Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Принимал, что мгновенным откликом системы можно пренебречь, т. е. что следует учитывать только т ) О, с помощью результата предыдущей задачи показать, что вещественная и мнимая части функции реакции удовлетворяют соотношениям Кромерса — Кронига + 1 [ А" (т') йо' л,) т' — со +Ю А (со)= — — Р ~ Г А' (т') Ь' Показать, что для вывода соотношений, которые учитывакет возмоясность того, что функция ) (г) содержит мгновенный отклик Сб (Г),.
следует заменить здесь А' (го) на А' (ю) — А' (оо). 550 Глава лз Решение Так как функция А (ю) равна умноженному на У2п фурье- образу функции Г (1), то величина А (ю), соответствующая супер- позиции (т. е. линейной комбинации) б-функций, также должна быть линейной комбинацией соответствующих функций реакции. Все 6-функции имеют запаздывание на время т ~ 0; следовательно, все соответствующие функции реакции должны удовлетворять заданным соотношениям. Поскольку эти соотношения линейны по А' (ю) и А" (ю), суперпозиция передаточных функций, удовлетворяющих этим соотношениям, также удовлетворяют им.
Таким образом, мы приходим к искомому результату в предположении об отсутствии мгновенного отклика. Здесь полезно отметить, что, если отсутствует мгновенный отклик, значение А (оо) будет равно нулю; отдельная 6-фуннция с запаздыванием т дает в А (ю) вклад соэ ют — 1а)п ют. Зта величина осциллпрует при ю -в- оо.
Полная величина А ( ю) будет, однако, получаться путем интегрирования по т произведения подобного вклада на достаточно плавную функцию от т. (Фактически такой функцией является Г' (т).) Быстрые осцилляции этой величины по т для больших ю приводят к тому, что интеграл стремится к нулю при ю — э.
оо. С другой стороны, член Сб (1) в 1 (1) будет давать вклад С в А (ю). Зто приводит к отличному от нуля вкладу при бесконечной частоте, так что мы можем записать А (оо) = С. Таким образовц вклад от Сб (1) в А (ю) может быть записан как А' (со). х1тобы получить часть А' (ю), удовлетворяющую приведенным выше соотношениям, нужно вычесть часть, ответственную за мгновенный отклик, т. е.
заменить А (ю) на А (ю) — А' (оо). 23.17. Путем прямого вычисления проверить, что функция реакции (передаточная функция), связывающая напряжение на входе с током на выходе для последовательно соединенных емкости и сопротивления (эадача 23.10), удовлетворяет соотношениям Крамерса — Кронпга (задача 23.16). Решение Имеем (задача 23.10) оаЛсз+ аэС Л+ ИзаС С 1+ ааЛС 1+ ваэЛэСэ Поэтому эяса 1+аайэСэ ' мС А (в) = -1+аэЛЗС Зависимость фквктуаэий от орсмсии Заметим, что А' (оо) = —; В чалим образом, А' А' 1 (а) '1 (оо) = В(1+аьВаСо) ' Проверим прежде всего„что А') ) — А') )- — Р ) 1 Г А" (а') Ыа' Правая часть равна С р ( о) йа (а' — а) (1+ а'оВсСо) Интеграл можно оценить, либо выполняя интегрирование по контуру, либо элементарными методами.
Рассмотрим обе процедуры, начав с интегрирования по контуру. Подынтегральное выражение имеет полюс при в' =- а с вычетом а(1 + воВАСь) ' н полюс прв в' = ~1)ВС с вычетами — Чь(а + ВВС) (1 + В'С'а') ' и — Ч (а — 1)ВС) (1 + В'Сэаь) ' соответственно. Рассмотрим контур, совпадающий с действительной осью между точками — Ь и Ь, за исключением обхода полюса по малой полуокружности с центром на действительной оси в этом полюсе. Контур замыкается большой полуокружвостью радиусом Х с центром в начале координат, лежащей в верхней полуплоскости.
Вклад от большой полуокружности в интеграл по контуру будет стремиться к нулю при возрастании Ь, поэтому имеем из теоремы о вычетах о)' йа' яоа и) (а+ 1/ВС) (а' — а) (1+ а'оВоСо) 1+аоВзСо 1+аэВэСо ' .) (а' — а) (1+а'оВСо) ВС 1+аьВоСо — Ю Следовательно, правая часть в рассматриваемом соотношении Крамерса — Кронига равна — (1/В) (1 + аоВьС') ь; этой же величине равна и левая часть. Другое соотношение можно проверить аналогичным образом. Чтобы выполнить элементарное вычисление, представим подынтегральное выражение в виде суммы простейших дробей при Глава 88 помощи равенства 1 ! в „ 1 — Л<С»вв' »Сев< ( в' — в + 1 Л<С»в'а ) (в' — в) (1+Л<С<в'е) 1+Л + Так как +Ю + -е Р ~,'"' =Р ~ — "",'=)пп(~ — '", +~ — '", )=О ,, =о, в' <(в' 1+Л С,ов — — О, искомый интеграл равен + 1 Г дв' П 1+Л Сев 3 1+Лес»в' ЛС(1+ <Л Се) в соответствии с полученным ранее ревультатом.
ОБЩИЕ РАБОТЫ 1*. Хин<ив А. Я., Математические основы статистической механики, М., 1943. Н". Де Гроот С., Ма<ар П., Неравноаесная термодинамика, иад-во <Мир», 1964. Н1*. Мюкетер А., в сборнике «Термодинамика необратимых процессов», ИЛ, 1962. гллвл 24 Теорема Найквиста и ее обобщения К. Мак-Колби * 24.1. Можно считать, что электроны в сопротивлении получагот импульсы от атомов решетки. Эти импульсы эквивалентны флуктуациям напряжения со временем корреляции т, (см. задачу 23.12), которое имеет порядок продолжительности импульса. Так как продолжительность импульса очень мала, можно прэдположить, что спектральная функция эквивалентного напряжения имеет постоянную величину вплоть до очень высоких частот (практически ее можно считать постоянной для всех частот, для которых величина сопротивления не зависит от частоты).
Рассматривая цепь, состоящую из сопротивления н емкости, включенных последовательно, и налагая требование, чтобы при использовании спектральной функции флуктуаций напряжения на сопротивлении получался такой же результат для флуктуаций заряда на емкости, как и при использовании теоремы о равномерном распределении энергии, определить постоянное значение спектральной функции (т. е. вывести теорему Найквиста). Показать, что при этом связь между корреляционной функцией для флуктуаций заряда и функцией затухания соответствует предположению, сделанному в задаче 23.2. Решение Как было показано в аадаче 23.10, функция реакции, связывающая выходной ток с входным напряжением для последовательно соединенных сопротивления В и емкости С, равна 1 Л+гймС ' Функция реакции, связывающая (входной) ток с (выходным) зарядом, равна 1йю, так как заряд является интегралом от тока. Таким образом, искомая функция реакции А (эг), связывающая заряд на выходе с напряжением на входе, имеет внд " С.
й'. МгСошые, 1. 1. ТЬогэрэов РЬув!са1 ЬаЬогаГогу, Уэргегэйу оГ Н еайвз, Веаагэя. так что Со ! (~)! 1( яоСе~е Согласно условиям задачи, спектральная функция флуктуирующего напряжения имеет постоянное значение, равное 6». Отсюда следует, что для спектральной функции Со (в) флуктуирующего заряда справедливо соотношение С ( )=!А( )~ а Тогда имеем 1+ВоСово л од+(1/ВС)о 2 Л о Но флуктуации заряда на емкости удовлетворяют соотношению 7 = СйТ.
Приравнивая два выражения для до, находим Это соотношение называется теоремой Лайквиста. Корреляционную функцию ~рт(т) для величины д получаем из бо(в), используя соотношение Винера — Хинчина СО фо( )= ~ бо(в)созвто(в=СеС» ) о о е о(в. о о Интеграл тегко вычисляется путем интегрирования по контуру соэвт 1 ( ехр(1вт) ов 1 1 ехр(мт) 1+НоСово 2,) 1+ЛоСооФ 2 3 1+ВоСоое о с где для положительных т контуром С является действительная ось, замыкающаяся на бесконечности полуокружяостью, лежащей в верхней полуплоскости; интеграл по этой полуокружности равен нулю. Вдинственным полюсом внутри контура С является г = 1/ЛС, н соответствующий вычет равен ехр ( — т/ЛС)/2(ЛС.
Значение искомого интеграла, таким образом равно 1 Э /еи ехр ( — т/ЛС)/ЛС. Поэтому, подставляя также выражение для 6», имеем ф,(т) =С/оТехр ( — —,) =дхехр ( — —,) (т)0). Теорема ХХайкоиота и ее обобщение Аналогичным образом получается реаультат для отрицательных ач Фо (т) = д' ехр ( — — „'С ) Далее, д удовлетворяет уравнению — + — =О, бя Ч а лс решение которого имеет вид Х=ьехР ( — „С 1.
ВС у' Следовательно, корреляционная функция и функция затухания связаны между собой постулированным ранее способом (задача 23.2). 24.2. Можно считать, что флуктуации положения зеркала гальванометра обусловливаются как бомбардировкой молекулами воздуха, так и флуктуациями тока в цепи, содержащей рамку гальванометра. 11усть флуктуации, обусловленные каждой из этих причин, соответствуют равномерному распределению тепловой энергии по степеням свободы. При наличии обеих причин флуктуации должны оставаться иа том же уровне. Объяснить, почему это происходит.
Решение В системе, находящейся в термодинамическом равновесии, каждый источник флуктуирующей силы порождает связанное с ним затухание. Таким образом, если среднеквадратичное значение флуктуаций в системе остается постоянным, то это означает, что тенденция к увеличению флуктуаций, обусловленная наличием дополнительной флуктуирующей силы, компенсируется тенденцией к их уменьшению за счет затухания. Отношение спектральной функции суммарной флуктуирующей силы к суммарной демпфнрутощей силе остается постоянным. Поучительно более подробно исследовать постоянство отношения спектральной функции к демпфирующей силе в случае момента сил, действующего на рамку гальванометра. Пусть рамка имеет эффективную площадь А в магнитном поле Н, направление которого лежит в плоскости рамки при отклонении, равном нулю; тогда ток Х будет создавать вращающий момент АХХХ.
Если отклонение мало, то при угловой скорости О возникнет э. д. с. индукции, равная АХХО; она вызовет ток АНО(Н, где Я вЂ” сопротивление цепи рамки. Следовательно, вращающий момент, действующий на рамку, равен (АоХХз/Н) О. Знак этого момента можно определить из требования, что результатом его действия является демп- Глава 2а 556 фирование начального движения рамки. Если обозначить константу воздушного трения через х, флуктуирующую силу, возникающую вследствие бомбардировки молекулами воздуха,— через Р (1) и флуктуирующее напряжение, связанное с сопротивлением в цепи, — через К(~), то флуктуационное отклонение 0 (~) будет определяться уравнением Спектральная функция Ср для Р (8) равна (2!п) хйТ (это выражение можно получить из требования, что среднеквадратичное отклонение системы с нулевым для простоты значением ХХ должно быть равно величине, получающейся нз теоремы о равномерном распределении).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
