниже точки Тге намагниченности подрешеток будут малыми (ср.
решение задачи 12.3, п. «6»). Тогда имеем 9 (Мд «г (д! (Мд+дз(М)) + Член 3-го порядка по (Мд, (12.6.12) (М ) ~ ~— у (1~ (М >+~~ (М )) +... Г.вава 1у У антиферромагнетика полная намагниченность в отсутствие внешнего поля всегда равна нулю, так что мы можем положить в (12.6Л2) ЖД = — (ат,). Тогда видно, что намагниченности подрешеток становятся равными нулю при температуре Тк, которая определяется выражением (12.6.13) Я Ясли предположить, что вааимодействуют только ближайшие соседи, то величина д, будет равна нулю и дэ — — д; следовательно, Тк и Э будут одинаковыми. 'Заметим также, что в случае, когда д~ > дю перехода не будет. Это нельзя считать неожиданным, так как условие д, ) дэ означает, что существует сильная тенденция к антипараллельному распопов;ению спинов внутри одной и той же подрешетки. В этом случае используемая модель, очевидно, является недостаточной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
