Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(16.2.4) в) В настоящей задаче мы предполагаем, что время жизни не зависит от п„так что уравнение непрерывности (16.2 1) является линейным. Поэтому если скорость генерации яе равна йм в интервале Т, ~( г < Тз и другому значению, лез, для Т ) Тз, то величину и, для моментов г ) Тз можно записать как простую сумму выражений (16.2.4) и (16.2.3). Первое из них будет описывать плотность избыточных электронов п„которые возникают за счет генерации до момента Т„а второе — плотность избыточных электронов, возникающих за счет процессов генерации в восле- дующие моменты времени. Поэтому Пе- — КеЗ т ( ОХР ( — ) — ОХР ( — ) 1 ОХР ( — — ) + З + аозт ( 1 — ехР ( ) ~ (Г > Тз). (16.2.5) Это выражение может быть представлено в виде суммы постоянного слагаемого и зависящего от времени слагаемого / Тз Пе Зеэс ~(беЗ ЬееЗ) теХР ( — ) + +дмсехр( — ')) ехр ( — — ) (г)Тз).
(16.2.6) Кривые, описываемые этим уравнением, представлены на фнг. 16.2.1 для случаев, когда величина я в момент Тз возрастает, убывает или остается неизменной. г) Рассмотрим теперь решение уравнения (16.2.1) для случая, когда яе является произвольной функцией времени. Чтобы исследовать это решение, представим скорость генерации д, как последовательность мгновенных актов генерации, каждый из которых может быть описан с помощью б-фуикцин.
зочнее, мы предполагаем, что лес(е — ее 6 (е ~0)~ е только в этом случае уравнение (16.2.1) имеет решение Л,(с) = ЛГЕХр ( 0 ) . Глава га Поскольку время жизни т в настоящей аадаче предполагается постоянным, уравнение (16.2 1) линейно и решение для пв (1) в случае большого числа б-образных актов генерации в равные моменты времени является просто суммой значений пв (2), вычисленных отдельно для каждого акта генерации. Поэтому, когда д а 7 г г О д д Брит 2- Т, а единицах т юнг. 16,2.1.
Заннснмость от времени плотности нзбыточпых поснтелей, когда скорость нх генерацнн, начинающейся н момент времени Гт, намекается н момент времени Та. Иаоораженные васса приаме нля момснтон времени после тв онисынаютсн трааненинМн (16.2Л) И 112.2.Е), ГЛЕ Юва/Нв) 2, 1 Н О,З. н,является произвольной (не обязательно непрерывной) функцией времени, интегральное представление для нв(1) имеет вид пв(2) = ~ дв(ге)ехр ( — е) сне (16.2.7) я,(2о)=)" в(н(ю2е) (0(2е< — ) (ата функция может служить очень простым примером представления решения с помощью функции Грина).
Уравнение (16.2.7) можно использовать для того, чтобы определить, как величина ки реагирует на синусоидально меняющуюся генерацию. Предположим, что имеется одиночный синусоидальный полупериод генерации Таорик окорооти рокомбинации о иоадирооодникак 4оз и что в другие моменты не происходит ,'генерации избыточных носителей. Тогда из выражения (16.2.7) имеем п,(1)=6ехр( — -) ~ вш(око)ехр ( — о) ого (О<а< и ). о (16.2.8) Это выражение описывает изменение величины и, в течение процесса генерации.
Чтобы описать поведение и, после окончания полупериода синусоидальной генерации, мы должны выбрать величину я/ь в качестве верхнего предела интегрирования в формуле (16.2.8). Интегрируя по частям, получаем ехр (ах) вшхдх= (ав1н х — сов х); ехр (ак) 1+ах уравнение (16.2.8) принимает этот вид после перехода к безразмерной переменной х = ого. Таким образом, в течение процесса генерации иС по(о) = — ехр ( — — ) ) ехр ( — ) в1п хбх= о +,, ( — — сов(соЕ)+ехр ( — — ) ) (О<с - — ); (16.2.9> после прекращения генерации происходит монотонное убывание: п,(1) = — ехр ( — — ) ~ ехр ( — ) в(п хнах= о + (1+ехр ( — )Д ехр( — — ) (о1) — ") .
(16.2 10) Отклик на изменение до в то время, когда генерация еще продолжается, может быть записан в более удобном виде с помощью фааового угла О = агс18 (ат); тогда выражение (16.2.9) принимает внд п,(г) =Стсовб( вш(со~ — О)+ехр ( — — ) зш О~ (О < Ф < — ) . (16.2.11) Кривые на фиг.
16.2.2 иллюстрируют возрастание и спад и в соответствии с выражениями (16.2.9) — (16.211) в частном случае гат = 1 (при этом фазовый угол О = агой (ат) - я!4). На основе проведенных рассуждений нетрудно установить, что Глава 16 416 плотность избыточных носителей, возникающих при непрерывной синусовдальной генерации, содержит постоянное и переменное (синусоидальное) слагаемые. При этом переменная составляющая плотности отстает от синусоидальной генерации по фазе на угол 6 = агсгд (овт). д) Интересно выяснить характер убывания величины п„если величина д, сама является экспоненциально убывающей функцией времени. Предположим, что ив сохраняет постоянное значение б 08 0,66 м 0,4 0 0 7 8 д 4 д Ю лремл 6 е едииииих и о иг. 16.2.2. Отклик плотности избыточных носителей на полупериод сннусоидальной генерации в соответствии с выражениями (16.2.9) — (16.2.Н).
для всех 1 ( 0 (так что п, = бт при г = 0) и что ев = б ехр ( — г/Т) для всех 1) О. Тогда из выражения (16.2.7) находим в пв(1)=бтехр( — — )-(- ) бехр( — в )ехр( — ") вгго (Ф)0). о Если Т и т не совладают„получаем после интегрирования пв(1) — бт р( ) р( ) (1)0)' (16 2,12) в частном случае Т = т результат имеет вид лв(Г) =б(8+. г) ехР ( — — ) (6)0). ("(16.2.13) На фиг. 16.2.3 изображено убывание величины п„описываемое выражением (16.2.13) для частного случая Т = и; для сравнения представлены танисе экспоненциальное убывание при Т = 0 Теория скорости реяамбинлции и лелуяраведнияал и гораздо более медленное убывание при Т = 3т. Величину т можно определить по скорости убывания прн больших значениях г только при том условии, что Т ( т.
П,б I г Ю Время б е единицах т 'рнг. 16.2.3. Убывание плотности избыточных носителей прп уменьшении скорости генерации избыточных носителей нлп ее прекращении. Нижняя кривая сеетвегсгвует васпененпиалююму убыванию при внеалпнем преарап1ении генерации; средняя аравая — выражению (1б,2.13) для геиерюгии, убывающей ааспененциальне с постоянней времени Т = г; верхняя аравия соответствует вираже- нию (16.2.12) для Т = Зг. 16.3. В настошцей задаче мы рассмотрим прямые излучательные ~ереходы в полупроводнике, приводящие к возникновению или 'уничтожению пар электрон — дырка.
Тернии прял(ой иэлучательный переход означает, что фотон может породить электрон и дырку, разность импульсов которых точно равна (пренебрежимо малому) импульсу фотона. Электронному и дырочному состояниям, между которыми происходит прямой переход, соответствует один н тот же волновой вектор, как, например, состояниям с энергиями Е, и Е) на фиг. 16.3.1.
В полупроводнике, изображенном на фнг. 16.3.1, осуществляется прямой переход между разрешенными состояниями, образующими верхнюю и нижнюю границы запрещенной зоны Е( (этим состояниям соответствует один и тот же волновой вектор). а) Искользуя соображения, связанные с законом действующих масс и принципом детального равновесия, найти скорости перехода между Е, и Е при вынужденных и спонтанных излучательных процессах. Показать, что отношение скоростей вынужденной и спонтанной иалучательной рекомбинации между этими состоя- Глава И 412 виями точно равно числу )у' фотонов данной частоты; при етом энергия фотонов определяется равенством ген = Ем — Еь б) Исходя из полученного результата, показать, что вынуло денные переходы влияют на скорость излучательной рекомбинации между Е, н Еб именно, показать, что при этом скорость спонтанной рекомбинации следует умножить на фактор вида 1 — Х(ехр( " ) — 1~.
йалнавай ввялгпр Решение 3) акты генерации, вызванные полем рекомбинационного излучения. Обозначим скорости этих трех процессов соответственно через с)гер г(~ ег> гага Применяя закон действующих масс, скорость спонтанного процесса рекомбинации можно записать в виде с(г,р — — Ау (1 — /~). (16.3Л) Параметр А содержит информацию относительно плотностей состояний с анергиями Е„ и Е, и относительно воаможностей электронно-дырочной аннигиляции в том случае, когда алектрон, обладающий кинетической анергией ń— Е„сталкивается с дыр- гм и о м Е. Я Е Ео ~го Е~ фиг. 16.3.1. Схема энергетических аон полупроводника с прямым переходом, принятая в задаче 16.3. Элентрохимичеснна потенциал, или уровень Ферми, при термодинамичеепом равновесии равен Ен, а суммарное ваполневие двух вон для относительно стационарногонеравновесного случая хараптеривуегоя внвченияии г в р„.
К какому пороговому условию для преобладания вынужденной рекомбинации приводит этот результат? (Ом. также относящиеся к этому соображения в задачах 3.20, 15.6 и 15.7.) [Разумеется, действие полупроводникового лазера зависит также от устранения конкурирующих (неизлучательных) механиамов рекомбинации и от соответствия между оптической конфигурацией и рекомбинационным излучением.) а) Излучательные переходы между Е, н Е„, ~~~эры~ мы долягны рассмотреть, можно разбить натри категории: 1) спонтанные акты электронно-дырочной рекомбинации; 2) акты рекомбинации, вызванные полем рекомбинацнонного излучения; Теорие екороети рекомбинации е лоеулроеодникаа 413 кой, обладающей кинетической энергией Е, — Еь В выражении (16.3А) величина )и обозначает вероятность того, что состояние с энергией Е„занято электроном, а 1 — ), есть вероятность того, что состояние с энергией Е~ занято дыркой.
Если можно предположить, что нарушение термодинамического равновесия изменяет лишь степени заполнения электронных и дырочных состояний, но не влияет на характер распределения по скоростям в сосуществующих эчектронном и дырочном газах, то для любых значений Еи и Еь лежащих внутри соответствующих зон, 1 1+ ехр [(Еи — Рл)/ЬТ) (16.3.2) 1 — ~1—- 1+ехр Црр — Е~)(ИТ) ' Будем обозначать через ~„о и 1 — ~~о значения этих величин в равновесии. Скорость вынужденной рекомбинации дгм из состояния Еи в состояние Е~ зависит от )и н ~~ так же, как н е(г,р, а именно Егн = В1„(1 — )~) Л".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
