Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Ьд)-=О (Ь» Ьд)+= 2Ь|Ьд(1 — б»д) ! Ь» Ьд)- = (1 — 2п») 6»д, (Ь»' Ьд)+ = 2Ь7дд (1 — б»д)» (Ь„дд),= Ъдд (1 — б,д)+б„. Заметим, что если Е и я — различные узлы решетки, то Ь» и Ь+, ведут себя как операторы Бозе, но если узлы 1 и я совпадают, они ведут себя как операторы Ферми.
Эти операторы иногда называют операторал»и Паули. в) Н= — (»вВУ вЂ” 2рвВ Х»п» вЂ” 2 ~ 1(1 — д) Ь»дав » », д — — Д»,7, 1 (1) )- 2 Я 1 (1) ~ [,~~ пд~ — 2 .~~ 1 (1 — д) п»пд» д », д где Х вЂ” полное число узлов в системе. 13.12. а) Найти уравнение движения для функции Грина ((Ьд, Ь»)), полагая»» = +1. б) Чтобы решить уравнения, найденные в п. «а», необходимо сделать приближение. Так называемое прибл и»се»»ие случайных фаз (НС), впервые введенное Н. Н. Боголюбовым и С.
Б. Тябли-, ковым (3"), состоит в том, что полагают ((п» д»,' д» )) = (и» ) ((Ь»,' Ь»»)), (13 12 1) Используя трансляционную ипвариантность гамильтониана Н, можно положить (и,) = и (не зависит от 1) (13.12.2) и совершить далее преобразование Фурье по отношению к уалам решетки. Используя тот факт, что (13.12.3) б» = — ~' ец«'д-'> д=пЛ ч где »»» — полное число спиноз в системе, и записывая «Ьд; Ь»))= ~ 'Я ец -' а«« (13.12.4) найти уравнение для Сч. Б выражениях (13.12.3) и (13.12.4) суммирование по»1 ведется по первой зоне Бриллюзна.
в) Исходя из уравнения для Сч, найти неявное уравнение для и и, следовательно, для величины 2 (Я*)/й = о. 373 Метод едункций Грина Решение а) Е((Ьа, ЬХ)) = — 1а[1 — 2(пе))+ ~2рвВ+2 Я Х(1)~ ((Ьа, Ье))— е — 2 Я Х (р-д) ((Ьр[ ЬХ))+ 4 ~Я Х (р — я) [((паЬр, Ь|+)) — ((прЬа, Ье))). б) Иа соотношений (13.12Л) и (13.12.2) и уравнения и. «а» имеем Е((Ьа, Ье+)) = — 31а+ ~2рвВ+ 2 (1 — 2п) ,'~' Х(1)1 ((Ь , "ЬХ))— -2 (1 — 2п) ~~~~~ Х(р — д) ((Ьр, .ЬХ)). г Испольауя соотношения (13Л2.3) и (13Л2.4), получаем Еч(Š— 2рв — 2(1 — 2п) [К(0) — К(е[)])= К (й) = ч~~ ~Х (1) ене ч), 1 — 2н 2я (Š— Еч) гле Еч = 2рвВ + 2 (1 — 2п) [К (О) — К (е[)) * в) Иа соотношения (13Л2.4), выражения для Сч и соотношений (13.8.3) и (13,3Л) находим ехр[е(ч е-$) — ге 0 — Г)73) (Ь;«')Ь,(2))= — „'Я ч ехр ФЕч) — 1 Полагая 8 = 2, 1 = д и заменяя суммирование по я интегриро- ванием — ...
-е- — ~ ) е[е~[ ч где в' = г/Ф вЂ” объем в расчете на один спин„ получаем уравнение для и 2н (2л)а .~ вхр (рЕч) — 1 ' (13.12.5) 374 Глава лэ Используя тот факт, что число узлов обратной решетки в первой зоне Бриллюэна равно У, имеем и окончательно получаем следующее неявное уравнение для о: ~сЦ,( ))Я ) Дз,~ 13.13. а) Используя уравнение для о, выведенное в предыдущей задаче, вычислить температуру перехода Тс, т. е. температуру, при которой намагниченность системы становится равной нулю в нулевом внешнем магнитном поле. б) Найти первый член в разложении о по степеням То — Т для температур, удовлетворяющих условию (Тс — Т))Тс (( 1.
в) Найти первые два члена в разложении величины о в ряд по Т для Т (( То, т. е. низшее отклонение от значения насыщения. г) Найти главный член в разложении восприимчивости по Ттдля Т))Тс. Решение а) В левой окрестности точки Кюри (точки фазового перехода) Тс, соответствующей ро, величина о мала в нулевом магнитном поле; это означает, что и значение Еч мало. Поэтому мы можем разложить гиперболический котангенс в степенной ряд по о, так что ~ 3 в(~ -(- — роК(0) 7)(в()+...
), (13Л3.1) где Ч(ц) =1 — ( К (Ч) К (О) ' Функция Р (и), определяемая формулой г'(и) = — ~ )еч(я) 3'ц (2я)з ) будет зависеть от структуры кристалла и может быть рассчитана для разных решеток и значений и. Из соотношения (13.13 1) находим — + — роК(0) г'(1)+...; (13 13.2) следовательно, устремляя н к нулю, имеем для ()с 2в ( — 1) Р= К(0) . 375 Метод Функций Грина б) Из соотношения (13.13.2) находим для р ) ро при условии (р — ро)/~о (( 1 3 -/р — ро Р (1) Р ( — 1) Г бо + ' ' ' в) При низких температурах следует ожидать, что величина о будет приближенно равна единице и что только значения «1 вблизи начала координат дадут вклад в интеграл, входящий в выражение (13.12.5).
Поэтому можно, сохраняя точность, распространить интегрирование на все и-пространство; вводя в нем полярные углы 0 и ~р, имеем зк л Ю О вЂ” о ~ екр ~ в]пбе(0 ~ дзаЧ „ехр] — 2гроК(0) Ч(е1)]. о о о т=1 Оставляя в разложении т] (е]) по степеням 11 только первый член (пропорциональный е]о) и интегрируя, получаем степенной ряд по ]) '. Из определения величины Х (е1) имеем, например, в случае простой кубической решетки К (е1) = — К (О) (сов (д„а) +сов (дуа)+ сов (деа)]О 1 где а — расстояние между ближайшими соседями.
(Легко запи- сать апалогичные выражения для случаев гранецентрированной и объемкоцентрированной решеток. Мы оставляем это в качестве упражнения для читателя.) Таким образом, в рассматриваемом случае для т] (е1) получаем о] (е1) = — ~'йз+ .. °, 3 и, следовательно (заметим, что в случае простой кубической решетки и' = ао), СЮ ОО 1 — 2л (2я)з 4я ~" ~ е-еао'йое]д, где а=])оК(0) а', 1О от куда 1 — 2л (2л)о 4я ]гааК (0) ао] еук ~~~~ ~у -МО или о = 1 — АТМО..., где здесь через ~ (и) обозначена дзета-функция Римана, а через язв постоянная Больцмана.
зтс Глава 13 г) В рассматриваемом случае поле должно быть отлично от нуля (В ~ 0), так как иначе величина о обратится в нуль. Запишем с(]т ~ 1Š— 1+~0 1 2 ч оо+ов где го = (]г])рвВ, 8в = ВЬ фоК (0) ц (<1)]. Разлагая гиперболический котангенс по степеням г,, а затем разлагая г, по степеням ]), находим иэ (13.12.5) для случая простой кубической решетки Окончательно для восприимчивости )( в расчете на скин имеем выражение Х = ])(гв ~1+ — й'(О) ~+ которое может быть записано (приближенно) в форме Кюри— Вейсса кв к (ю) Х= 6= —. "в(à — а) ' 2"в — ( а а+ о в+)увы'), (13.14Л) где М вЂ” вектор намагниченности 2)вв М вЂ” „~З,.
(13.14,2) а) Выразить оператор размагничивания (13Л4Л) через операторы Ьо и Ьо. б) Вернемся к ситуации, рассмотренной в задаче 13ЛО. Предположим, что, помимо постоянного поля В, в направлении оси г существует высокочастотное поле Вв в плоскости ху. Если высокочастотное поле имеет компоненты Ь соз оот, Ь з]п со~, 0; то воз- 13Л4. При изучении', ферромагнитного резонанса исследуют образцы, имеющие конечные размеры. Чтобы учесть граничные аффекты наиболее просто, хотя и только приближенно, дополним гамильтониан системы членом, содержащим размагничивающие факторы )в'„, л1~о,] Ф„] зависящие от формы образца.
Будем считать, что образец имеет форму зллинсоида, главные оси которого совпадают с осями х, у и г. Таким образом, мы должны добавить в гамильтониан (13Л1Л) член Метод руннций Грина 377 пущенный гамильтониан Х' запишется в виде Н'= — — „Х (ЯГ Ву) =Грэоее+7У~э™, ги, (13Л4.3) где У= — л ~', ЯГ (8~т=Я-У- еЯ). (13.14.4) Решение а) (Л нМх+ Д~уМу+ 1УеМе) = э )" Л~едв — 2РГДееРВ ~ ну+ у +(Ф ° +1ру) рв ~~', Ье+Ьз+)Уерв,>' папа+ е,й + ~ —,' Рв(У.— „) ~ (Ь Ь,+Ь~Ь;)1. б) 4нрв Х,=Х - — — „",' 'Я«8;;37)) — 4 рЬ~<<Ь;, Ь;)).
в) И"=(В ЬЫ)=3~ ~, (Х+ — Х )=ЮЬэ Х". г) Используя условия расцепления (13.12Л) и (13.14.7), находим, что уравнение движения для ((Ьз., Ь~)) содержит функцию Грина <(Ьор, Ь,+)). Запишем, однако, уравнения движения для Высокочастотное поле будет создавать дополнительную намагниченность в плоскости ху[ 6Мь = б (М, ~ <Му) = ее"Х~Ье+™. (13.14е5) Выразить восприимчивость Х через функции Грина. в) Записывая восприимчивость в виде Хт=Х ~(<Х (13Л4.6) выразить энергию И', поглощенную в единицу времени, через Х'и Х.
г) Определить восприимчивость Х~, используя уравнение двил'ения для эапаэдывающей функции Грина и применяя наряду с приближением (13.12Л) также приближенное уравнение «не Ь+е, 'Ье)) =<пи) ((Ьке, 'Ьа)). (13.14.7) 378 Гаааа И ((Ьа, Ь[)) и ((Ьр+; Ь|+)); тогда, воспользовавшись соотношениями (13.12.1) и (13.14.7), получим замкнутый набор Е ((Ьа, 'Ье)) = — 3 а+ [2рв — 2оММ„рв+ 2оК (0) [ ((Ьа, Ь7)) -[- -[-," [ — 2о1 (ц — р) + ор.з (Х„+ Л7и) [ ((Ьр, .Ьр))+ а +прв(Л'„— Л'о) ,'~~~ ((Ьр, Ь~)), е Е ((Ь+; Ьч)) = — [2ре — 2оЛХ,рв+ 2оК (0)[ ((Ь~ч, Ь[))— — '~~~ [2о1(я — р)+ о[ода (Л~,, +Хе)[ ((Ьр', Ье))— — я~в (Л' — Л'о) Х ((Ьо,' ЬЙ о Снова применяя соотношения (13.12,3) и (13.12.4) н соотношения ((Ье, Ь;)) = — ~ енч'-чТч, Ь о= — У ед'ч> чо= ~ ч находим (Е Еч) Сч — о +орв(Л'а — Л"„)УбчоГч, (Е+ Еч) 1 ч = — орв (Л' — 7Ч о) Лгбч Фч где Еч — Еч+ Фо[ов [(Л'а+ Л ю) бчо — 2Л'1[ Как мы видим, для ц ~ 0 величина Еч отличается от Еч тем, что В заменнется на  — Л', (Лора), т.
е. на величину поля с учетом размагпичивавщего фактора. Решая уравнения для Гч и Сч, находим я~О: Гч — — О, 6ч — — (как и в задаче 13.12), 2л (Š— Еч) о К+Ко ~о е 2л Еа — Е~~ ' где Е*„4[он[В+ Л'орв (Ԅ— Л7,)[ [В+ Мора (Л'о — Х,)[. 379 Метод функций Грина Для восприимчивости т+ теперь получаем )( = — 4ярв,Я ((Ьа' дев)) = — — в ~Ч', ~~ еечеце й.ч>= е е 4л1ое о 1 в чя ~ едч е-и) е е+ 1- н лл йч л (а+ее) — еч > 1 4л)ол у о Л (ю+ ~е) — Ео Х -1 2л ае (ю+ее)г — Ег ) е арве =)пп ( — Е (л(ш+'е) — Ео)~ а(ю~-'е) — Е„й(ю.(- е)~-Е, () ' Поскольку ы и Ег полояеительны, так что 6(йео+Ег)=0, получаем для )( выражение 2л)яв (Лю+ Ео) 6 (е Е ) Е, которое показывает, что поглощенно имеет место только для ш = Ь'„(л, причем ширина линии в данном приблил еняи равна нулю.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1.Бонч-Бруевич В. В., Тябликов С. В., Метод функций Грина в статистической механике, М., 1961. 2.гег Нааг В., в книге: Р)псФпасюп, Ке1ахааюп апб Вееопапсе ш Мабпемс Буе1ешв, ей. В. 1ег Нааг, Е6(пЪпгдЬ, 1961. 3е.Боволюбов Н. Н., Тябликов С. В., ДАН СССР, 126, 53 (1959]. йа Боголюбов Н. Н., Квазисредние в задачах статистической ыеханики, ОИЯИ,  — 1451, Дубна, 1963; см. также Избранные труды в трех томах, т. 3, Киев, 1971.
5Я. Тябликое С. В., Методы квантовой теории магнетиема, М., 1965. 6о. Бого,еюбов Н. Н. (мл.), Метод исследования модельных гамильтонианов, М., 1974. ГЛАВА 14 Плазма' ) Д. тер Хаар в ср(г) = — е — "', (14ЛЛ) где хв = 4яп,фев, вт ' (14.1.2) Выяснить, прн каких условиях справедливы приведенные соображения, и показать, что одно из этих условий имеет вид (14Л.З) гр )) с); радиус Дебая гр определяется соотношением ср — — н -1 причем с1 и Нв (14Л.4) (14Л.5) где и — плотность чясла частиц, т. е. а представляет собой величину порядка расстояния между частицами. Плазма, удовлетворяющая условию (14Л.З)„называется горячей разреженной плазмой; именно этот случай будет рассматриваться.в дальнейшем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
