Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Н!а)««тоге Х. Б., Бо1!й 3«а!е РЬу»1св, РЫ1айе1рЬ!в, 1969, р. 157. 4. Нотеакад С. А., Вес. Мой. РЬув., 26, 237 (1954). 5. Си«ага Л'., ТЬе Е)ес!г!св! зпй 5!взпе!!!с Ргорегйев о! Во1!йв, Ьопйоп, 1953. 6. Гим В. !)., Ноп-ежИИЬг1пш ТЬеппойупаш!св, Нег! УогЬ, 1962, СЬ. 3. 7. Ичмои А. Н., ТЬе ТЬеогу о! Ме!а1», ОвгпЪг!Йзе, 1954. 3. Ример Н. Н., ТЬе НаИ ЕИес1 впй Ве1а!ей РЬепошепа, )сопйоп, 1960. гллвА 19 Перенос в полупроводниках гтж. Хани г * ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 19.0. Чтобы войти в курс основных концепций, необходимых при решении задач настоящей главы, чнтателю рекомендуется ознакомиться с задачами 16.1, 16.5, 18.0, 18.1 и 18.2.
Кроме того, при решении задач настоящей главы могут оказаться полезными следующие краткие пояснения и комментарии. Полупроводники, как и металлы, характеризуются частично заполненными энергетическими зонами. Однако в металлах степень заполнения настолько велика, что при решении задач статистической термодинамики или теории переноса должна быть испольаована квантовая статистика (вырожбенная, или фермиевская). Ниже уровня Ферми лежат одна или более зон, так что даже при абсолютном нуле температуры металл остается проводником (во многих случаях при низких температурах возникает состояние сверхпроводимости). Напротив, степень заполнения энергетических зон полупроводников может быть столь малой„что в задачах равновесной статистической термодинамики (см.
задачу 16.5) или теории переноса превосходным первым приближением может служить классическая статистика. В этом случае уровень Ферми лежит внутри запрещенной зоны, так что при температуре, равной абсолютному пулю, все зоны либо полностью заполнены, либо совершенно пусты; поэтому при температуре 0 К вещество является диэлектриком. Будем различать примесные (несобственные) полупроводники (задача 16.5) и полупроводники с собственкой проводимостью (задача 16.1) прп температуре Т. В примесном полупроводнике ширина запрещенной зоны, отделяющей почти заполненную зону от почти пустой, значительно больше кТ, тогда как в полупроводнике с собственной проводимостью она сравнима с кТ.
В первом случае вещество было бы изолятором, если бы не влияние примесей (неизбежно присутствующих в любом веществе), играющих роль источника электронов или дырок. Механизм, прн помощи которого это происходит, рассматривается в задаче 19 1, о о". ог. ноше, Вераггшеаг о1 свеш1еСгу, Рагйое ушгегзну, ьа1ауеме, 1вй1ава. Глава 19 где на элементарном примере показано также, что носители заряда генерируются прнмеснымн центрами при очень низких температурах. Говорят, что примесный полупроводник относится к п-типу, если примеси обусловливают появление электронов в самой низкой незаполненной зоне, называемой зоной проводимости, и что он относится к р-типу, если примеси порождают дырки в самой верхней заполненной зоне, называемой валентной зоной. Полупроводник называется компенсированным, если оба типа примесей присутствуют примерно в одинаковых концентрациях. Когда величина нТ сравнима с шириной запрещенной зоны, становится возможным процесс теплового переброса электронов из верхней части валентной зоны в нижнюю часть зоны проводимости.
Как уже подробно обсуждалось в задаче 18.11 (см. также задачу 19.4), пустоты, оставшиеся в валентной аоне, могут рассматриваться как дырки. Поэтому полупроводник с собственной проводимостью следует считать веществом, в котором одновременно присутствуют носители заряда двух сортов. Некоторые из вышеизложенных концепций уже обсуждались в связи с задачами гл. 16.
В последующем изложении будут рассматриваться только зовы обычнеео вида: энергия е, отсчитываемая от границы зоны, квадратично зависит от волнового вектора 1ы (19.0.1) где .и — эффективная масса носителя заряда в решетке (см. введение к гл. 18). Далее, мы предполагаем, что формализм времени релаксации (см. !8.0 и 18.2) может быть использован и в задачах от ой гл азы. Определение различных кинетических коэффициентов дано в задаче 18.1. В задаче 19.7 рассматриваютсн полупроводники совершенно нного типа. В этом случае перекрытие орбиталей достаточно мало по сравнению с расстояниями между атомами в решетке, поэтому уже нельзя пользоваться представлением об энергетических зонах и считать, что носители заряда могут свободно двигаться внутри решетки.
В первом приближении скорее следует считать, что носители поноятся в определенных узлах решетки, и для того, чтобы они могли преодолеть энергетический барьер, отделяющий данный узел от эквивалентного соседнего узла, необходима определенная энергия активации е . Вещества, в которых проводимость обусловлена процеСсами диффузионного типа, называются веществами с прыленовым механизмом проводимости. Для того чтобы такой механизм был возможен, в веществе, конечно, должны существовать как избыточные носители, так и соответствуюшие незаполненные узлы. Пороков в полупроводниках 19Л. В настоящей задаче рассматриваются процессы, в результате которых носители зарядов переходят с прнмесных уровней в соответствующие зоны. а) Показать с помощью качественных рассуждений, что присутствие примесей мышьяка в германии превращает этот материал в несобственный полупроводник п-типа.
Показать, каким обрааом для оценки энергии, необходимой для генерации свободно движущихся носителей зарядов, можно использовать модель атома водорода. б) Оценить, в какой области температур следует ожидать полной ионнзации донорных примесей в германии. Указать, ограничиваясь моделью атома водорода, какие факторы изменяют зту область в решетках других полупроводников, например 91, 1п ЯЬ или ЕвТе. в) С помощью качественных рассуждений показать, что присутствие примесей галлия превращает германий в примесный полупроводник р-тяпа.
Показать, что для опенки энергии, необходимой для существования свободных дырок в валентной зоне, можно использовать модель атома водорода. Решение а) Мышьяк имеет на один валентный электрон больше, чем германий. Соответственно у каждого атома мышьяка, попавшего путем замещения в решетку германия, сохраняется один избыточный электрон, который не соответствует схеме связей в основной решетке.
При низких температурах избыточные электроны остаются локализованными в соответствующих примесных центрах. При достаточно высоких температурах происходит отрыв этих электронов; в результате они переходят в энергетические состояния, лежащие в пределах зоны проводимости, н свободно движутся внутри решетки. Отрыв символически можно описать уравнением Аз -+.
Аз+ + е, которое аналогично уравнению нонпзации атома водорода, внедренного в германиевую решетку. Примеси, генерирующие свободпыс электроны в зоне проводимости, называются донориььии прилоесями. В этой очень простой модели энергия,. необходимая для освобождения электрона нз примесного узла„определяется формулой Бора ('19Л.2) з2= 21 (19Л.1) где е — заряд электрона, й — = Ы2я, Ь вЂ” постоянная Планка, т„ — эффективная масса свободного электрона в германии (ш„ ж ж 0,25 лго), то †мас покоя электрона в вакууме и к = 16— диэлектрическая проницаемость решетки.
Поэтому можно написать мп Е2=ЕН вЂ” —, П22 Гла«а 19 492 где ен (ж13,6 эВ) — энергия ионизации атома водорода. Очевидно, что ег)ен е "/«и '/»»« — — ",,»»«, откуда для энергии ионизации Аз в Се получаем ' з, ж0,013 эВ. (19.1.3) б) В грубой модели, используемой в настоящей задаче, мы не делаем различия между разными ионами примеси в решетке германия. Таким образом, принимается, что все онн характеризуются энергией ионизации в пределах от 0,01 до 0,02 эВ, как зто установлено экспер»ьчентально для широкого класса примесей. Зги энергии соответствуют области температур 100 — 200 К. Можно ояшдать, что в указанной области большая часть примесных центров ионизована.
При переходе к другим типам решеток величины т„ и к изменяются, п область температур, при которых происходит полная иониаацня, также оказывается иной. Область температуры, в которой все примеси в основном нонизованы, но собственная проводимость еще не возникла, называется областью обеднения. в) Галлий имеет на один валентный электрон меньше, чем германий; поэтому, когда атом галлия путем замещения внедряется в решетку германия, в схеме связей основной решетки остается одна вакансии в расчете на атом Са. При низких температурах каждая вакансия остается вблизи соответствующей примеси, но при повьппеыных температурах вакансия может заполниться электронами с соседних связей.
Прн таком процессе вакантный узел перемещается в точку, в которой находился электрон, занявший его место. Затем другие электроны могут переместиться к месту расколов«ения перемещенной вакансии; в результате вакансия снова перемещается в противоположном электронам направлении.
Как было показано в задаче 18.11, отсутствие электрона в «море» окружающих электронов мо»кно рассматривать как полол«ительно заряженную частицу, называемую дыркой. Такой процесс символически описывается уравнением 6а -+ 6а + е+, где е»соответствует дырке, а Са — прпмесному узлу с одним лишним алек- троном сверх нормального набора из трех. Интуитивно ясно, что этот процесс подобен ночнзацви атома «антнводорода», внедренного в решетку германия, с образованием антипротона и дырки. Следовательно, в этом случае опять применимы соотношения (19 1.1) и (19.1.3) с заменой т„на тр.
Примеси, создающие дырки в валентных зонах, называются аяиепторными примесями. 19.2. а) Преобразовать стандартный интеграл переноса Ки определенный выражением (18.2.8а), для случая нулевого магнитного поля, зон стандартного вида и классической статистики. Получить выражение для К, через среднюю длину свободного пробега и индекс типа рассеяния г, введенный в задаче 18.2, п. «вю Перенос в полупроводниках 6) Используя интеграл переноса, найденный в п.
«а», выразить проводимость о твердого тела череэ 1) энергию Ферми и 2) плотность носителей зарядов. в) Испольауя выражения для интеграла переноса Ке, полученные в п. «а», найти вырансенпе для коэффициента Зеебека а. Решение а) По условию задачи сэ со=О с= — =— о де/ду ' 2ме Запишем теперь 1 == 1,«' (это соответствует формулировке т —— = т,е" — пе в задаче 18.2, п. «в») и 1о -се<э — епкт; причем э и р отсчитываются от соответствующей границы зоны, к — постоян- ная Больцмана и Т вЂ” температура. Тогда К. о еМкт ~ ес"" -е/ктс(е (19.2.2) эь»нт о Интеграл в этом выражении сходится к эначеншо (кТ)с+с+с х хГ П+ г+1), где à — обычная гамма-функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
