Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 63
Текст из файла (страница 63)
(16Л.6) 0 б (К) 1+охр ((К вЂ” Ки)!йТ! (16Л.7) причем выражение (16.1.7) не накладывает каких-либо видимых ограничений на значение п. В неравновесных случаях величина Еи является квазифермиевским уровнем, а в равновесном случае совпадает с Ер. и-озвв Следует заметить, что величина п„определяемая выражением (!6.!.6), выглядит так же, как и в том случае, если бы вместо зоны имелось Х, состояний (каждое с энергией Е,). Условия пРпменимости УРавнениЯ (16Л.6) выполнЯютсЯ пРи л, (( ДГе.
Это неравенство зависит от температуры; из него следует, что величпна Ер должна быть меньше Е, на несколько ЕТ. в) Рассмотрим теперь неравновесный случай, когда число злектронов в зоне проводимости есть и ~ и„. Очевидно, что для описания связи между величиной и и температурой кристалла может быть использован нормирующий параметр К„с размерностью энергии. Тогда вместо (16.15) имеем Глава 1б Если полная неравновесная степень заполнения п достаточно мала (так что Р„меньше, чем Е,), то можно написать в полной аналогии с (16Л.6) п=Х,ехр( "„, ') (и((Л",).
(16.1.8) Следует отметить, что при неравновесном распределении электронов по состояниям зоны их распределение по скоростям не будет соответствовать тепловому распределению нп при какой реальной ьз Ес к Ег Е $ Е Фиг. 16.1Л. Идеализированное изображение (почтв ааполпенной) валептвой зоны и (почтп пустой) зоны проводпмостп для полупроводника с запрещенной зоной, лежащей между зпачепинмп апергнп Ес и Е,. равновесная анертня Ферми Ер соответствует плотностям ны рэ сэобонных электронов и дырок при температуре т.
Для любых неравновесных лестностей свободных носитеней э, р, превышающих равновесное эаачевие, кваэийермиееский УРОВЕНЬ НЕ СОНПахаст С Яр И Лвжкт В Обнаотн р >вь.>Р По оси абсцисс отложена плотность состонвий Н (К) и плотность заполненных состонний (ааштрихована). Ппаюносл)ь састпояяий температуре. Однако выражения (16.1.7) и (16Л.8) определяют только полную плотность электронов проводимости при данной температуре кристалла Т и при данной плотности состояний.
В действительности мы обычно считаем, что избыточные электроны, введенные в зону проводимости, будут термализоваться, т. е. переходить в состояние равновесия по скоростям, за время порядка 10 и с или меньше, хотя во многих полупроводниках время, необходимое для возвращения избыточных электронов проводимости в состояния нижних зон. значительно болыпе. Обычно прн нарушении равновесия в полупроводнике имеет место неравенство и ) ио.
Из (16Л.7) или (16.1.8) следует, что Е„ в этом случае превышает равновесное значение Ер, как показано на фиг. 16.1Л. На фиг. 16Л.1 изображена также валентная зона, состояния которой лежат ниже равновесной энергии Ферми. В равновесном случае такая зона почти заполнена электронами, т. е. характеризуется относительно неболыпой плотностью ро есвободных дырокэ. Из предыдущих рассуждений ясно, что рю Ер и Т связаны усло- Глава 16 переход возбужденных электронов из валентной зоны в зону проводимости. Свойства полупроводника с собственной проводимостью не зависят от таких факторов, как, например, присутствие посторонних включений или дефектов решетки, которые могут в менее чистых обраацах привести к существованию локализованных состояний, «поставляющих» либо свободные дырки, либо свободные электроны).
Поэтому в полупроводниках с собственной проводимостью плотности свободных дырок и свободных электронов равны величине ьч = (лоро) ~'= (Л',Л',) лехр ( " '). (16Л.13) Для любого полупроводника (независимо от природы проводимости в нем), в котоРом в результате некоторого отклонения от равновесия возникло избыточное число электронов и дырок, произведение пр может быть записано в виде . пр=Л',Лв, ехр( — '„, ') ехр ( ~) =ппехр ( — "„~), (16.1.14) где использованы вырая«ения (16.1.8), (16.1Л1) и (16ЛЛЗ).
Величину п1 в правой части уравнения (16ЛЛ4) можно заменить на пор„если учесть, что п и р должны бь«ть записаны в интегральном виде согласно выражениям (16.1.7) и (16.1„11). Для этого плотности свободных носителей должны быть достаточно велики для того, чтобы квазпфермиевский уровень лежал вблизи грангщы зоны. В любом случае, если Р„и Рр не выходят за пределы запрещенной зоны, имеем Є— Р„=йт1 ( — "" ). (16.1Л5) 16.2. Рассмотрим полупроводник, в котором естественные процессы, происходящие при определенной температуре, достаточны для того, чтобы поддерживать заданную объемную плотность но свободных электронов в зоне проводимости (эта зона может «принять» гораздо большее число электронов).
Данное значение плотности по при тепловом равновесии возникает в результате конкуренции двух противоположных процессов: 1) генерации (со скоростью д) электронов проводимости путем возбуждения их из заполненных состояний с низкими энергиями н 2) рекомбинации (со скоростью г) свободных электронов путем обратного перехода в любое вакантное состояние с низкой энергией. Предположим теперь, что тепловое равновесие нарушается п плотность электронов проводимости изменяется до значения я = по + и, (будем называть л, избыточной плотностью электронов). Если величина и, отлична от нуля, то величины я и г не равны друг другу и обычно отличаются от своих равновесных значений.
Теория скорости рекомбинации е нояуироеодкикая 405 Такое воамущение может быть следствием индуцированной иавне генерации со скоростью я,; кроме того, избыточные электроны могут поступать из другой области образца. Суммарный эффект, обусловленный различными факторами, может быть описан уравнением вепрер вносшп для электронов дн дие 1 =а +а + — и'1 д« дс е ' о~ где 1„— плотность тока, обусловленного потоком электронов.
Говоря о рекомбинации в полупроводниках, удобно определить время жизни электронов ') т как плотность избыточных электронов, отнесенную к скорости (г — д). Выраженное через т уравнение непрерывности для электронов имеет внд дие ие « — =д,— — + — Ч.1. дс ' т * а) Указать условия, при которых уравнение непрерывности становится обыкновенным линейным дифференциальным уравнением.
Каков тогда общий вид решения для любого промежутка времени, в течение которого скорость генерацни избыточных носителей остается постоянной3 б) Описать рост параметра п„когда генерация избузточных носителей со скоростью де внезапно начинается в момент времени г = Т, и сохраняется постоянной продолжительное время после этого. Что происходит, когда скорость д, столь же внезапно обращается в нуль в момент времени г = Т 3 в) Исходя из этих результатов, показать, как наменяется ии, если в момент времени « =- То значение у, резко меняется от д,г до у„.
Изобразить зависимость п, от времени для значений лео, больших или меньших, чем ям. г) Рассмотреть реальный случай, когда скорость избыточной генерации де является произвольной функцией времени, и представить пе в виде интеграла, в который входит скорость генерации в предшествующие моменты. Использовать это выражение для анализа отклика величины и, на импульс генерации, имеющий вид отдельного полупериода синуса. д) Аналогично показать, как убывает и, в том случае, когда у„ — эксноненциально убывающая функция времени. Решение а) Уравнение непрерывности для электронов становится обыкновенным дифференциальным уравнением, если плотность избыточных электронов п, является функцией времени, но не зависит «) Различный смысл понятия «время жизни взбыточвых посшелейя детально исследуется в связи о разными процессами геверацпи и рекомбинации в книгах Ривквпа [И и Блекмора [1Ц.
406 Глава л'а от пространственных координат. Такая ситуация имеет место, если мы рассматриваем область глубоко внутри большого однородного монокристалла, расположенную далеко от любых поверхностей, р — н-переходов или контактов.
Следует также предположить, что механизм, определяющий скорость генерации избыточных носителей де, пространственно однороден; поэтому если генерация со скоростью д, возникает за счет поглощения извне фотонов с соответствующей энергией, то зги фотоны должны слабо поглощаться твердым телом. Так как мы предполагаем пространственную однородность и удаленность от поверхностей и контактов, ток алектронов будет соленоидальным (беа дивергенции), и уразнсяие непрерывности преобразуется к виду лае ае = А" Ж " т (16.2.1) Это уравнение также является линейным, если время жизни т постоянно, т. е. если разность между естественными скоростями рекомбинации и генерации прямо пропорциональна отклонению от равновесной плотности свободных электронов.
(В действительности установлено, что т зависит от п, для всех основных механизмов рекомбинации, хотя для некоторых рея~ямов рекомбинации величина т остается постоянной в достаточно тяирокой области значений и,.) Используя условия пространственной однородности и постоянства величины т, уравнение (16.2.1) моя~но сразу же проинтегрировать для любого промежутка времени, в течение которого д, сохраняет постоянное значение. Общее решение имеет вид и, = я,с+ С ехр ( — — ), (16.2.2) С = — дет ехр ( — ~ ); тогда п,=д,т (1 — ехр( — ')1 (~ >Те).
(16.2.3) В момент времени Т„когда генерация иабыточных носителей внезапно прекрюцается, величина пе достигает значения п,(Т,) =яет ~1 — ехр ( — '')1. где величина С определяется из начальных условий. б) Если до момента времени т = — Т, скорость генерации избыточных носителей равна нулю, а начиная с этого момента становится равной постоянной величине де, то величина С в уравнении (16.2.2) должна иметь такое значеяие, что и, = 0 при з = Т . Это условие выполняется в том случае, если Теории скорости рекомбикаиии в кокркроеодкикак 407 Из уравнения (16.2.2) ясно, что в дальнейшем и, затухает согласно выражению сз сТз — з з пе=СОхр ( — ) — пе(Тз)ехр ( ) = т =д,т (ехр ( — ') — ехр ( — ')~ехр( — — ) (1)Тз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
