Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 72
Текст из файла (страница 72)
<г».) Время релаксации га представляет собой время, необходимое для того, чтобы локальные отклонения от равновесного распределения 7, (т) передались путем диффузии всему распределению по скоростям, имеющему в пространстве скоростей протяженность порядка К Согласно задаче 17А, и. «б» и «в», первоначально локализованная нерегулярность распределяется за время «по области Перенос г гагам со средним квадратом ширины порядка 2Х)о~. Следовательно, 20,» а ж Г»г а. е. ж — ж —. е А»со«м» ' е) Для жестких сфер ер ж 1 рад. Следовательно, условие ер (( 1 не выполняется. По порядку величины, однако, (Обычно в релаксационном приблинсении принимается именно это значение га.] 17,9.
а) На атомы газа с функцией распределения по скоростям 7 (ч) действует однородная сила Г. Найти вызываемый силой Г результирующий поток атомов через единицу «поверхности» в пространстве скоростей на единицу объема реального пространства в единицу времени. б) Используя результат задачи 17.8, п.
«г», записать равновесную функцию распределения для гааа при температуре Т с плотностью частиц я, дви»кущегося с однородной средней скоростью ч ((( с). в) Газ, состоящий иэ атомов массой т, содержит несколько ионов той же массы, каждый из которых несет заряд е. Включается слабое однородное электрическое поле Е, и система приходит в устойчивое состояние, в котором нейтральный газ покоится при температуре Т н вием дрейфуют ионы. Какова функция распределения ионов по скоростям7 [У к а з а н и е: Использовать результат задачи 17.8, п. «в».) г) Вычислить среднюю скорость ионов и. д) Вычислить подвижность ионов р = и/Е.
Решение а) Под действием силы Г каждый атом приобретает ускорение ч = Г/т. Следовательно, искомый поток равен т7(ч) = —. 1(«) е' б) Искомая функция распределения получается путем перемещения начала координат в пространстве скоростей из нуля в точку ч, т. е. 7(ч) =сопэс.ехР ~ — ээг(ч — ч) ~, ээ-а»э« 450 ' Глава 17 при этом аначение нормировочной постоянной не изменяется, так как ') ~ (т) А' = ~ 1" (т) Ы (т — т) = и.
Такое преобразование справедливо при и (~ с. При больших значениях скорости и начинают сказываться релятивистские эффекты. в) В электрическом поле распределение ионов по скоростям 'отличается от равновесного максвелловского распределения, данного в задаче 17.8, п. «г», из-за существования потока, найденного в п. «ам Столкновения ионов с атомами стационарного газа благоприятствуют восстановлению этого равновесного распределения, приводя к возникновению потока, вычисленного в задаче 17.8, п. «в». Следовательно, полный поток равен (с учетом того, что В» = = ЗА') В стационарном состоянии полный поток равен нулю. Следователь- но, Для компонент скоростей ионов, нормальных к Е, это уравнение идентично уравнению задачи 17.8, п.
<г», и эти компоненты равны нулю. Для компоненты скорости иона и, параллельной Е, имеем Если электрическое поле мало, величина '!«Р» приближенно равна своему равновесному значению ЪТ~т (теорема о равномерном распределении энергии, задача 3.6). Следовательно, т. е. ти«еЕ еи 7 = сонз1 ехр ( — е»Г + з»Г ~«.» ) . г) Последнее выражение можно переписать в виде т(и — и)«1 7= сопз»'ехр ~— где еЕ« и= —.
Зтл»«а ' Перенос е еаеая Следовательно, средняя скорость дрейфа ионов равна еЕ« "=З»в»' д) ет Зе»А»~уа ' »7.10. а) Газ, состоящий из атомов массой т, не подвергающийся воадействию со стороны внешней силы, имеет функцию распределения по скоростям, зависящую от координаты г, т.
е. его средняя температура, плотность и скорость зависят от координат. Пусть ~ (т, г, г«) представляет собой функцию распределения по скоростям в момент времени г«. Найти функцию рспределения в момент времени ~п пренебрегая эффектами столкновений. б) Какое дифференциальное уравнение описывает скорость изменения функции распределения, если столкновения не оказывают на нее воздействия? в) Какова функция распределения 7 (т, г) в стационарном состоянии, если предполагается, что благодаря столкновениям в каждой точке устанавливается локальное равновесие7 г) Показать, что эта функция распределения не является в общем случае точным стационарным решением дифференциального уравнения, найденного в п.
«б». Когда она является приближенно стационарным решением7 д) Используя релаксационное приближение(задача $7.8,п.'«д») и дифференциальное уравнение п. «б», получить следующее более точное приближение для скорости изменения функции 7 (т, г, г): дг д7 1 — Ус — = — т — — — ° д« дг т« При каких условиях это приближение является хорошим3 (Уравнение, приведенное в п. «д», является приближением для кинел«ичесвозо уравнения Ба«ьцлана.
Уравнение в п. «б» имеет вид «бесстолкновительного» уравнения Больцмана ').) Решение а) Ксли пренебречь столкновениями, то атом, который в момент времени»с находился в точке г и имел скорость т, в момент времени ~, будет находиться в точке г' = г+ т (~, — го), по- прежнему обладая скоростью т. Так как число атомов сохраняется, то ~ (т, г', г,) ог' ~Ь = ~ (т, г, ~,) ст Вл, где й' — элемент объема в момент времени г„соответствующий элементу объема йг, существовавшему в момент времени г. Так «) Дальвейш«е обсуждение уравнения Больцмана и его авнровсинацвй вмсстся в юпнв Хуанга ПУ, гл.
5 в 6). ЯФ Глава 17 как скорость ч постоянна, то Ыг' = Иг. Поэтому (чр г + ч (Юг «о)~ хг) е«(ч1 ге «о) О б) Пусть «, — )о. Тогда уравнение принимает вид а) а) ч — + — =О дг д« т. е. д))д) = — ч (д)!дг); этот член всецело обусловлен свободным движением атомов с заданной функцией распределения. в) Если в каждой точке имеется локальное равновесие, распределение везде является максвелловским с соответствующими локальными значениями температуры, плотности и средней скорости.
Поэтому имеем е'(ч г) =во(ч г) и (г) ~2яЫ(г)~ ехр ( 2ьТ(г) ) г) В стационарном состоянии д)/д) = О. Поэтому ч ° (д))дг) = = О для всех ч, откуда др!дг = О. Функция, приведенная в п. «в», не удовлетворяет этому условию. Поэтому она не является стационарным решением дифференциального уравнения, но становится более точным приближением при д/)дг — ~ О, т.
е. когда уменьшается пространственная неоднородность. д) При учете влияния столкновений уравнение, полученное в п.' «б», принимает вид — — — ч — +( — ) а) д) а) Более точное приближедгие по сравнению с рассмотренным в п. «б» состоит в предположении, что второй член в правой части зависит только от отклонений от лонального максвелловского распределения Го (ч, г). Поэтому в релаксационном приближении а) а) ) — )о — = — ч — — —. дС дг Поскольку столкновения приводят к быстрому установлению локального равновесия на расстояниях порядка ) (средняя длина свободного пробега), такое локальное приближение является хорошим, когда функция ) (ч, г, )) медленно меняется на расстоянии порядка Х, т, е. прн др!дг -»- О.
17.11. а) Стационарный газ, состоящий иэ атомов массой т, при постоянной температуре Т ограничен стенкой в плоскости х = О, которая испускает с пост оянной частотой атомы примеси с той же массой»). Следовательно, существует установившийся гра- «) В дейстеигельиооти одномерная задача ие вмеет стациоиариого решения. — Прим.
ред. Переев« в еавах диент концентрации дп/дх, где п (х) — плотность чужеродных атомов на расстоянии х от стенки, везде малая по сравнению с полной плотностью частиц в гааз. Записать стационарную функцию распределения по скоростям 7» (ч, х) для прнмесных атомов, предполагая, что существует локальное равновесие. б) Вычислить поправку первого порядка к этому распределению, используя метод задачи 17.10, п. «д». в) Из п. «б» вычислить в первом порядке среднюю скорость атомов примеси. г) Из п.
«в» вычислить коэффициент диффузии П примесных атомов в газе. Сравнить результат с полученным в задаче 17.1, п. «в». Почему этот результат является более ценным7 Решение а) е"( ' ) ( ) (2.~Т/ ( 2 У/' (Заметим, что в этом приближении ч = 0.) б) Пусть ~г — функция распределения с поправкой первого порядка. Тогда из задачи 17.10, п.
«д» д/, 6 — /о ч — =— дг»е так как в стационарном случае д//д1 = О. В первом порядке производную д/,/дг в левой части можно заменить на д/»/дг. Далее Поэтому в первом порядке Евах да / — А= — '* — 1., а дх т. е. ~~(ч, х) = 7»(ч, х) ~1 — — ' — ) . в) 1 и = — ~ и,/~(ч,х)е(ч. В силу симметрии /в и„~ее(ч =О. Поэтому, используя теорему о равномерном распределении (задача 3.6), имеем »еда 1 Г, Е да —, «еатдп У = — — — — У 7»(Ж= — — — У п'дх п ) * а дх" тп дх' Легко убедиться, что е» = г, = О.
Глава йу г) Поток молекул в направлении л на единицу площади в единицу времени равен — «Чсу да или, по определению Р, Фа= — Р д" . Поэтому С другой стороны, так как и,,' ='~'»и», имеем 1 Р ееи« 3 Поскольку 1« ж т для атомов, рассеивающихся при столкновениях на большие углы, и и' ж (Мт)«, это выражение по сути дела совпадает с предыдущим, однако последнее выражение является более ценным, так как при его выводе принимается во внимание распределение атомов по скоростям и так как 1* в общем случае является хорошо определенной величиной, тогда как величина Х может быть определена точно только для атомов, взаимодействующих, как твердые сферы. 17.12. а) Гаэ, состоящий иэ атомов массой т при температуре Т, содержит небольшое количество ионов с той же массой, несущих эаряд е.
Подвил«ность ионов в газе равна ]с, коэффициент вэаимной диффузии .0 н плотность числа ионов в точке г равна и (г). Найти условие того, что средняя скорость ионов веэде равна нулю, если на газ действует электрическое поле Е (г). б) Считая, что ионы подчиняются классической статистике, покаэать, что еР ]« = где е« вЂ” постоянная Больцмана. ]Это так называемое соотношение Нернста — Эйнштейна ').] в) Применяя соотношение Нернста — Эйнштейна к реаультатам эадач 17.9, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
