Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 56
Текст из файла (страница 56)
12.7. Для антиферромагпетика, рассмотренного в предыдущей задаче, найти перпендикулярную и параллельную восприимчивости )(Ь и ув (для случаев внешнего поля, приложенного перпендикулярно илн параллельно намагниченностям подрешеток) при температуре ниже температуры Нееля. Решение Пусть (12.7Л) Ж)о (Мэ)о "" ш' где индекс 0 указывает на отсутствие внешнего поля. Сначала рассмотрим случай (12,7.2) Эффективные поля снова определяются выражениями (12.6.4). Нас интересует восприимчивость и поведение намагниченности в присутствии малого внепшего магнитного поля.
Так как В ) ш, можно предположить, что векторы (М~) и (Мэ) уже . не будут строго антипараллельны. Пусть е — угол между направлениями (МД и — (Мэ). Мы предполагаем, что з (( 1. Эффективное поле В(4е будет параллельно (М ); таким обрааом, из выражений (12.6.4) следует, что вектор  — д, (Мэ) должен быть параллелен (М,)„а вектор  — д, (М,) параллелен (Мз > (фиг. 12.7.1). Полная намагниченность (МД + (Мэ) будет параллельна В; ее величина, деленная на В, дает восприимчивость Из фиг. 12.7.1 мы видим, что Х( (12.7.3) Чэ Рассмотрим теперь случай В Ц'ш. (12.7.4) Коояеративиые яввеяия Снова воспользуемся соотношениями (12.6.7) и представим аргумент первого гштерболического тангенса в виде 1 2 >ел>ев (  — де (Ме> — дя (Ме)) = = — рд>евш (дя — де) + — рхрв ( — д~ бше — дябшх); (12.7.6) 1 2 аналогичным образом запишем аргумент второго гиперболического тангенса.
Производя разложение по ма- лой величине, соДеРжаЩей В, бте и бшм получаем из (12.6.7) 1' бш = —,(>61(аЬ)'( — д 6 — дяб е) Х Х сЬ Я ~ — (>д>явш (дя — д,) ), (12 7.7) бшя — — РЛ' (Ддв) ( — Дябше Д16шя) Х 1 Х СЬ ~ 2 1ез>еНШ (Дя Д1)~ ' <М1) Складывая эти уравнения; находим полную намагниченность (Ме) + (Мя) =- бше + бшм еиг.
12.7.1. Деля полученный результат на В, получаем 2Л ~з = ч (г+ л> ' (12.7.8) здесь Л = 6 сЬ ЯРД>ввш(дя — де)) ,Г1 где д и 6> определяются выражениями (12.6.10) и (12.6.11). Заметим, что ш-~ 0 при Те. Тл; следовательно, Л -е- ее и 28 1 хз,(г„+е> = „(= >(->-) (12.7.10) где использовано выражение (12.6.13). При Т-ы 0 величина Л экспоненциально стремится к нулю, так что >аз-ы О.
В заключение заметим, что в соответствии с (12.6.9) при приближении Т к Ты сверху восприимчивость также приближается К 1/дя Предположим теперь, что все векторы параллельны (или антипараллельны); более того, предположим, что для малых значений В (Ме > и — (М,) приближенно равны ш. Тогда можно написать (Ме > = ш + бее, (Мя > = — т + бшя.
(12.7.5) Глава Г2 12.8. Рассмотрим модель Изинга. Гамильтониан этой модели можно записать в виде 1 2 КРв4с.~ Р~ 2 .Е ГР1Ра~ е п,ю (12.8.1) где теперь в сумму по 1 и я входят только такие члены, в которых 1 и я — ближайшие соседи, и где, кроме того, введены новые переменные Р1, которые могут принимать аначения +1 и — 1. В приближении молекулярного поля гамильтониап (12.8.1) заменяется следующим: О = — г рР В.Е Ри — —,' з.'Е ГРРР, (12.8.2) 8 е (12.8.3) Пусть Д+~, у+, ч представляют собой соответственно числа пар ++, + — и — —. Доказать следующие соотношения между О++, ч+-, ч--: 2ф+.„+ ф~ = гЛ1+, (12.8.4) 2Е +О.=Л, где величиныХ+ и Х были определены в задаче 12.4.
Разумеется, имеет место такя1е соотношение, следующее иа соотношений (12.8.4): е,. + е + е. = а (12;8.5) Введем теперь параметр ближнего порядка о посредством соотношения а-++о — Е+ =оа (12.8.6) Заданное состояние системы теперь характеризуется параметрами дальнего порядки В и ближнего порядка а. где Р— среднее значение Р, а з — координационное число, т. е. число ближайших соседей в расчете на спин.
Это приближение по существу сводит проблему к проблеме для одного спина или, как мы видели в задаче 12.4, к предположению, что положительные и отрицательные спины случайным образом распределены по решетке. В следующем приближении принимается во внимание, что вследствие взаимодействия образуются преимущественно пары+ + или — —, а не пары + Пусть Д вЂ” полное число пар в решетке, так что Кооператиение явления 359 Рассмотрим далее вместо системы из одного спина систему из з+ 1 спиноз, причем взаимодействие между центральным спинам и его г соседями будет учтено явно, а влияние других спипов в решетке — посредством среднего поля В .
Иначе говоря, рассмотрим гамильтоннан 11еы = у<явВ'1ро+ ~> >г>) оо>явВ,л> рт — — 1ро рте 2 >=1 >=~ >=а (12.8.7) где индекс 0 относится и центральному спину, а индексы 1 =. 1, ..., з — к спинам ближайших соседей. а) Доказать, что в этом приближении <О~ !Я < <Ое+> <<» 4 (12.8.8) где х =е-аг. (12.8.9) Решение Соотношения (12.8.4) непосредственно следуют иа того, что каждый спин имеет г ближайших соседей и что каждый спин «+» должен входить либо в пару ++, либо в + — (при подсчете пар следует быть внимательным, чтобы не учесть каждую пару дважды). а) Чтобы доказать соотношение (12.8.8), напишем статистическую сумму 2 Х Х ° Х ехр ( — р11ны) (12.8.10) но=~! не= е< не=~1 Записывая = — (>крвВе К' = —, рх<яв (В+ В'), У = — (11, (12.8.11) б) Найти о как функцию х и В.
в) Используя тот факт, что для самосогласованности величина (ро) должна быть равна (р>), чем и определяется среднее поле В', найти температуру Кюри в этом приблияяении. г) Показать, что в пределе г-~ оо критические значения л в рассматриваемом приближении и в приближении молекулярного поля становятся равными н что в этом пределе также а = ВЯ, вследствие чего выражения для энергии в рассматриваемом приближении и приближении молекулярного поля одинаковы. При рассмотрении предельного перехода х — и со следует предположить, что 1-+. О, тогда как а1 остается конечной величиной (именно г1 определяет температуру перехода, которую мы хотим сохранить конечной). Глава 12 имеем 2- Х ехр (Кр,+К' ,'~~(г!+Х ~ [оо(«1), (12.8Л2) но=а! н = ! 1 г Х ехр (Кро+К'(о!+ Удар!) Ц ехр [(К'+Хро) р!), »г=ь! 1=2 (12.8ЛЗ) ехр (Кро+ К р1+ Х(гор!) [2сЬ (К'+ У(оо) ['-'.
»!=а! но=ь! = Х н«=Ы (12,8Л4) Обозначим четыре члена, относящиеся соответственно к зна- чениям параметров ро, рг, равным +1, +1; +1; — 1; — 1, +1; — 1, — 1, через Я++, Т~, Я +, 2 . Имеем 2 = р(К+К'+.т) 2,("'„ 7« =ехр(К вЂ” К' — Х) Х~~!1, (12.8,15) 2+ — — ехр( — К+К' — У) Я! [, 2 .=ехр( — К вЂ” К'+Х) 2( 1„ где Я(;[ = [2сЬ(К' ~ У)[г '. (12.8.16) теории статистических сумм (ср.
гл. 4 и 6) следует, что :7,:2,:2 =(~в+): — 'ф., ): — ', ((~ „.):ф ),(12.8.17) Из общей 7лн 9н= — гХ (1-[ о+2!(), — в гД'(1+о 1 Д+-= 4 гЛ (1 — о); 1 (12.8.18) и, следовательно, из соотношения (12.8.8) находим (1+о+2Л) (1+о — 2Н) (1 — о)г (12.8.19) откуда сразу получается соотношение (12.8.8). В настоящем решении для доказательств равенства статистических сумм 2+ и 2 + мы испольэовали соображения симметрии. Можно скааать, что зти соображения позволят выразить К' через К и Х. Как мы далее увидим, требование самосогласованности действительно ведет к такому значению К', что 2 = 2 +(см. п.
«во). б) Нетрудно получить с помов!ью (12.8,3), (12.8.4) и (12.4.1), что Коомерамеивмые мвлемим откуда 1+ай — 2й И вЂ” лй+Вййй)пй о й (12.8.20р Заметим, что при Т ) То величина Л равна нулго, "следовательно, и= — ' Й' (12.8. 21) в) Чтобы найти температуру перехода, следует сначала выполнить суммирование по р, в (12.8.14), откуда получаем 2 = Х ехр (Кро) (2сь (К+ К'+ )')йо))', (12.8.22) =г,+г, (12.8.23» где г = -кг< ). (12.8.24)1 Из (12.8.12) следует, с одной стороны, что а)в2 2, г "") ак 2 (12.8.25) с другой стороны, имеем ( ) ~1~2 2~1Ь(К +У)+Я йь(К У) дК' г е Иа условия самосогласованности получаем (Ро) = — Х (Рт)) 1 (12.8.27) тогда находим (12.8.29) а уравнение для определения К' принимает вид сЬ (К'+ У) 2К' .Ь(К вЂ” Г) ="Р.— 1 ° (12.8.31)) г, 1+йь (к — г) (12.8. 28)) 2 = 1 — йь(к+,г) или, применяя (12.8.24) и (12.8.16), сЬ (К'+л') 2 (К' — К) сЬ (К' — У) = ехр е — 1 откуда также следует, что Я+ =- Л ь.
Чтобы найти температуру перехода, положим В = 0 в (12.8.29)„ так что теперь К' =1 Мр В' (12.8.30) 362 г ° и сЬ (У+ КО 2К' (12.8.32) сЬ (Х вЂ” К') х — 1 ' откуда 1п (1+ 2К' 1Ь.) -(-2К" 1Ьзу — —, К" 1Ь' У+... ) = —, (12.8 33) 2К'1Ы вЂ” — К" ЬЬ.) (1+21Ьс.))+. = — (12.8 34) Так как К -~-0, то (12.8.35) или 1 — хо 1 (12.8.36) (12.8.37) 1+хо с — 1 ' откуда 2 хо=1 —— х ' При температуре ниже (но вблизи) То находим из (12.8.34), что К" удовлетворяет уравнению з (1ь,г — 1ь,г ) (12.8.38) 1Ь,Г+21Ьз У г) Используя выражение (12.3.10), определение (12.8.9) величин х, а также то обстоятельство, что в модели Изинга ~~~1 (й) = Ф = а1, получаем в приближении молекулярного поля: хо — — ехр ( — ро1) =ехр ( — —,); 2 (12.8.39) этот результат совпадает с выран<ением (12.8.37) в пределе г — ~- оо. Чтобы найти и в етом пределе, заметим, что из (12.8.9) и (12.8.11) следует (12.8.40) х = ехр ( — 2Х) ж 1 — 2Х+ в пределе г — ~ 0 (а также Х -+ 0).
Тогда получаем из выражения (12.8.20) после некоторых разложений и жА'. (12.8.41) Заметим, что значение К' = 0 всегда является решением. Температура перехода представляет собой такую температуру, для которой становится возможным ненулевое решение для К'. Разлагая обе стороны уравнения (12.8.31) для малых значений К' ло членов порядка К'з, получаем, беря логарифм, следующее уравнение: Коопгратигннг ягпгнип Заметим, что (12.4.9) можно записать в виде 1 Е = — — гЧа 2 (12.8А2) ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. №в г". С., ЯйегЫеу И'., Кот.
Мой. РЬув., 10, 1 (1938). 2. ггг Нааг Б., Е1ешевгв о1 81амя11са1 МесЬав!ся, Хезг гогЬ, 1954, ОЬ. 12. 3. РгоЫешв ш Во1Ы 81а1е РЬуя1св, ей. Н. Х. Оа1йвшЫ, 1,овйов, 1968. 4п. Богопюбег Н. Н., Лекции но квантовой статистике, Киев, 1949. 5г. БогопюбогН. Н., Ивбравиые труды в трех томах, т. 2, Киев, 1970. 6г. Тпбпипгг С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
