Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 81
Текст из файла (страница 81)
18.2.2, чтобы 33 — 8388 Глава 1к исключить (з,!кТ = — Ч, получаем ак — — — —" ~г+2 — 1п "", ), (19.5.1) к— 2(2ат кТ)нз где все обозначения определеяы в задачах 19.2 и 19.3. Используя (19.3.3), это выражение можно представить в виде к» ее 2 (кз (Л»е Л» )12)И~ а„= — — ( г+2+ — + — 1пТ вЂ” 1п к— 2кТ 4 (2ат„к)»з (19.5.2) Для дырок полагаем з( =— (е, — ь) кТ вЂ” (з,!кТ и действуем аналогично Это дает а„= — ( г+ 2 — 1п (19.5.3) б) При обычных условиях член е,»2кТ или е,'2кТ превосходит член з»з 1в Т; следовательно, в первом приближении график зависимости — а„или ар от 1»'Т представляет собой прямую лини»о с наклоном ее»2к или е»2к соответственно.
в) Очевидно, что в области обеднения и„= Л'е — Л'„тот же самый результат получается из выражения (19.4.6), если пренебречь и,' по сравнению с (Л»е — Л»,)з»4. Подставляя этот результат в (19.5 1), получаем выражение а„= — —" 1г+2 — 1п ~ ' ", + — 1п Т )~, (19.5.5) показывающее, что в области обеднения — ак зависит от температуры как '!з (к»'е) 1п Т.
г) Для полупроводников с собственной проводилзостью необходимо принять во внимание, что в процессе проводимости принимают участие как электроны, так и дырки. В соответствии с выражением (18.8.8) полный коэффициент Зеебека имеет внд а„с„+агар а= ок+ар (19.5.6) где кинетические коэффициенты с нижними индексами относятся к вкладам каждой из эон. Используя выражение (19.2.6) и анало- гичное выражение для дырок, получаем (а =— ок + ор) а= Г ок(г+2 — —,"Т )+ар(г+2 — рТ)~. (19.5.7) а = — ')г+2+ — "+ — 1пТ вЂ” 1п е 2кт 4 к Ьз 2(2ятркТ)»з-» ' ((»зер (а»» Л»е)/21 1з (19.5.4) "тр Перенос е попукрееодникох 499 Но пРи Ь = 1с,+ е, = е„— Ьс„отсюда следУет, что Р, = — Ьс, — ею откуда а = — ( (г + 2) (о„— о,) -(- о "Т + ар +~ .
(19.5. 8) В|экспо далее упростить это выражение; для этого рааделим выражение (16.1.8) на (16.1Л1). В результате приходим к соотношению —" = — 'ехр (19.5.9) п Л'о кТ которое можно разрешить относительно (р, — ро'1~пТ: з = — — 1п — "+ 1п — ""; (19.5.10) здесь использованы определения (19.4.2а) и (19.4.2б). Разрешим соотношение (19.5.10) относителысо р, и подставим результат в (19.5.8) или (19.5.7); это дает а= — — ~ (к+2+ — )+ — 1в — — -)п — ~.
(19.5.11) к Го„— орс, ои 1 3 т„1 п„с е (оп+оп( ' ' 2кТ) 4 тр 2 пр~' Рассмотрим теперь величину (Ь ае и„/ир) а„— ор п„и„— и ир Ьпп7пр — 1 (19.5.12) оп+ор ппип+ прир ЬппСп + 1' При подстановке в выражение (19.5.11) получаем а= — — ~ (к+2+ —,, ) + — '1в —" — -1п — "~. (19.5ЛЗ) к Г Ьппlпр — 1 еу с 3 т~ 1 пп с е ~ Ьпп/пр+1 2кТ ) 4 т.
2 и. Наконец, для полупроводников с собственной проводимостью, где ип = пр, полученное выше выражение принимает вид ' ~ь (к+2+,ь~ )+ 4 1п — "~. (19.5Л4) д) Коли можно пренебречь зависимостью Ь от Т, то, согласно выражению (19,5Л4), график зависимости — а от 1!Т представляет собой прямую линию с наклоном е Ь вЂ” 1 к 2к Ь+1 е 19.6. а) Показать, что закон Видемана — Франца (см. задачу 18.5) применим к примесным полупроводникам в пределе классической статистики, и получить выражение для числа Лоренца. б) Сопоставить значения числа Лоренца в случае применения классической и сильно вырожденной статистик для веществ, проводимость которых обусловлена носителями одной зоны. Обсудить относительный вклад носителей заряда и решетки в полный козф- 32» Глава 19 фициент теплопроводности примесных полупроводников и металлов.
в) Вывести общее выражение для вклада электронов и дырок в коэффициент теплопроводности полупроводника с собственной проводимостью, представив его как функцию однозонных коэффициентов теплопроводности, однозонных коэффициентов электропроводности и ширины запрещенной зоны. Считать применимой классическую статистику. г) Всегда ли полный электронный вклад в коэффициент теплопроводности твердого тела превышает сумму однозонных вкладов? При каких условиях этот полный вклад будет гораздо болыпе одноэонных вкладовр Решение а) При данных, указанных в условиях задачи, можно использовать последнюю строку табл. 18.2.2: х,=( — ") Т(г+2)о, (19.6.1) откуда непосредственно следуют вывод о применимости закона Видемана — Франца и выражение для числа Лоренца (19.6.2) ув=мв+яр+ ( ) (2(г+2)+(+) 1 1 (19 6 4) где ез = зв — е,.
б) Полагая г = 0 и подставляя значения чисел Лоренца для двух предельных случаев, определенные выражениями (18.5.1) и (19.6.2), получаем ~ = 1,49 10-зВ'К-' (классическая статистика), (19.6.3а) Я = — 2,45 10 зВ' К з (вырожденная статистика), (19.6.3б) где было использовано значение к/е =- 86,4 мкВ К-~, В обоих случаях однозонпые коэффициенты теплопроводности, возникающие иа-за циркуляции носителей заряда, пропорциональны соответствующим коэффициентам электропроводности„значения последних для полупроводников и металлов различаются на много порядков.
Напротив, решеточная теплопроводность полупроводников мало отличается от решеточной теплопроводностн металлов. Следовательно, в качестве грубого эмпирического правила можно принять, что в случае металлов электронный вклад в полную теплопроводность превышает решеточный вклад, а в примесных полупроводниках наблюдается противоположная ситуация.
в) Воспользуемся выражением (18.8 11), в которое подставим выражение (19.2.6) и подобное выражение для дырок; это дает Перенос е кохуироеоднинах г) Так как последний член в правой части выражения (19.6.4) положителен, коэффициент амбиполярной теплопроводности н, всегда превосходит сумму однозонных вкладов н„+ нр. Если 1) ар и пн велики, 2) температура является высокой и 3) значение зеlкТ велико, величина и, может стать гораздо больше суммы нн + нр.
19.7. Рассмотрим физические характеристики твердых тел, в которых перенос электронов производится при помощи прыжкового механизма, о котором говорилось выше (см. 19.0). а) Исходя нз обобщенной формы закона Ома (задача 18.1, п. «б») н пз уравнения (18.1.1) для электрохимкческого потенциала, вывести для невырожденного вещества формулу Эйнштейна, связывающую коэффициент диффузии частиц с нх подвижностью. б) Найти коэффициент диффузии частиц, локалнзовапных главным образом вблизи узлов решетки, но способных переходить в эквивалентные сосодпне узлы вдоль опеределеш|ого заданного направления, выразив этот коэффициент через постоянную решетки Ь и частоту т попыток перескоков.
в) Получить выражение для коэффициента злектропроводности твердого тела, в котором избыточные носители зарядов могут двигаться между эквивалентными узлами решетки за счет процесса диффузионного типа, характеризуемого определенной энергией активации. Получить в явном виде зависимость от температуры. г) Кратко обсудить зависимость коэффициента злектропроводности, найденного в и. «в», от температуры при фиксированном числе избыточных носителей и от плотности избыточных носителей при фиксированной температуре.
Пояснить физический смысл результатов. Решение а) Как укааывалось в задаче 18 1, п. «б», закон Ома в обобщенной форме записывается следующим образом: Ю = ач" К/е), где Я вЂ” плотность тока, а — проводимость, «7 — оператор градиента, е — заряд электрона и Ь вЂ” электрохимический потенциал, определяемый выражением (18.1.1). Теперь подставим в соотношение ь = («„— еф, стандартное термодинамическое выражение [3 — 61 для химического потенциала (19.7.1) д = 1«о + кТ 1п а„, где к — постоянная Больцмана, Т вЂ” температура, а, — активность электрона и )«о — химический потенциал для стандартного состояния.
Тогда закон Ома можно записать следующим образом: Ю=аЧ( —,)» и ( — Ча,— 'уф*) = — ее„, (19 7 2) 502 Г.аааа 1д где в правую часть мы ввели поток частиц Л„= — Л!( — е). В от- сутствие внешнего электростатического поля уравнение (19.7.2) принимает вид ааТ Л =- — —,17а . еэа„ (19.7.3) Приведенное выражение можно сравнить с законом диффузии Фика, записанным в форме Л == — Р~ а„, где Р— коэффициент диффузии.
Сопоставление этих двух соотношений показывает, что Р= —, оаУ аеэа Записывая проводимость о как а„еиа, где и„— подвижность, получаем формулу Эйнштейна для коэффициента диффузии Р="™. (19.7.5) (19.7.4) Полное изменение плотности носителей в плоскости х за время д8 пропорционально разности между полным входящим потоком и полным выходящим потоком, которая в свою очередь определяется вероятностным множителем, выведенным ранее. Таким образом, Юп (х) =- сИ (п (х + Ь) + и (х — Ь) — 2п (х)) 6 (1 — В) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
