Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Репса Н. Ьо Не1гаий Е., еопгп. СЬею. РЬуэ., 32, 269 (1959). 3. Еебетпе е. 5., Ренеиее О., Хопгп. МагЬ. РЬуэ., 7, 98 (1966). 4. Кас М., НЫепЬес)с 6. Е., Неттег Р. С., Уоигп. МагЬ. РЬуэ., 4, 216 (1963). ') Строгое доиаэательство этого результата см. в работе [ЗЬ Полное обсуждение одномерного варианта этой модели дано в работе (4Ь ГЛАВА 10 Неидеальный квантовый газ " д. тор Хаара УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ 10Л.
В задаче 1Л1 было рассмотрено вириальное разложение вида ри = Вг + В,р + Ьэра +.... Вириальпому разложению можно придать другую форму: рэ = Л7сТ (А + — -)- — + ... ), где А, В, ... — не зависящие от объема внриальные коэффициенты. Найти выражения для А, В, С через первые три коэффициента Ем Ем Еа. Решение Непосредственное разложение в ряд дает А= — В= — С= Е1 Е~ Е~ Е1Е1+ ЕэЕ* 11'аТ ' й"аТ ~ 11'аТ 10.2. Рассмотрим систему одинаковых частиц, описываемую следующим гамильтонианом: Н = На + Нм (10.2.1) где На и Нт имеют внд Н,= У (- —,"„Чэ), Н~ = — ,'~', Н (гы), (10.2.2) (10.2.3) а Ю.
мг Еаан Оераг$шеп1 о1 хпеоге11са1 РЬуясз, Оп1тега!гу о1 Ох1агй, Ох1он1. г) Дальнейшее обсуждевне см. в работе 11). причем гы = ( г; — гт !. Здесь т — масса частицы н г, - ее радиус-вектор (мы считаом частицы точечными и, возможно, имеющими спин); предполагается, что вааимодействия между частицами являются бинарными, так что Н, есть полный гамильтониан взаимодействия. Таким образом, мы пренебрегаем любыми трехчастичными 'взаимодействиями. Неидеав»ннй кванте«ай еаа Чтобы получить уравнение состояния, мы должны вычислить большую статистическую сумму Е = Вр ехр (аЛ«н — рН), (10.2.4) где р вновь обозначает 1ЪТ, а'р — парциальный тепловой потенциал р и У „— оператор числа частиц.
Практически гораздо удобнее работать с так называемым д-потенциалом 7 =1пЕ, (10.2.5) который удовлетворяет уравнениям (см. задачи 2.4 и 2.6, п. «в») я=рр (10.2.6) 1да ) (10.2.7) Пусть ер„— полный ортонормированный набор функций для системы из Л одинаковых фермионов. Это означает, что функции антисимметричны по отношению к перестановкам координат различных частиц. Введем теперь набор функций И'к (г„..., гк), определяемый выражениями И'„(г„,, гл) = Л! ,"'„ер„(г~) ехр ( — ()Нк) ер„(ге), (10 2.8) где обозначение Нл подчеркивает, что в системе существует Х частиц. [Сумма в правой части выражения (10.2.8) называется суммой Слзтера.) Введем величины И' (г;; г,') = ~ еув (г;) ехр ( — ~Ни) еуа (г(), (10.2.9) и Л (гб г,') =- ~, ф„* (ге) еуа (г';), (10.2 10) а й«а (гб г() = ~~ ~ ея ',, "ера(гш) 1ра(г;), (10.2.11) Р н где суммирование ведется по всем ЛЧ перестановкам Р» из Х значений 1 н где ер = +1 и — 1 соответственно для четных и нечетных перестановок.
В выражениях (10.2.9) — (10.2.11) функции образуют полный ортонормированный набор, не удовлетворяющий никаким условиям симметрии. Доказать, что 1) Итк Л( Ие (гб г1). (10.2.12) 2) И'(г~, 'г()=-ехр( — ()Н') Ь(гг, 'г,'), (10.2.13) где штрих у Н' указывает, что »тот оператор действует на «штрихованные» координаты г,', а не на г,;1 312 4"лаза 10 3) если Н, = 0 (т. е. в случае идеального ферми-газа), то ~~~~~ (г — гр;)з 1 40г(„(= ~т, ...,р~ — ', 1, (10244( 4'4 (40 р где ( 2[1яз )4!з (10.2.15) является длиной тепловой волны де Бройля, и яз(з)„з (10.2Л6) Решение 3) Заметим, что при правильном учете требований симметрии Л (г;; г() = Ь (г;; г';). В выражении (10.2.11) суммирование по н ведется по полному набору независимо от требований симметрии. В этом случае мы можем использовать соотношение полноты для 4[(„и записать вместо (10.2Л1) Ьз (г" г') = ~~ арП6(гр' — г]) 11 Р В случае идеального газа гамильтоииан Н задается выражением (10.2.2).
Зайисывая трехмерную 6-функцию Дирака в [виде 6 (г — г ) — —, ~ ехр [4 (]г г — г )] (1 й, имеем 'Ч "6 (г — г') = ) — —, ехр [1 (й г — г') ] (Лг; следовательно, 1 Г (г — г')з ( ехр( — рН0) 6(г — г') = — ехр ~— Оз Ь 44 .1 где из и Х определяются выражениями (10.2.16) и (10.2Л5). Комбинируя различные выражения, приходим к искомому выражению (10.2Л4). 10.3. Покааать, что приведенные выше результаты сохраняют справедливость для системы иа Л( бозонов, когда функции (э„ симметричны по отношению к перестановкам частиц и зр = 1.
Решение Доказательство строится так же, как в задаче 10.2. 10.4, Говорят, что Л0 одинаковых частиц образуют отдельные группы (кластеры) из Л(, и Л' частиц (Л'4 + Л'з = Л'), если частицы первой группы отделены от каждой частицы второй по крайней Неидеальный кеантоеый гае мере расстоянием В, причем Н (г) = О, когда г П и, кроме того, В >) Л. Исходя из задачи 10.2, доказать, что (г — г )г оо гг ре ге где суммирования по Р, и („а также по Рк и ь, распространяются соответственно только на первый и второй кластеры и где мы использовали тот факт, что эр = ер ср . г' Приведенные выше рассужения достаточны в случае идеального гааа.
Если же имеются взаимодействия, заметим, что в том случае, когда Л" частиц образуют два кластера, можно написать Нм = Нн, + Нл, или ехр ( — ()Ня) = ехр ( рНк,) х Х ехр ( — 1)Нк ). Учитывая этот результат, а также свойство факторизации величины И'№ приходим к соотношению (10.4.1) для идеального газа. 10.5. Показать, что функция ~Иг удовлетворяет уравнению Блоха дог'(гп г,') — Н И'(гп г,), (10.5.1) где Н действует на координаты г;, а не на гр Решение Из (10.2 13) видно, что И (г;; г;.) 1з=а = й (гб ге) иа следовательно, что И' (г;; г';; р) = ехр ( — (~Н ) И' (г;; г,'; 0).
Отсюда непосредственно', следует уравнение (10.5.1). И гг И №И не (10.4.1) Решение Доказательство состоит нз двух частей. Прежде всего заметим, что если Л" частиц образуют два кластера, то все члены, в которых к-я частица и Р)е-я частица относятся к равным кластерам, будут иметь множитель (гк — гр„)кМ в экспоненте. Отсюда следует, что этими членами можно пренебречь при ) г — гр„() .р В )) Л. Таким образом, З14 10.6. Доказать, что величины д и И'к связаны между собой соотношением е~а Г з ~~ Иг (. ) [зг лзг Решение Соотношение (10.6.1) сразу получается при использовании выражения (10.2.8).
10.7. С помощью результатов задач 10.5 и 10.6 доказат ., что в классическом пределе (Ь вЂ” ~ 0 или Л -~ 0) величина И'н стремится к величине И',, в классической теории. Из соотношения (10.6.1) и формул, приведенных в гл. 2 и 9, мы видим, что Ил =со ехр( — ~Н~). При доказательстве удобно ааписать И'к(г~) в виде (10,7.1) И'к(г;) =.
х ерехрд(г;; гьч) (10.7.2) где д (г„г,') = [п [ехр ( — рХХ') Ц Ь (г; — г[)). (10.7.3) 1 Решение Функция д удовлетворяет уравнению у=.,К в„К'а+,К ~ Ма %К) — На. Решение этого уравнения имеет вид д= — — „з ~ (г; — г,') — Ъ [поз — [УХ1+Степешюи ряд по —. рвз Первая часть этого выражения представляет собой решение при Н, -.— — сопзг. (Детали получения степенного ряда см. в решении задачи 10.9), В пределе Л вЂ” ~ 0 (илн и,— 0) следует сохранить в сумме по Р в выражении для И'л (г;) только член с тождественной перестановкой.
Более того, в атом пределе мы можем полностью опустить степенной ряд по ~й'!2ш. Следовательно, для И'и находим И'к -э- ехр [д (г;; г;)! -~- Л' ) и вз — [)Нг. 10.8. Ввиду того что уравнение состояния следует из (10.2.6) и (10.2.7), а соотношение (10.6.1) формально совпадает с классическим случаем [при замене выражения (10.2.8) для величины И'л на выражение (10.7.1)), в обоих случаях получаем формально одинаковые выражения для вириальных коэффициентов. Неидеааьный кеанкеоеый еае 315 Найти выражение для второго вириального коэффициента В для квантового газа. Решение Из кластерного (группового) разложения для уравнения состояния получаем 21оо В = ~, ] ]И 2 (Г1] Г2) И! (Г1) И 1 (Г2)! 1 Г!Ы 22] это выражение может быть записано в виде кое Г В= — —,' ) (2ехр( — рН;) 12(Г1, га, 'г,', г,')— Во — ехр ( — рН2" ) Л (г1, 'г,) Л (га; г,)],, 1222111222.
Заметим, что влияние квантовых эффектов и аффектов взаизюдействия в значительной степени переплетается друг с другом. 10.9. Разлояеить выражение для В, найденное в предыдущей задаче, в случае высоких температур в степенной ряд по л до членов порядка Й'. Решение Второй член в квадратных скобках легко найти, используя результат задачи 10.2, поэтому мы можем переписать выражение для В следующим образоме В = — ~ [1 — 2п,' (ехр ( — рН~ Л (г1, г;, г'„г',))],1, 21221ЮГ2.
Вводя координаты центра масс и относительные координаты, можно проинтегрировать по первым из них, что дает множитель о; в результате имеем В= — Ж ~ (1 — 1 (Г12~ р)]е]2212 1 -1 2 где У(г; Р) =2"оо ~ехр(Р— Ч" — Р(~) (б( — ') ~б( +г'))~, и где верхний (нижний) знак соответствует случаю бозонов (фермионов). Детальный вывод приведенного выражения рекомендуется провести читателю. Заметим, что уравнение для ~ (г; р) может быть записано в виде /(г;"р) =ехр (~ — "Ч2 — р0) 1'(г; О), так что величина ~ (г; р) удовлетворяет уравнению типа уравнения Блоха д1 ва — = — ~'1 — Н д]1 ое Глава 10 Введем функцию я(г; г'), определив ее равенством я(г; г ) = [в ~ехр ([3 — С7'з — ру) 6(г — г')); тогда имеем У(г' Р) = 2 ~вид(ехр [у(г; г)) ~ ехр [д(г; — г))); при этом величина д удовлетворяет уравнению эд вд .
лд — = — %аз+ — (дул тз) — У. ар Мы ищем решение для у(г; г') в виде д(г; г') = — — [п — — г', па[3". (г — ') д З 4дРЛ« 4дьг 2 ти а=« Подставляя это выражение в уравнение для л, мы можем его решить методом последовательных приближений и для д(г; г) находим К(г г)+ —.1 — — — ИУ+ — [ — — '7 У+ — ФП Юу)[+" 3 4д зад рдлд Г 1 д р Нам не потребуется выражение для д(г; — г), так как в интере- сующем нас высокотемпературном выражении для ехр [д (г; — г)) содержится множитель ехр ( — тг«1рдд)„приводящий к дополни- тельному множителю ив, которым можно пренебречь.
Окончательно находим для 1 (г; р) 1(г; Р)=ехР[ — РУ(г)) (1+ — [ — ~ ЧЧУ+ т (ЧУ 9У)[+...). Подставляя это выражение в выражение для В, получаем В = В„„+ л«В, -[-..., где В„, — классическое значение (см. аадачу 9.8, п. «гэ). 10.10. Разложить выражение для В, найденное в задаче 10.8, на две части: В„д, соответствующее идеальному квантовому газу, и В„,дд, содержащее квантовые эффекты и эффекты взаимодей- ствия. Доказать, что вторая часть может быть записана в виде зв/г Г З„ в бьдад В„,„д — — — Хэа "~~ (2[+ 1) 6, ) — „ехр ( — — ) «У«, (10 10 1) э где бс = 1(0) при четном Х и бс =- 0 (1) при нечетном(для случая бозонов (фермионов) и где т[ является фазой асимптотического решения радиального уравнения Шредингера — „, +[[«э — — „, У(г) — — ) Я=О (10.10.2) 1 0+1) ч 317 Неидеальный ивантввый гав И Н з[п[йг+2[([г, 1)), г-в-ао.
(10.10. 3) Решение Второе выражение (в задаче 10.8) можно переписать следующим образом: В = Вид + Внеид где ) [ехр( — РЖ )(2Л(г„гг; г'„г,')— Нрг 00 2р — Л (ггг г,) Л (гг гг))) ° г[~г,гргг В нд =- — — ' ) [(ехр ( — 6Н;) — ехр ( — РН )) ьг Хр2 Г 12> Х гг (гг, гг, 'г,', г')),. 2[гггг[вгг, г Путем простого вычисления приходим к результату Нрв В ИД 2512 в котором верхяий (нижний) знак снова соответствует бозонам (фермионам), Фактически более удобно записать Внеид в виде В„,н,= — — ' [Бр ехр ( — РНг) — Бр ехр ( — 6Н',")), или Нрг Внеид = — ~ ~~'г ехр ( дней) ~к~~~ ехр ( — низе ) 1, где зь (и еим) — собственное значение Нг (и Нг"). 1 Вводя координаты центра масс К= — (гг+гг) и относитель- 2 ные координаты г„, получаем сооственные функции для Н, и Й' В Виде гри(гб г,)=ехр~ — „(Р В)~ "' " 6гГг (ю), Рг зе = — + Е 4нг где аг = ггг/ггг, У~ — сферическая гармоника и 6, = 1 (0) при четном 1, 6, =0 (1) при нечетном 1 для бозонов (фермионов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
