Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Соответствующие собственные значения нельзя интерпретировать как внутреннюю энергию— этот случай следует рассматривать иначе. (Дальнейшее обсуждение см. в задаче 22.$.) 20.2. Применяя полученный результат, найти среднеквадратичную флуктуацию и относительную среднеквадратичную флуктуацию энергии: а) гармонического осциллятора (удобно выбрать энергию основного состояния равной нулю, чтобы нулевая энергия не входила явно в полученные выражения), б) набора из Х одинаковых гармонических осцилляторов, в) невырожденного идеального газа нз Л частиц в сосуде с фиксированным объемом; все системы предполагаются находящимися в тепловом контакте с реаервуаром при температуре Т. В случаях «а» и «б» рассмотреть вид результата в высокотемпературном пределе.
Решение а) Для осциллятора с собственной угловой частотой «оо имеем Е, = глооо (г = О, $, 2, ... ) и из канонического выражения для р, находим "мо ех (ь ~от) =о оик что о уо ~~' о ехр (Вмо)И"~ аг ( о) (е (Воо дот) — 1)о ' Для среднеквадратичной относительной флуктуации ЛЕ/Е имеем Ео Выражая правую часть через Е, находим "ооо — =(+= Е Флуктуации энергии и числа частиц При высоких температурах (йТ )) Ьсеэ) эти результаты принима- ют вид К=йТ, АЕа (/д )э аЕэ — = 1. Ее Заметим, что при возрастании средней энергии относительные флуктуации стремятся к единице, а не к нулю.
б) Обозначим череа Ек анергию Х осцилляторов и через Е1 энергию одного из осцилляторов; тогда из полученных выше результатов для Е, имеем Ек = ДгЕ! ЬЮ 1 ЛЕг 1 ( ачгэ 1 Ек гч Е~г гч 1 Е Заметим, что если Х велико, то относительные флуктуации малы. Это согласуется с требованием, что относительные флуктуации энергии макроскопической системы, находящейся в контакте с термостатом, должны быть малыми в соответствии с опытом. в) Из теоремы о равномерном распределении (задача 3.6) сразу же можно написать для невырожденного газа Е = — М*кТ. Отсюда следует, что ЬЕэ 2 1 Еиа 3 Л' Снова отметим убывание относительных флуктуаций с ростом гч'.
20.3. Применяя модель Дебая, найти температурную аависимость относительных флуктуаций колебательной энергии кристалла с фиксированным объемом в случае низких температур. Определить температуру Дебая, при которой корень из относительных среднеквадратичных флуктуаций равен 1% для 10 э грамм-молекул одноатомного кристалла.
510 1'лава ЗО Решение Для з грамм-молекул теплоемкость при постоянном объеме в модели Дебая описывается выра>некием '= (-"") ( — ) где Π— температура Дебая и Л вЂ” газовая постоянная. Соответствующая энергия равна т Е= ) СидТ=з( — ЯЛ) 4 з з Поэтому имеем ЛЬ атзС. 15 Е ~ 15 Е з Яз Я2 (13 4й ) ( Х / (12 ) ( 1' ) где Л' — число Авогадро. Полагая ЛЛ~/Ез = 10 ", з = 40 4 и У = 6 ° 1022, находим — ж2 10'. 6 Использованное для С„выражение можно связать с результатом з (4/15) лзи(езТ4 Чз 1 тепл— 4=1 (см. аадачу ЗА1, п.
«г»), если з 1 ч 13 ~! ав аво в=1 Тогда Е ' п4Лз (415) лзи(езтв 3 "в'4 еепл азав 5 ез прн условии, что ЙО=( — — ) Ьа Величину Лз114 можно интерпретировать как число атомов Л' в кристалле. Эта формула определяет тезшературу Дебая О кристалла.
20.4. Вывести для канонического ансамбля следующий результат: ЛЬа=йт " а7* исходя иэ общего выражения для среднего значения наблюдаемой величины А (соответствующий оператор также обозначим через А) А = Яр (рА), Флуктуации энергии и числа частььц 511 где х) Р= ах р ( — «/ЬТ)[ Яр [ехр ( — Н/ЬТ)) (Н вЂ” гамильтониан). Решение Имеем Е=-Й= Й Яр [ехр ( — Н//сТ) Н) Яр [ехр ( — Н/ЬТ)) Входящие сюда операторы представляют собой либо гамильтониан Н, либо функцию от Н; следовательно, все опи коммутируют, и поэтому мы можем выполнять обычные действия. Таким образом, ь(Е 1 Яр [ехр ( — Н//сТ) Нх) 1 (Яр(ехр ( — Н//ьТ) НВе ь(Т ЪТх Яр[ехр ( — и/ЬТВ Запишем выражение для Е' — Яр [ехр ( — Н/ЬТ) Н'] Яр [ехр ( — Н/ЬТ)) ЬТх [Яр [ехр ( — Н//ьТ)))е и выражение для Е, приведенное выше; тогда, сравнивая выраже- ние ЛЬ' = Е' — Ть' и выражение для оьЕ/ь)Т, получаем искомый реаультат. ехр [ — (Е, — (ьнс) //сТ) Рг= ~Е ЕХр [ — (Е, — дн,)/ЬТ) г Вывести следующие результаты для дисперсии числа частиц и и энергии Е (средние значения и и Е в производных обозначаются через п и Е) х): Ьнт=/еТ ( — ) а) с) Оператор р обычно называется статистическим оператором.— Прим.
нерее. х) для макросяопяческой системы ето следует понимать как отождествление и и Е с равновесными термодпнамяческвмя значениями н н Е. В применении к мвяросковическвм системам величавы. н л Е следует вамеввть на н и Е. 20.5. Система с фиксированным объемом (или с нулевым давлением) находится в контакте с термостатом при температуре Т и резервуаром частиц, с которыми она может обмениваться частицами одного сорта; химический потенциал таких частиц в резервуаре равен [ь.
Вероятность г-го квантового состояния системы (с числом частиц ис и энергией Е„), которую мы обозначим через р„, в большом каноническолг ансамбле (см. задачу 2.4) описывается выражением 312 Глава ЯО б) АЕАи /сТ( д ) в) АЕе /Те ( д~г +/Т (дЕ) гйналогично флуктуациям энергии и числа частиц можно определить флуктуации температуры системы сгТ. Используя термодияамическое соотношение, связывающее тегшературу с энергией и числом частиц, показать, что г) А ЕА Т = )сТа, д) АиАТ = О. Решение а) Продифференцируем выражение для и ~~~ ~иг ехр! — (Ег — )гпг)/пТ) г и= ~~ ехр [ — (и,— )спс)//сТ) г по )г при фиксированном значении Т; это дает (в производной замепяем и на и) ~к~ ~пс ехр [ — (Е, — ггпг)|//сТ) ( )- дп) 1 г д)с /т /сТ ~~ ехр[ — (Š— )сп )/ЬТ] Ч~~ ~п„ехр [ — (Š— )сп )/ЬТ) 11," 1 — — 1 — (и' — и') = — Лгге.
/сТ ~ Яехр [ — (Ь'„— )гпс)//сТ) /сТ /сТ б) Аналогично дифференцирование выражения для Е У. Ь'„ехр [ — (ń— рп )//сТ) Е г ~ ехр [ — (Е, — рпс)//сТ) по р при фиксированном значении Т дает Ч~~ ~Е,п, ехр [ — (ń— )гпг)//сТ) ( ) /с дЕ ) ~~~~ ехр [ — (Е, — )гпс)/'пТ) ~' Ег ехр [ — (Е, — рпг)/ЬТ) ~~~~~ п, ехр [ — (Ес — рп,)//сТ) г ~~~~~ехр [ — (Е, — )спс)//сТ)) ~~р~ ехр [ — (Е, — рпс)//сТ) 1 1 /сТ /сТ = — (Еи — Еи) = — (Š— Е) (и — и) — АЕАи. /сТ Флуктуации энереии и чиеаа частиц в) Дифференцирование приведенного выше выражения для Е по Т при фиксированном р дает совершенно аналогичным образом (-)-- дЕч 1 з ат) = —,, з(Е(Е рп) Е(Е )зп)) тз(Е де еа — Р(Еп — Еп)) = тз (езп' — РЛЕезп)„ и Объединяя зто выражение с выражением для ЛЬ'~п, полученным выше, приходим к искомому результату. г) Выразим коэффициенты в формуле для ЛТ через ЛЕ и Лп и запишем их в удобной форме ЛŠ— ТКИ+)зЛп — Т ( — ) Ьт+~ Т ( — ) +)з~бп— =с„ет+~тЯ) +д1 б, где ф— теплоемкость прн постоянном значении и.
Отсюда лт= +ле — Ят ( — ',~ ) + р) л . Следовательно, КЕЙТ вЂ” — (ЛЕ ) Т ( — ) +)з) ЬЕЬп)— Можно показать, что последнее выражение„стоящее в квадратных скобках, равно С„. Величина С„в свою очередь равна Т (дБедт)ч. Действительно таз=аŠ— рап=( ,')) ат;(',Е) ар ра = Теперь легко получить искомое выражение для С„: за-оззз 514 Глава ЯО гдемы использовали соотношение (дЕ/дп)т = — (др/~дТ/„, которое можно вывести на формулы д(Š— ТЯ) =- р ои — Я е[Т. д) Используя полученное выше выражение для ЛТ, находим ЬпЬТ= С (ЬпЛŠ— [Т( д ) +р)Лп~(= Эта величина равна нулю, поскольку в силу соотношения ЫŠ— Т е[Я вЂ” р пп = 0 имеем )(д)+)(д)~)Г))дТ))(дТ) так что ( ' ) т ( ',~ ) + р ( — '," ) . 20.6.
Используя полученный результат, найти дисперсию числа ааполпения для одночастнчного состояния в случаях, когда частицы подчиняются статистике Ферми — Дирака и Бозе — Эйн- штейна. Решение Будем считать, что система, рассмотренная в предыдущей задаче, находится в интересующем нас одночастичном состоянии, и предположим, что энергия такого состояния равна е.
В случае статистики Ферми — Дирака 1 ехр [(е — р)/ЙТ) +1 Так как система является микроскопической, в частных производных величина п должна быть заменена на и (см. примечание к задаче 20.5), Тогда — / да ') ехрЦе — р)/ЙТ! — -х ! др l т ' [ехр [(е — р)/ЙТ)+1)е В случае статистики Бозе — Эйнштейна ехр [(е — р)/ЙТ! — 1 и поэтому — / да ) ехрйе — )х)/ЙТ! 1 др /т [ехр[[е — и)/ЙТ! — 1)з 20.7. Пусть в рассматриваемой системе частицы могут обмениваться энергией с окружающей средой, но не взаимодействуют 515 Флратраиии г ергии и числа частиц друг с другом, а температура достаточно велика для того, чтобы можно было использовать исправленный классический подсчет состояний (см.
задачу 3.4, п. ава.) Показать, что в этом случае дисперсия числа частиц удовлетворяет распределению Пуассона, и проверить выражение для Лг, получающееся,из сравнения со стандартным видом распределения Пуассона. Решение Обозначим одночастичную статистическую сумму через зы так что =Хехр( — а' ), е где з — число одночастичных состояний п е, — энергия з-го одно- частичного состояния. Еслл г — число состояний всей системы, а энергия и число частиц в г-и состоянии равны соответственно Е, и Л'„, то вероятность Р (Л!) того, что в системе находится Л! частиц, равна Р (Л') С ~ ~ехр [— где обозначения показывают, что суммирование производится по всем состояниям (т.
е. по всем г), для которых Л', = Лг. Нормировочная постоянная С равна обратной сумме по всем состояниям (всем г). Вводя обозначение Х,. для канонической статистической суммы системы, состоящей точно из Л частиц, получаем Р(Л!)= Сехр(~~ ) Е~=Сехр(-~-) —,,! . Это выражение имеет вид ул Р(Л) =С вЂ”" !т! где "=- (Ф)' и нормировка дает С = ехр ( — Лг), так что распределение является распределением Пуассона 7гк Р (Л!) = ехр ( — Л!) — . гу! Мы можем вычислить Л' непосредственно, записывая Л' = ~~Р л„ где и, — число заполнения а-го одночастичного состояния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
