Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В., Методы квантовой теории магнетизма, М., 1965. что совпадает с выравгением (12.4.3), если выполняется соотношение (12.8.41). Можно доказать в общем случае, что все результаты рассматриваемого приближения совпадают с соответствующими результатами в приближении молекулярного поля в пределе в-+. оо. ГЛАВА ].3 Метод функций Грина' ) Д'. тер Хаар * где Х тоже с-число.
Решение Пусть гр(Л) = — е~ "еАВ; тогда = Аеьаелв-]-ел'Ве""= (А-[-В) <р (Л) -[- [еха, В] елв. дЛ (13Л.2) Далее, имеем О [ега В] =,г', — [А", В] = '~' КА" '= ХКела, в1 ' (в — 1)! в=в в=с (1зл.з) Следовательно, — ~= [А+В+ ЛК] <р [дЛ (13Л А) или гу = е"(а+ в) +'ныкС (13.1.5) где С вЂ” произвольный постоянный оператор. Полагая, в частности, Л -г- О, находим, что С есть единичный оператор; зто и завершает докавательство. Если [А, В] = Ю, где  — 'оператор, то выражение (1ЗЛ.1) становится более сложным, Заметим„что операторы еа и ев можно переставлять, если только сами операторы А и В коммутнругот. 13.2. Показать, что если 8 (1) — единичная ступенчатая функиия 8(1) = 1, с О, 8(1) = О, с СО, (13.2.1) г) Общее обсуждввве см. в работах [1, 2].
(См, также (в — б] — Прим. перев.) в В. мг Пааг, Вервггшевв о1 ТЬеоге11са1 РЬув1св, 1)в(гегв11у о1 Ох(огб, Ох(огб. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ 13.1. Показать, что если [А, В] =— А — ВА = К, где А н  — операторы и К представляет собой с-число, то ЕМА+В) ЕЛВЕХЗЕ-Чгтл (1ЗЛЛ) Метод Функций Грина то мы имеем О(б — б')ии —,(0(1 — г')1= — 0(Ф вЂ” 1)=б(г — Р). (13.2.2) р Ы 13.3. Доказать справедливость соотношения у=— Иш —.=- У ( — ) ~ енб(х), (13.3.1) где х и з — вещественные числа и символ 01 указывает, что при выполнении интегрирования по х следует брать интеграл в смысле главного значения. Решение Чтобы доказать равенство (13.3.1), рассмотрим интеграл +т 1=11ш ') б1х, 1(к) е б (13.3.2) а второй член дает +1 1па 11ш ( У У =/(О) 1пп 1п — =и 11 (О). -1 ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 13.4.
В задачах статистической механики часто представляют интерес средние по большому каноническому ансамблю. Иногда зто среднее от произведения операторов ярАВ акр ( — ЗЕ1+ееруоо) (13.4А) Е здесь использованы такие же обозначения, как и в (10.2.4). Обычно бывает трудно точно вычислить среднее (АВ) и следует использовать приближенные методы. Помимо средних (АВ), часто рассматриваются корреляционные функции, например (А (1) В (Ф)) или (В(Ф) А,(б)), не совпадающие друг с другом.
Для функции где мы предполагаем, что ~ (х) не имеет сингулярностей на вещественной оси. Запишем зто выражение в виде -б +о е-б Х=11ш 1пп ( ') + ) ) — *, Ых+11ш1(ш ~ — *. Ах. (13.3.3) -оо цб '"' "' -б Первый член дает главное значение интеграла Е-ео ео в'лава лв (А (е)В (Р) ) можно записать уравнение движения, однако оказывается более удобным использовать так называемые запаздывающие (геьагаеа)и опережающие (абчапсеб)ббуннции Грина ~), которые определяются соотношениями ((А(е); В (е')))",=~ — „О(-+ э~ В)(А(е) В(е'))+.
~ — „ч О(~ е~ е')(В(св) А(е)); (13.4.2) здесь О (е) — ступенчатая функция (см. формулу (13.2.1)), ц мы считаем в данном случае свободным параметром, который выбираем равным либо +1, либо — 1, исходя из соображений удобства, и Л (~) и В (Р) — зависящие от врелвени операторы (в представлении Гейзенберга), определяемые уравнением Аф=ехр Г ( " '") "Аехр à — '( И 'и) " (13,4.3) Ь где р = аф.
В том случае, когда Н н Х~~ не коммутнруют, необходимо обобщение обычного представления Гейэенберга для операторов, как это следует иэ решения настоящей аадачи н результата, полученного в задаче 13.1. Доказать, что функции Грина ((А (~); В(в')))", так же как и корреляционные функции Рвл = (В (г ) А (1)). Рлв = (Л (~) В (в')), (13.4.4) являются функциями только от Решение Искомый результат следует из записи средних по большому каноническому ансамблю в явном виде при использовании того обстоятельства, что, во-первых, под знаком пшура операторы можно циклически переставлять и, во-вторых, что различные множители коммутируют. 13.5.
Доказать, что функция Грина ((А (е); В (е'))) удовлетворяет следующему уравнению движения: й — ((А (е); В (1'))) = б (е — е') (А — т~ВЛ) + + (((Аэ  — $ллоп)- (Ф)~ В (е'))). (13.5 1) Решение Уравнение (13.5.1) следует иа результата задачи 13.2 и соотношения ВА .= (А, Н вЂ” рлуоп)-. (13.5.2) в) Отк функции были впервые введены и использованы в работе [3).— Прим.
паров, Метод функций Грина 337 13.6. Вводя фурье-образ ((А; В))в для функции ((А (о); В (г'))), который определяется следующим образом: ((А; В))в- — — ~ ((А(~); В (Р))) ехр ' в И(1 — г'), (13.6.1) оо так что ((А(Г); В(Р)))= ~ ((А; В))вехр ~ — „)|с( ( — „), (13.6.2) найти уравнение движения для ((А; В))в. Решение Прямое преобразование Фурье уравнения (13.5.1) приводит к уравнению Е((А, В))н= 3 (А — ИВА)+(((А, Н вЂ” Рсоа); В))в, (13.6.3) 13.7.
Введем спектральное представление г) Х (ю) функции Рв„согласно соотношению ц Рва (1 й ) = ~ Х (оо) е -'он-' > с(а; (фурье-образ) (13,7.1) аналогично определим фурье-образ Х' (оо) функции Рлв. Доказать, что и" (оо) = У (оо) ехр (рйю). (13.7.2) Решение Если ~ р > — собственная функция для Н вЂ”. рЛ',о, так что (т!Н вЂ” рЛ'оа~ р) =боиЕч~ находим Х(ю)= — ~~, (т(В!р) (р ~А1т) ехр( — 6Е )Е(о — Ео+Е„), Повторяя вычисления для Рлв, получаем выражение (13.7.2) 13.8. Пусть С (Е) — аналитическая функция Е, равная ((А; В)), на верхней полуплоскости и равная ((А; В))„на нижней полуплоскости а). Используя соотношения Е (г) = с-"(з + О), г)0; 6(г) = О, г(0, (13.8.1) и (13.3.1), выразить Х (ю) через С (Е). о) Такие представления были введены в работе [3).
Величину У (оод называют иногда спектральной интенсивностью.— Враль. норов. а) Индекс Е, введенный в формуле (13.6Л), здесь опущен. зев Глаоа 18 Решение Из выражений (13.6.1), (13.4.2), (13.7.1) и аналогичного выражения для Рав, соотношения между Х (в) и Х' (в) и соотношений (13.8.1) находим ((А; В))~~= — ~ [ехр(рав) — т1]Х(в), а,, (з-т-О+).
Определенная в условии функция В (В) дается позтому выражением 6(Е)= — ~ [ехр([тдв) — т))Х(в) „, (13.8.2) Р а используя соотношение (13.3.1), находим Х (в) = ' Иш [С(в+1е) — 6(в — [е)). (13.8.3) охР Фвв) Ч о-+о Й= ) т[Я;а'(1) а(1), (13.9 1) где через 0; обоаначены собственные значения оператора й'и. ПРименить пРиведенные РассУждениЯ к опеРатоРУ Н вЂ” РЛток в случае идеального газа и, используя свойства оператора п (1), записать зтот оператор в виде Н вЂ” [т)уоа =,~~~ (е„— [т) а,',а„, (13.9.2) где з„— одночастичная знергия и где мы предположили, что значения е„образуют дискретный набор. б) Доказать, что 1 ((аз[ ай))л З~ (л о + ) (13.9.3) где квантовое число )о включает, если необходимо, аависимость от спина.
[У к а а а н и е: В случае бозонов считать Ч = +1, а в случае фермионов т) = — 1.1 в) Применить результат п. «б» для доказательства соотноше- ния + ' 1 (по) = (аааа) = (13.9.4) 13,9. а) Если испольаовать в качестве ф; в (10.11.1) собственные функции для одночастичного оператора я'и несли рассматривать систему беа взаимодействия между частицами, так что двух- частичный оператор Я'" = О, то вместо (10.12.8) имеем 969 Метод сдунхций Грина Решение б) Используя соотношения (10.12.3), (10.12.4) и (10.12.6) вместе о уравнением движения (13.6.3), получаем выражение (13.9.3). в) Иа выражения (13.8.3) для Х (со) и уравнений (13.3.1) и (13.7.1) находим (а» (у) а» (8)) = ехр [ — с(8» — р) (н — сц ахр [р (88 — [с) — «[) отсюда, полагая 8 = г' для ( л» ), получаем обычные распределения Бозе и Ферми (13.9.4), ФОРМУЛА КУБО 13.10.
а) Помимо применения к изучению равновесных свойств, функции Грина оказываются также полезными при выводе кинетических коэффициентов. Рассмотрим систему с гамильтопианом Н'о', к которому добавляется периодический возмущающий член ЕЕес"«+ос (8-~- + О). Пусть при г — н — оо матрица плотности р ( — оо) является равновесной матрицей плотности р'о', соответствующей гамильтониану ЕЕс": р( — со)= рсэ>=2с~~ 'ехр( — [)Нс ~), Ис»=Ярехр ( — [)Н ). (13.10.1) Применяя уравнение движения для р (с) сйр = [ЕЕ, р], (13.10.2) представляя р (г) в виде (с) с ос (13.10.3) и пренебрегая членами второго порядка по Н и Еср, записать уравнение движения для Лр.
Репсить зто уравнение, применяя вспомогательную величину Лр', определяемую выражением с»р' = ехр ( — „) Ар ехр ( — — „) . (13.10.4) б) Используя решение для с»р, найденное в п. «а», доказать так называемую формулу Кубо с) для среднего значения физической величины с' (С(8)) =(о)С»с — 2яе и«+ос ((0.
(Е)) „, (13 10 5) где (...)о означает среднее, вычисленное с равновесной матрицей плотности р'»', и где функция Грина является запаздывающей с т[ = +1. с) Этот результат получен простым путем и задаче 24.9. 8« — 0888 Глава 18 370 Решение а) Иэ уравнений (13.10.2) и (13.10.3) получаем, пренебрегая членом, содержащим [П, Др] ;вДр [(7, р(с)] евав+ев [ [О~'~, Др] Подставляя сюда (13.10.4), интегрируя полученное выражение и снова применяя (13.10.4), находим Ю б) Для (6(~)) имеем 0в ®) = Бр рб= Вр р<с>0+ 3р др~7= — (Д)~в) ~ ([С' (в) Ц' (т)] Ус~ сивв+вл ]т откуда следует выраввение (13Л0.5). В этом выражении у' (с) = ехр ( — „и ) у ехр ( — — йча ); при выводе выражения (13.10.5) следует прнмепнть соотношение ~ У()1 ~ В(г )У() Рс. ФЕРРОМАГНЕГИК ГЕИЗЕНБЕРГА в) 13.11.
Применим теперь формалиэм двухвременпых функций Грина для случая иэотроппого ферромагнотика Гейзенберга, описываемого гамильтонианом (ср. гл. 12) и= — Хдвв '5, 'Ев „', ~ ~(1 — б)(8,.В,), (13.11,1) У где д — фактор Ланде, рв — магнетон Бора и  — однородная магнитная индукция. Выберем направление оси г вдоль направления вектора магнитной индукции и ограничимся рассмотрением случая спина, равного Чс. Тогда Яв является векторным оператором спина, расположенного в узле 1 решетки; его компоненты в) Общее обсувщснке метода фуявцвй Грина в првмеввввк к эааачам теории магветиэма см.
в работах [4, б].— Прав. аврвв. Метод функций Грина 371 равны соответственно 2 2 ' 0 ~ 2 0 — 1 (13.11.2) где мы опустили единичные квадратные матрицы второго порядка, которые являются множителями для компонент Яе и которые относятся ко всем узлам решетки, за исключением 1. Величина Х (1 — й) продставляет собой обменный интеграл, зависящий только от 1 — д. Предположим, что система обладает симметрией относительно инверсии, т. е.
кроме того, примем, что Х (О) = О. (13.11.4) а) Вводя операторы Ье =, Ье =, (13.11.5) выразить компоненты векторного оператора спина Бе через Ье' и ЬХ и выяснить физический смысл операторов Ье, ЬХ и оператора и =Ь'Ь. (13.11.6) б) Найти выраяеекия для антикоммутаторов и коммутаторов (Ьы Ьй), Я, Ьй), (Ье, Ьй), (Ь„ Ь,),„ (Ь;, Ьй)„, (Ь„ Ьй),.
в) Выразить гамнльтониан (13.11.1) через Ьее и Ьп полагая для простоты й = 2. Записывая Ьу= — ЮХ= л (оу+ъВе), Ье = л ое = в (8е — «оу)» 4 Ъ мы видим, что Ьу и Ье+ — зто обычные операторы повышения и понижения проекции спина. Фиаический смысл яу можно понять, рассматривая связь етого оператора с 8;. 24и Решение а) я,'= —,,' л(ь,+ь;), Х(1 — а) =Х(а — 1), (13 11.3) Я = — л (Ьее — Ье), Яе = — я (1 — 2пе). г 2 Глава 18 372 б) (Ь» Ьд)-=!Ь».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
