Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Заметим, что искомое выражение содержит скорость вынужденного излучения Вхп но не содержит число фотонов Х. б) Рассмотрим уравнения для трехуровневых систем. Пусть температура Т, настолько велика, что скорости переходов вверх и вниз между уровнями 1 и 3, вызываемых накачкой, равны А,» = А», = Р. Пусть резервуар Т, и системы, вь|аывающие переходы между уровнями 1 и 2 (помимо излучения), столь «холодны», что можно пренебречь переходами вверх. Получить уравнения для изменения вероятности заполнения трех уровней при заданных значениях Р, Аам А„, В„и заданном числе Лг 1) См.
работу (65 Отризатеньные теннературы и инверснан заселенность 397 фотонов в резонансной моде. Принимая скорости изменения равными нулю, можно получить степень инверсии в стационарном состоянии. Упростить ато выражение, предполагая, что А, аначительно больше других скоростей перехода. в) Сравнивая результаты п. «а» и «б», можно найти число фотонов )т в резонаторе. При каких значениях скорости накачки Р возможно лазерное действиез Выразить мощность лааера через Р Р р Решение а) Скорость изменения числа фотонов определяется с помощью уравнения, полученного в задаче 15.6, при добавлении члена, учитывающего потери: ИЛс ))( — = — — + пВм (Рз — Рз) Л~.
тс Для стационарного состояния доля<но выполняться соотношение Гзп໠— — п (Рз — Рз)нр = Вм сс б) Уравнения для изменения вероятностей заполнений имеют вид Арз +=-Азер +ХВ (Рз — рз) — Р(р — рз) и А2«Р2+ %Взад (Р! Р2) + Аз»раз СЗР2 Арз — = Р(рз Рз) — Аззрз. Аз Полагая левые части (равными нулю и используя соотношение р, + р, + рз = 1, получаем для стационарного значения степени инверсии ()Ъ вЂ” Рз)ст— Р (Азз — Ам) — АмАм (Р+ Аз«) (2»7В«з+ Аю) +Р (2ЖВ»з -)-Азз-(- Аз,) " Если предположить, что Азз гораздо болыпе других скоростей переходов, это выражение ариниъзает ввд Р— Аз, (Рз Рз)ст 2р)В ) А ( Р в) Стационарный режи»« возможен только в том случае, когда степень инверсии равна критической степени инверсии, вычисленной в п.
«а»с 1 Р— Аы нВмтс 2ЖВ«з+ Азз+Р ' 398 Гласа 15 или Лг= — ' (Р— Аас) — — (Р+ А,). 2 2Вм Критическая скорость накачки равна (положить 1ч" = 0) р 1 1+1/пВагтс "Р= "1 — 1)иВытс' Выходная мощность лазера равна А77тс. Это выражение можно переписать в виде 77 1 — = — (и — аппп) (Р— Р„р). Заметим, что величина г) (п — с1пкр) точно равна числу систем, находящихся на уровне 1, когда достигнута критическая инверсия. Величина пр,Р равна числу переходов на уровень 3, ипдуцированных накачкой за счет термостата.
Постоянное число возбужденных систем, очевидно, необходимо для того, чтобы покрыть потери за счет спонтанных переходов; остальные системы порождают фотоны, покидающие полость резонатора. Модифицированное и уточненное описание рассмотренной модели лазера можно найти в соответствующих руководствах '). ЦИТИРОВАННАН ЛИТЕРАТУРА 1. Ватвсу Ас. Е., РЬуа. Веч., 103, 20 (1956). 2. Нагсйсги В., )Чпочо С1шеп1о Япрр)., Н1, 147 (1965).
3. ЕаийвЬсгу Р. Т., ТЬеппойупаппса п)1Ь Опапгпш Бгамейоа1 Н!паггаг)опа, )чели Уогй, 1961. 4. А1дга~и Р., и книге Опапгпш Орйса аш) Е)еоггоп)са, ей. С. Во%111, А. В)апйш, С. СоЬеп-Таппопйй, )Чесс Уогй, 1965, р. 527. 5. Ригсвй Е. )й., Рсиий В. У., РЬуа. Веч., 81, 279 (1961). 6, Яссся Н. Е. В., Бсьи)г-РиВсгв Е. О., РЬую Ееч. Ьегг., 2, 262 (1959) ° 7. Уагьч А., Опапгпш Е)еоггошса, Хек уогЬ, 1967, оЬ.
15. ') См., например, (7). ГЛАВА хб Теория скорости рекомбинации в полупроводниках Двк. Ьлекмвр * 16Л. а) Для невэаимодействующих, или «однозлектронныхэ, состояний с энергией Е ааписать выражение для вероятности заполнения такого состояния. Можно испольэовать сведения по статистике Ферми — Дирака (см. задачу 3.12). В задачах настоящей главы мы будем выражать вероятности заполнения через электрохимический потенциал, или энергию Ферми Ее для равновесных случаев. б) Считая, что эона раэре1пенных электронных состояний простирается вверх от значения энергии Е, и характеризуется плотностью состояний д (Е) =- А (Š— Е,)'~р, выразить в интегральной форме условие для Ег„если кр электронов находятся в равновесии и заполняют зону при температуре Т.
Как можно упростить это условие в случае очень малых значений пр? в) Рассмотренный нами пример зоны принято называть воней проводимости полупроводника: в ней содержится несколько электронов в низших энергетических состояниях и имеется большов число вакантных состояний. При нарушении теплового равновесия плотность электронов проводимости и может отличаться от нр.
При таких условиях в качестве нормирующего параметра для плотности электронов проводимости следует использовать квазифермиевский уровень Р„. Можно полагать, что при энергии, значительно меньшей Е„в полупроводнике существует почти полностью заполнененная эона разрешенных электронных состояний, энергии которых не превосходят значения Е„ так называемая валентная зона.
Выразить полное число дырок рр в валентнвй зоне в равновесном случае через энергию Ферми Ее, а число дырок р в неравновесном случае через дырочный кваэифермиевский уровень рю Найти характер отклонения Р и Еп от Ее при увеличении чисел заполнения свободных электронов и дырок. г) Показать, что в том случае, когда уровень Ферми лежит внутри запрещенной вони, т. е.
между верхней границей (потолком) валентной зоны и нижней границей (дном) зоны проводимости, произведение н,р, в равновесных условиях зависит от темпера- * Х. Я. Вравртрге, Рераггпзепт о1 Рбуэгсв, Р1ог1йа Айаппс оп1гегэйу, Веса Варов, ИогЫа. Глава 1в туры, но не от и, или р». Почему число и, = (п,р»)М» называется собственной плотностью пару Найти связь между разностью энер- гий г'„— гр в неравновесном случае и произведением пр (закон действующих масс). У= ~ Е(Е) 1(Е)йЕ ЯО (16Л.2) равна полному числу электронов в системе.
Идею нормировки практически удобнее реализовать с помощью параметра, имеющего размерность энергии. Этим параметром является злеюпрохими»есний потенциал, или знерзи я Ферми: Е„= — ЕТ 1н с«. (16Л.З) Выражая а в '(16Л.1) через Ер, можно записать равновесную вероятность заполнения в виде Е 1 1+ехр ЦŠ— Ерр»Т) (16.1.4) Решение а) В соответствии с принципом Паули два электрона в системе не могут находиться в одном и том 'ке квантовом состоянии. (Два электрона с противоположными спинами могут обладать одной и той же трансляционной волновой функцией; мы считаем, что в этом случае электроны находятся в двух различных квантовых состояниях.) Заполнение «одяоэлектронных» состояний подчиняется принципу Паули и описывается статистикой Ферми— Дирака.
Электрон, занимающий «одноэлектронное» состояние, является в динамическом отношении независимой частицей и не взаимодействует с другими электронами в «одноэлектронных» состояниях; однако на свойства «однозлектронных» состояний (например, их энергию) влияет усредненное поведение всех электронов системы. Как указывалось в гл. 3, усредненная по времени вероятность того,что электрон находится в состоянии с энергией Е,имеет внл 1(Е) =, (16.1Л) Из этого выражения следует, что одноэлектронные числа заполнения имеют максимум для состояний с ннакой энергией.
Совпадение со статистикой Больцмана в пределе высоких энергий и малых чисел заполнения позволяет отождествить параметр р с величиной ЫКТ. Параметр а в (16Л.1) играет роль нормирующей функции. Действительно, если в интервале энергий (Е, Е + аЕ) имеется д (Е) аЕ различных одноэлектронных состояний, то в равновесии при температуре Т всегда можно найти одно (и только одно) значение параметра к, такое, что величина +вв Теории скоросоов рекомбинации ° полупроводником ФИ Нетрудно заметить, что вероятность заполнения для состояния с энергией Ер равна 50%.
Среди состояний, лежащих значительно выше Ер, редко встречаются состояния, заполненные электронами. Напротив, почти все состояния, лежащие значительно ниже Ер, ааполнены; лишь незначительная их часть свободна. б) Пусть эона разрешенных состояний начинается с минимального значения знергии Е„причем К (Е) = А (Š— Е,)мв для энергий, превышающих Е„тогда ясно, что в тепловом равновесии распределение злектронов, общее число которых равно и„ по состояниям с различными значениями знергии должно удовлетворять равенству А (К вЂ” Ко)ив о ~ $+охр ((К вЂ” Кру(кТ) (16.1.5) о Это означает, что мы подставляем распределение (16.1А) в (!6.1.2).
Выражение (16.1.5) служит определением соответствующей знергип Ферми для любых значений по и температуры. Если число ло очень мало, то, очевидно, в выраокеяии (16.1.5) величина Ер должна быть значительно меньше, чем Е,. В етом асимптотическом случае по=А (йТ) Яехр ( ~„~ ') ~ Уыехр(У) с(У= а =А(йТ) и ~ — я) ехр ( ~ь, ') =Де,ехр ( ~„т ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
