Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 75
Текст из файла (страница 75)
б) Используя граничные условия, указанные в задаче 18.1, и приведенные в ней определения, мы можем теперь найти различные кинетические коэффициенты, выразив пх через интегралы К; и 6П 1) Проводимость определяется соотношением 1)р = — и =- = У„!Ч„(~lе) =- )3)Ч3 (1!е), где Ч, Т = Ч„Т = О. Прн Н, = 0 иэ выражений (18.2.7) ямеем 73 = езКзЧз (ь.'е) () = х или у), откуда чс (ь/е) т. зез Х(Н,)= „=(, .), '(,',. (18.2.12б) 30-0333 — = о =е'К,. 1 (18.2.11) Р 2) и 3) Этот расчет можно непосредственно обобщить на случай отличных от нуля полей.
Положим Ч„Т = ЧеТ =- 0 в выражениях (18.2.7а) н (18.2.7б) н Уз —— — 0 в выражении (18.2.7б). Это дает возмонгность УстРанить оДин из ДвУх гРаДиептов Чс фе) или Ч„(ь)е) в выражениях (18.2.7а) и (18.2.7б). Тогда находим (езлз)2+(езезП )3 (18.2.12а) езКЗ Геаеа 18 Т ( К "в) (18.2.13) 5) и 6) Приведенную вы1пе процедуру можно непосредственно обобщить на случай ненулевых полей. Положим Х = Уэ = = Ч„Т = О в выражении (18.2.7) и исключим Чэ ~Д(е) или Чх (ь(е) из полученной пары уравнений. Тогда сразу же находим а!77,) Чх(»(е) Ее (К1)'э — К,) К1+Яе Нее(С1ив — Се)С1 118 2 141 гхТ Т ((е»К1)»+ (е»С1ке)е) Э„(ь(е) ее(К С, К С ) гаТ Т1(е»К1)о+(е»С1Е1е)») (18.2.15) 7) Чтобы определить теплопроводность в нулевом поле, положим Ух = Уе = 'Ч„Т = — Н» = О и найдем хе = — Сх(ЧхТ.
Применяя граничные условия к выражениям (18:2.7а) и (18.2.10а), можно исключить иэ них градиент Чх (ь(е) и, таким образом, выразить С, только через Ч„7. Это приводит к выражению К»К1 — Ке Х = Х1+ Хе = К1+ 1 (18.2 16) (и, — вклад эа счет решетки). 8) Плотность носителей зарядов определяется соотношением л= з„» ~ 1«11»)г= — о ~ 1ой'«(й 3 о ~ ( д' ) й е(е: (18.2.17) о о 'о последний член в правой части получается интегрированием величины («й» по частим; член («йэ(Зя» обращается в нуль при подстановке пределов интегрирования. в) Чтобы оценить величины, перечисленные в п.
«б», введем подвижность и = ет(т и воспользуемся соотношением Ие(Нй = Ьой(т. Кроме того, воспользуемся приведенным в условиях задачи выражением для времени релаксации т = тое' 1(» = т„(кТ)"-»м эт '(1, где э = е(кТ. Затем определим новый интеграл переноса ее Е (8)и— м ~ К(и, Н, е) йо(е) ( — — о) Ие. (18.2.18) о 4) Коэффициент Зеебека определяется соотношениями а = (ь(е)(Ч,Т = Чэ (ьlе)(ЧэТ при Ха = Уо — — О. Поскольку мы опять полагаем Й, = О, то любое из выражений (18.2.7а) или (18.2.7б) дает Перенос е металлах Это позволяет записать следующие выражения: Зяте (1+итНв/ст? ' 1 Знтевс (1+ивНт/ст) Перейдем теперь к пределу исчеаающе малого магнитного поля. Подставляя выражения (18.2.19) в рассматриваемом пределе в выражения (18.2.11) — (18.2.17), приходны к ревультатам, приведенным в табл.
18.2.1. Таблица 10.3.1 Кинетические коэффициенты ( =.' '=. =- ') в (л Ь(и)т Т' "- Т' =Ь(1)) кинетический «оаээикиеит Зависимость от ь З , 0 (1) 1 е Ь (и) — Ь (и)= пе — =пеи Знв П (1) 1 А (ит) Ь (1) Зепс Ьв (и) — Ь (1) ий Ь (хи) Ь (ив) — Й (и) Ь (хит) ес Г.е (и) иаТ ( Ь(хти) Ьт(хи) ев ( )( Ь(и) Х,т(и) о (0) Л (О) сс (О) Л (0) и (О), вклад электронов Обозначение Х, (хи) введено для того, чтобы подчеркнуть, что в выражении (18.2.18) мы положили й =- еи(кТ, прежде чем производить интегрирование по е.
В классической статистике, когда — т) )) 1, имеем — д/о/де см ж (кТ) 'еие *, где и = (его/т) (кТх)" '~т, и интеграл переноса Л (йх') принимает вид А(и"х')=лт'„'Г ((-(-и (г — — ) + — ), (18.2.20а) где Г(д) — гамма-функция (Г= ) е"хо 'с(х) и а )ттс е" (2нткТ)нв ( сто )" (кТ)п1т-тпо (18 2 2()б) С учетом этих равенств и тождества Г (и + 1) = ~Г (и) результаты табл. 18.2.1 переходят в результаты, приведенные в табл, 18.2.2.
ЗОо Таблица 18.8.8 Кинетические коэффициенты ( — Ь(и) т Нс — »О, классическал статистика, и ы Ь (1) г' Кинетический коэффклиевт Выражение 2 ( 2лнэаТ ) пей ы 16лстт (2т) рэ (аТ)си д ечГ (г+ 2) с Зйэ с (О) 1 3 (/л Г (2г+ з/э) Яепс 4Гэ (г+2) — (г+ 2 — Ч) Яе си ( 1 ) 3(ггл 1'(2г+е(э) ес (2 ) 4 Гэ(г+2) аэ — Тс (0) (г+2) Я (0) а (0) э"1г (0) л (0), вклад электронов Кикетичесюгй коэффициент Выран ение Зч ( Т)э12 э/э (1 лэ 1 16леэ лтг(г+1) 1 (2щ) гэ( .Т) ! ю1~~ 1+ 1~ Зйэ Оц ай Глт(сГэ — г) 1 ес ( Зт) ктТс (0) лэ о (О) Л (0) ес(0) дг(О) х (0), вклад элвктроиов еэ 3 Таблица 18.8.8 Квиетические коэффициеиты (, Е (и) Н,-»0, вырожденная статистика, и эа — 1 †.(;) Таблица 18.2.4 Кинетические коэффициенты (Н вЂ” + сс) Кинетический коэффициент Эаиисииость от Ь е Ьг (1) Ьг (1) Злг Ь (и т) Ь (и) Ь (йт) Злг ЯесЬ (1) Хепс 0 Ое а [со) Я (сс) сс (оо) У (со) к (со), вклад электронов е с . работу (т).
Таблица 18.2.8 Кннетические коэффициенты (Н -+ оо, классическая статистика) Кинетический коэффициент Выражение (ОЛ6)л а (0) 1 Еепс 0 0 а (со) (3 — г) Г (2+г) А( ) а (сс) тт (сс) к (со), вклад электронов Кинетический коэффициент Выражение а (0) лг (г т( )г 1 Зт)г а (со) Зепс Н (оо) лг Яе 2ц 0 (-) )т' (со) К (оо), вклад электронов Таблица 18,2,8 Кинетические коэффициенты (Н, — + оо, вырожденная статистика) 470 Глава «а Для сильно вырожденных веществ, когда «) >) 1, удобно'восполь- зоваться так нааываемым приближением Бете — Зоммерфельда и представить Ь в виде Л(пах ) =Л/~т~«( 1+ —, л«д(д — 1) т) «+...), (18.2.21а) где А л (2таг) « / «то )", 7„и<~-уы у=/+в(г — —,)+ —,.
в (18.2.21б) (18.2.21в) 18.3. Задачи 18.3 и 18.4 дают возможность читателю попрактиковаться в оценке определенных кинетических коэффициентов, введенных в задачах 18.1 и 18.2, с использованием результатов измерений, выполненных в стандартных условиях. а) Однородный изотропный образец, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с размерами /, = 3 см, /« — = 1 см, 1, = 0,5 см, поддерживается при постоянной те»шературе и подключен к источнику тока.
Через образец в направлении оси х проходит ток 10 мА. Выводы, служащие для измерения напряжения, расположенные на расстоянии 1,5 см друг от друга, соединены с потенциометром, указывающим разность потенциалов 73 мВ. Вычислить удельное сопротивление и проводимость образца. б) Образец помещен в магнитное поле 25 кГс, направленное вдоль осн г. При токе 10 мА, проходящем в положительном направлении оси х, разность потенциалов в положительном направлении оси у равна — 85 мкВ. Вычислить величину коэффициента Холла, подвижность Холла и соответствующую плотность носителей заряда.
в) Какой проводимостью, р- или п-типа, обладает рассматриваемый образец7 Объяснить ответ. г) Описать источники экспериментальных ошибок и пути их минимизации. Индекс г, характеризующий тип рассеяния, возникает в этих выражениях из-эа того, что мы снова использовали соотношение и = (ег»/т) (кТх)' т/». Применяя (18.2.21) к результатам, приведенным в табл. 18.2.2, получаем табл. 18,2.3, г) В пределе очень сильного магнитного поля получаем результаты, приведенные в табл. 18.2.4, где мы применили выражения (18.2.19) для нреобраэовапия выражений (18.2 11) — (18.2 17).
Испольауя метод, описанный в п. «в», получим значения вышеуказанных величин в пределе классической статистики. Этп результаты приведены в табл. 18.2.5, а для случая сильного вырол~дения — в табл. 18.2.6. Перенос е металлах Решение а) Удельное сопротивление р определяется соотношением !см. (18.1.10)): теА ух сосо (18.3.1) ~х где А =- 1о1с — площадь поперечного сечения, перпендикулярного направлению тока, — ХՄ— падение напряжения вдоль оси х между выводами для измерения напряжения, Х вЂ” расстояние между этими выводами, Хх — ток и В, — полное измеренное сопротивление части образца, имеющей размеры Х,, сю 1,. Заметим, что величина 1„пе входит в расчеты.
Все используемые размеры изображены на фиг. 18.1.1. Подставляя значения Х = = 1,5 см, 1е - — — 1 см, с, = 0,5 см, Х„ = 0,010 А и ХХ =- 0,073 В, получаем р = 2,4 Ом.см, о = р ' = 0,42 Ом 'см е. (18.3.2) б) Коэффициент Холла В определяется соотноп|ением (см. (18.1.3)) ~„( —,') =— У„=ХХ,ВХ., (18.3.3) ~с ( — ~'е) В= (18.3.4) Подставляя численные значения 1, = 0,5 см, ХХе — — — 0,000085 Х х 10' ед.
СГСМ, Х„= 0,010 10 ' ед. СГСМ и Н = 25000 Гс в приведенную выше формулу и переходя в систему СИ, получаем для коэффициента Холла ~В~=17 см" Клт. (18.3.5) Применяя этот результат в выражении ) В ! = 1!ае, где и— плотность носителей, и учитывая, что е =- 1,60 10 "Кл, находим п= — = 3,7 10" см '. 1 ) .Н ) е (18.3.6) Подвижность и вычисляется с помощью соотношения о = лей, ( В ~ = 17пе, откуда й =Во=17 смз.КлтХ0,42 Ом~см~=7е1 сме.В ~с~.
(18.3.7) где ~7о (~/е) =— $~е — отнесенный к единице заряда электрона градиент злектрохимического потенциала ь, воаникающий в стационарном состоянии при разомкнутой в направлении у цепи, когда вдоль оси х течет ток плотностью Хх, а вдоль оси з приложено магнитное поле Н,. Запишем теперь е'е — — — — ХХсйю где — ХХо— падение напряжения вдоль оси у (фиг.
18.1.1), и положим Хх = = Х„)1„1,. Подставляя в (18.3.3) и перегруппировывая члены, получаем 472 Глава 1в в) При положительных Х и ХХ, величина ХХв отрицательна; это показывает, что потенциал в точке .4 на фиг. 18А.1 больше, чем в точке В, и что электрическое поле внутри обрааца направлено по оси у. Поэтому при стационарных условиях иабыточный положительный заряд накапливается в точке А, а избь1точный отрицательный заряд — в точке В. Но, согласно формуле Лоренца, сила, действующая на носитель ааряда, пе зависит от его анака и описывается выражением Р = 1 Х Н/с =-.
Х,ХХ,!с .— -- — Рю Если обрааец относится к я-типу, электроны будут двигаться в направлении поверхности А (фиг. 18.1.1); если образец относится к р-типу, в этом направлении будут двигаться дырки. Посл едпее положение согласуется с результатами наблюдений, показывающими, что положительные заряды собираются на поверхности А. Таким образом, можно сделать вывод, что образец относится к р-типу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
