Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Если Х вЂ” классическая переменная, связанная с изолированной системой, то вероятность р (Х) ИХ того, что значение этой переменной лежит между Х и Х + ЫХ, задается соотношением р(Х) — ехр ( — ~, где Я (Х) — энтропия системы, в которой переменная имеет значение Х. С помощью этого результата показать, что для изолированной системы где Š— приложенная извне обобщенная сила, сопряженная с данной переменной (см. аадачи 21.1 и 22.6).
(У к а з а н и е: Нужно разложить энтропию с точностью до квадратичных членов по ЛЕ и ЛХ вблизи энергии Ее и равновесного значения Хе переменной, сопряженной с энергией Ее. Показать, что коэффициенты при ЛХ, КЕ и — /ъХ' равны соответственно нулю, 1/Т и '/е/е/ ЬХ'. Чтобы найти соотношение между Р и еъХ, следует предположить, что сила Г приложена обратимьпа образом.
Это означает, что энтропия остается постоянной и что (для малых Р) приращение энергии ЛЕ будет равно г/,ЕЛХ. Отсюда сразу же следует искомый результат.) Решение ' Поскольку приложенная сила Е пропаводит работу над системой, внутренняя энергия Е изменяется от начального значения Е,; следовательно, мы должны рассматривать энтропию как функцию от Е и Х, т.
е. Я (Е, Х). Разлагая эту функцию вблизи Е, н Хе (равновесное значение Х при г' = О), получаем, сохраняя только члены до второго порядка вклгочительно, Е (Е, Х) = 5 (Ео1 Хо) + АЛЕ+ ВЬХ вЂ” — (СЬЕа+2РАЕАХ+6АХа). При Е = Е, (ЛЕ = О) энтропия имеет максимум при Х = Хе (ЛХ = О); отсюда следует, что В=О. Далее, где мы воспользовались по аналогии с уравнением бе,е = ем/ + р сЬ (задача 1.5) уравнением Те(Я = е(Š— )гдХ. 530 Гааза 22 Пусть Р = О; тогда имеем и ЛЕ = О, и иа полученного выше соотношения между вероятностью и энтропией следует, что распределение вероятности р (Х) для величины Х будет пропорционально ехр ( — '/з (6%) ЛХЧ.
Сравнивая это выражение со стандартной формой нормального (гауссова) распределения ехр ( — АХИ ЛХ~), получаем Когда сила Р не равна нулзо и предполагается, что вызываемое ею изменение обратимо, то ЬЕ = 2РЛХ и энтропия аадается с точностью до членов второго порядка по малым величинам Р и ЛХ соотношением Ео+ РАХ ЛХ) Я(Ео Хю)+ 2 т ЛХ СЛХ е Так как процесс обратим, энтропия должна остаться равной своему начальному значению Я (Е„Х,); следовательно, Поэтому при Р = О получаем что представляет собой искомый результат. 22.5. Предположим, что энтропия Я является функцией совокунности классических переменных Х„Х„..., Х„, которые в состоянии равновесия (т. е.
когда энтропия максимальна) мы поло,"ким равными нулю. Поэтому 1 Я=Ба — — ~~ а„„Х,Х„ 2 ив где сохранены только квадратичные члены и квадратичная форма ~ а„Х„Х, является положительно определенной. ю,в Определим силу Рьч соответствующую каждой переменной Х„, при помощи соотношения дд ч~ — ~'1 лмХм дХ„ Гла«а 39 Решение Вспомним, что обобщенной силой, сопряженной с объемом э, является — р. Тогда, используя общие результаты задач 22.4 и 21 1, запишем дисперсию для двух рассматриваемых случаев: а) б) Таким образом, флуктуации в двух рассматриваемых случаях зависят соответственно от адиабатической и наотермической сжимаемости. Флуктуации объема, обусловленные флуктуациями энергии, могут быть определены следующим образом: Поэтому мы имеем (йеа)т =(й«л)э+ МР прн условии т.
е. мы пришли к стандартному термодинамическому результату. [Так как адиабатическая сжимаемость К, = Кэ равна (1!э) (ди/др), (см. аадачу 1.4), это термодинамическое соотношение имеет вид а⫠— Кэ = 2 и —, в где ар — коэффициент объемного расширения. Последнее соотношение выводится в задаче 1.8, и. «б».) ОБЩИИ РАБОТЫ 1*, Кубо Р., Статистическая механика, над-во «Мир», 1967, гз.
6. $1*. Ммн«я«ер А., в сборнике «Термодинамика необратимых процессов», ИЛ, 1962. гллвл 23 Зависимость флуктуаций от времени. Корреляционные функции, спектральные представления, соотнотпения Винера †Хинчи К. Мак-Кояоби * 23.1. Рассмотрим флуктуирующую величину у (1) (например, отклонение подвешенного зеркала, испытывающего броуновскив флукгпуачии, компоненты скорости диффундирующей частицы и т. п.) со статистическими свойствами, не зависящими от времени. Будем предполагать, что средние по времени п средние по ансамблю равны.
Полагая йу (1) = у (1) — у, определим короеляииониую фуккиию фо (т) соотношением фо (т) = Лу(1) йу(1+ т), из которого сразу же следует, чтоф„(0) =Луо и ро (т) =- ф, ( — т). Будем считать, что существует время т„такое, что при ! т ~ ) т, корреляция фо (т) становится пренебрежимо малой. Предполагая Я )) т„показать, что среднеквадратичная флуктуация величины ) у (1) й относительно ее среднего значения о равна 2Я~зро (т) о(т. о Решение Флуктуация ~ у(1)г11 — ~ у(1)г(1 относительно среднего знао о в чения, очевидно, равна гъу (1) о(1. Позтому для искомого о С.
1у. МоСота1е, 3. 1. ТЬошроов РЬуо1са1 ЕаЬотагогу, 11в!тега11у о1 Коаб1ва, Коай1вд. 534 Глава уз среднеквадратичного значения имеем (3 з ° Б з 8 8 ( ~ Л р р) бс) = ~ ~ йр <с) йр Оь) )Т, М, = ~ ~ др <~) ду ю,)с, асю о о о о о После замены переменных т = сс и т = ~з — сс это выражение принимает вид з з — с ) (и ) ()сз ~т) сст. о -с Предположим, что как с, так и Ь' — с больше т, (поскольку Я > т„ это предположение справедливо всегда, за исключением пренебрежимо малых интервалов значений с в области между О и Я).
Тогда можно расширить область интегрирования по т от — оо до — 'оо, не иззсенив значения последнего выражения. Таким образом, 8 В ~Ю () лв(с(в) =) а ) в ( )в =-в ) В ( (в =(в) Ф ( (в. о — вв о 23.2. Пусть корреляционная функция для положительных т пропорциональна макроскопическому (т. е. без учета флуктуаций) закону затухания начального ненулевого значения исследуемой, 'величины до нуля ') (начальная скорость изменения атой величины, если это необходимо для однозначного определении макроскопического закона затухания, выбирается равной нулю). а) Используя зто предположение, определить корреляционную функцию прп температуре Т для х-компоненты скорости т частицы с массой т, движущейся в такой среде, что сила, препятствующая ее движению, равна — кт. б) Найти корреляцнонну:о функцнсо для отклонения О подвешенной системы с моментом инерции ), подвергающейся действшо демпфирующей пары сил — уО и возвращающей пары, 'сил сО.
Пря этом считать, что демпфирование менюпе критического. Решение а) Макроскопическое уравнение движения имеет вид ток+ х((„= О. ') Кзк можно показать с помощью общих соображений или (з частном случае) путем подробных вычислений (задача 24.1), сделанное здесь предположение о макроскопнческом затухании корреляционной фунсщнн эквивалентно предположению о том, что флуктуации можно рассматривать как результат действия флуктуярующей силы с временем корреляции тв, которое пренебрежямо мало но сравнению с масштабом времени макроокопнческого затухания.
Заеисиместь яаукксуация аес времени Его решением является гк (С) = о (0) ехр ( — — ). Поэтому для положительных значений т корреляционная функция пропорциональна ехр ( — кт/т). Поскольку сре (т) = = Ф, ( — т), приходим к выра>кению ьр„(т)=Аехр(- ~~~ ). Но А = ф„(0) и, согласно полученному вь1ше результату, ср, (0) =— = нк. Из теоремы о равновеерном распределении имеем "1 тсс = '/енТ, поэтому ис = 1аТ1т. Таким образом, ср, (т) = — ехр ( — — ) .
у к(т! ек сп lп б) Макроскопнческое уравнение двиясения теперь имеет внд 18+уВ+с8 =О. Его решением при 8 (0) = О, как легко найти, является функция В(у)=8(0)ехр( — ря) (созв'ю+ —,з1пв'8), где () = 2~21 и в' — — (41с — уа)МЧ21. Отсюда получаем выражение для корреляционной функции сра (т) = — ехр ( — р ( т ( ) ( соз в' ) т ) + —, з1п в' ( т ) ) . е7 23,3. Используя результаты задач 23А и 23.2, п. «а», определить средний квадрат смещения х за время Я частицы, движущейся прп температуре Т в среде, в которой ее подвижность равна Р (=ге~"х). Объединяя этот результат с решением уравнения диффузии р(г, с)=п(4яйа) '~еехр ( — —,) для и частиц, находившихся в момент 1 = 0 в начале координат, определить соотношение между подвижностью (ь и коэффициентом диффузии Й.
Решение Так как х-компонента смещения за время Я свяаана с х-компонентой) скорости соотношением 6 хз= ) пк(с) Й, а имеем хе=(~ и (г)й)) =28 ~ «р(т)Ыт, е о где «р (т) — корреляционная функция для оа. Поскольку Р„= (1/(«) и„, мы видим, что величина 1/р, играет. роль декремента затухания к. Поэтому, используя реаультат задачи 23.2, п. «а», получаем Интеграл от этого выражения от О до оо равен («йТ, так что при- веденное выше выражение для ха принимает внд Воспользуемся теперь приведенны»«в условиях задачи решением уравнения диффузии, подставим гв = х'+ у' + э' и выполним интегрирование по координатам у и ю В результате получаем„ что в момент времени 1 распределение вероятности координат х частиц, находившихся в момент» = О в начале координат, пропорционально величине ехр( — — ).
Сравнивая этот результат со стандартным нормальным распределением ехр ( — ха!2Лх'), получаем, что среднеквадратичное смещение частицы равно 2ХИ. Таким образом, хэ = 2ЛЯ; сопоставляя с предыдущим выражением для хэ, находим Мы пришли, как и следовало ожидать, к соотношению 9йиивтейна, которое можно найти и другим путем (см., например, задачу 17.12). у23.4, Предполагая существование связи между корреляционной функцией и макроскопическнм затуханием тока в цепи, составленной иэ индукции Ь и сопротивления Л, определить среднеквадратичную флуктуацию заряда, протекающего по цепи эа время Я. Завиеимоеть ерлуктуаций от времени Решение Из макроскопического уравнения для тока 1 1,— ",', +Я1=О имеем 1=1оехр ~ — ( — ) е). Используя соотношение т'е11е = '/ )еТ, получаем ф,(т) = — ехр ( — ( — ) ) т( ~. Отсюда, используя результат аадачи 23.еь, находим 1(г) еМ э = 23 ) ф, (т) Нт = — .
— г 2аТЯ Ъ о 23.5. Проведенное выше рассмотрение флуктуаций заряда, протекающего по цепи с сопротивлением Н, основывалось на соотношении между корреляционной функцией и функцией макроскопического затухания. Рассмотрим теперь вычисления с помощью кинетической теории, подтверждающие результаты задачи 23.4 для весьма частной модели цепи с включенным в нее сопротивлением. Предположим, что электроньг в цепи можно рассматривать в рамках классической теории и что сопротивление обусловлено только существованием симметричного потенциального барьера высотой )'е. При расчете частоты прохождения частиц через барьер будем предполагать, что их распределение по скоростям по обе стороны барьера можно считать равновесным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
