Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Значение этих результатов и их связь с различными формулировками второго закона термодинамики обсуждается в следующей задаче. Заметим, что мы не рассмотрели циклов Карно между положительными и отрицательными значениями Т. В нашей модели такие процессы были бы возможны, если бы адиабаты пересекались при Н = О, Т = О. Однако в этой области наша модель уже не является термодинамически корректяой. В реальных спиновых системах взаимодействие между спинами уже не будет пренебрежимо малым, так что вблизи точки 1Х = О, Т = О будет устаяавливаться какой- либо тип магнитного упорядочения. Аналогичное явление наблюдается в случае классического идеального газа (задача 1.26). 15.й». а) Две системы, состошцие соответственно из и, и и, спиноз г = «/м первоначально находятся при различной температуре, а затем начинают обмениваться энергией. Определить окончательную равновесную температуру и направление перехода тепла.
(Можно считать, что расстояние между соседними уровнями одинаково для обеих систем.] б) Объединить результат и. «а» с результатами предыдущей задачи и проверить, остаются ли справедливыми формулировки второго закона термодинамики по Кельвину н Клаузиусу, если допустить существование отрицательных абсолютных температур. Если формулировки не сохраняются, предложить их модификации.
Назовем температуру Т, «более горячей», чем Т«, если в системе прн температуре Т, содержится больше энергии, чем при температуре Т,. В соответствии с этим соглашением отрицательные температуры оказываются выше положительных температур и температура — О является самой «горячей», какую только можно себе представить. Как и температуру +О, температуру — О нельзя достичь конечным числом ,'шагов. бэнрицаюельнме ньемнераюурм и инвергнан вагеленногньь 393 Решение а) Полное количество энергии в системе равно пьи (()ь) + + к,и (р»). В равновесии все спины находятся при одной и той же температуре; зта конечная температура соответствует значениям и(рг) =- н1и (Ц«)+и»и (()») н«+и» а 3 1 ! нь «й г1» ()«ур+игьй ц» наг)р) рг= — — аг1Ь ~— 1Ь ~ н!+и» Так как и (р) — монотонно убывающая функция, равновесие может быть достигнуто, только если энергия переходит в направлении от низших значений р к высшим.
Если принять определенна более «горячих» и более «холодных» температур, предложенное в условии задачи, то естественным направлением потока энергии будет переход нз области более «горячих» температур в область более «холодвых». Поскольку бч = ТаЯ и (й(ПИЛ)й(О для Т ( О, то, очевидно, то же самое справедливо для естественного направления потока тепла. Предлон«енный выбор знака величины б~), а также соглашение о том, какие температуры следует считать более «горячнми», хотя они и удобны, не исключают возможности другого выбора ').
б) В соответствии с нашим определением более «горячих» температур возможные результаты цикла Карно, происходящего между отрицательными температурами (см. задачу 15.3), могут быть интерпретированы иначе: 1) когда тепло превращается в работу, происходит переход тепла от «холодного» резервуара к «горячему»; 2) когда работа преобразуется в тепло, некоторое количество тепла переходит из «горячего» резервуара в «холодный». Наряду с этим существует вероятность естественного перехода тепла от «горячего» резервуара к «холодному».
Сопоставляя эти результаты, мы видим, что формулировка Кельвина может нарушатг ся. Ее следует заменить следующим модифицированным утверждением: Левозмозкно создать тепловую машину, которая, действуя циклически, не будет производить других зффектов, кроме 1) полного превращения в механическую работу тепла, полученного от термостата при положительной температуре, 2) полной отдачи в термостат с отрицательной температурой количества тепла, равного работе, совершаемой тепловой машиной.
Формулировка Клаузиуса второго закона термодинамики остается неизменной. ') Другие возможные варианты, а также вытекающие зэ вих следствия обсуждаются е работе 13). Глава ла 394 ДИНАМИЧЕСКАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ Наиболее простой способ приведения спиновой системы из состояния с положительной температурой в состояние с отрицательной температурой состоит во внезапном изменении направления магнитного поля на противоположное. Спины не успевают следовать за этим изменением и остаются поляризованными в направлении, противоположном направлению поля.
Так как этот метод является существенно неквазистатическим н необратимым, он не годится для получения очень «горячих» отрицательных температур. Другой возможный с) метод динамической поляризациини, описанный в приведенных виже задачах, аналогичен методам оптической накачки. 15.5.
Рассмотрим примесь в магнитном кристалле с тремя уровнями энергии. Переходы между уровнями могут происходить за счет разных механизмов. Механизмы, индуцирующие пере- И ходы между уровнями 1 и 3 и уровнями 2 н 3, представлены на фиг. 15.53. фнг. 15.5.1 как тепловые резер- вуары с температурами Т1 и Т,. Переход между уровнями 1 и 2 может происходить посредством обмена энергией со спиновой системой. Найти температуру спиновой системы, при которой больше не существует результирующего потока тепла как мея«ду резервуарами, так и между резервуарами и спнновой системой. Решение Система уровней 1 и 3 находится в равновесии с тепловым резервуаром прн температуре Т„если вероятности заполнения двух уровней удовлетворяют соотношению Р» = Р1 ехр ( — )11И'1). Аналогично находим Р» = Р» ехр (+р»И'2) = Р1 ехр ( — р»И» + р»Ив»).
Равновесие возможно только в том случае, если температура системы спинов удовлетворяет соотношению »'2 (И 1 И 2)»'1И 1 в'»И 2 эта равновесная температура будет отрицательной, если величина (11 достаточно мала по сравнению с р»; соответственно для темпе- Отрицательные температиры и инееренал еаееленнееть 395 ратур Т, и Т, должно выполняться соотношение Ть) Тз —. И'е И'ь ' Использованная в этой задаче модель была введена в связи с рассмотрением термодинамики лазерного действия '), которое будет проводиться в следующих задачах. (ое.б.
Поток из Х фотоаов падает на образец, содержащий и двухуровневых систем при температуре Т. Частота т фотонов является резонансной для заданного расщепления уровней (йи .=- = И'); вероятность того, что система в низшем энергетическом состоянии в результате поглощения одного фотона переходит в верхнее состояние, равна А.
Используя задачу 3.20, вычислить ослабление или усиление потока фотонов. Пренебречь спонтанным излучением системы и эффектами, связаннымн с конечными размерами образца. (Ослабление или усиление резонансного излучения является чувствительным индикатором температуры спиновой системы. Возможность существования отрицательных спиновых температур в образце и их релаксация к положительным температурам были впервые продемонстрированы в работе Парселла и Паунда [5).] Решение В соответствии с задачей 3.20 вероятность поглощения фотона системой в основном состоянии равна вероятности вынужденного испускания фотона той же системой в возбужденном состоянии.
Результирующее увеличение (или уменьшение) числа фотонов поэтому равно ЛЛг = ЛгпА ( — р ьн + рец,). В этой формуле величины р ья и ре», являются вероятностями того, что двухуровневая система находится соответственно в нижнем или верхнем состоянии. Сравнение с результатами задачи 15А дает —,= — пА ьЬ вЂ” рйг. ЬФ 2 Если температура двухуровневой системы отрицательна, то поток фотонов усиливается системой. В атом заключается принцип мааерного или лазерного усиления. Спонтанным излучением допустимо пренебрегать в том случае, когда число фотонов соответствующих типов колебаний (мод) велико по сравнению с единицей.
Это условие обычно выполняется в области радиочастот и сверхвысоких частот; в оптическом диапазоне часто бывает необходимо учитывать эффекты спонтанного излучения. ') См. статью Эгреиа в сборнике [41 ° 396 Глава 16 15.7. В задаче 15.6 мы видели, что энергия двухуровневой системы при отрицательной температуре может освобождаться путем генерации вынужденного излучения. Этот способ может быть использован для получения когерентного электромагнитного излучения. Система, рассмотренная в задаче 15.5, мо»кет быть использована таким образом, что тепло от резервуара с температурой Т, частично превращается в когерентное излучение.
Показать, что к. п. д. такого перехода энергии не может превосходить к. и. д. цикла Карно, происходящего между температурами Т,и Т». Решение Часть полной энергии, полученной иа резервуара при температуре Т„должка перейти в резервуар при температуре Т; ее доля равна РР»/И~,. Вынужденное излучение может превышать поглощенное излучение только в том случае, если по крайней мере равновесная температура спинозой системы отрицательна. В соответствии с задачей 15.5 это означает, что рр«!И', ) Т,~Т,. Следовательно, к. п. д.
рассматриваемого 1перехода удовлетворяет соотношению ') И < — (1 — —. »Р» т И' Т МОДЕЛЬ ЛАЗЕРНОГО ДЕЙСТВИЯ 15.8. Обобщая модель, введенную в задаче 15.5, можно получить простую модель лазера. Для этого предположим, что образец, содержащий п трехуровневых систем, заключен в резонатор, потери в котором учитываются с помощью конечного времени жизни т, фотонов резонансной моды. а) Найти степень инверсии (р» — р,), при которой увеличение числа фотонов за счет вынужденного излучения компенсирует потери в резонаторе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
