Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Поэтому можно написать Уя (в) = А (в) Хя (в); тогда для спектральной функции выходного сигнала получаем Со (а) .= 1пп — ! Уя (в) (з = / А (в) (' Иш — ! Хя (а) !з = $ А (в) 3з Сг (в). Важность понятия спектральной функции в значительной мере определяется простотой связи между спектральными функциями входного и выходного сигналов. Это соотношение можно, конечно, считать очевидным. Действительно, величина 6 (а) ба может рассматриваться как средний квадрат амплитуды флуктуаций, полученной путем исключения всех фурье-компонент флуктуаций, кроме тех, которые имеют частоты, лежащие в области (о>, а + бв). (С принятой здесь точки зрения это следует иэ полученного выше соотношения, согласно которому средний квадрат можно выразить через интеграл от спектральной функции; поэтому обсуждение можно было начать с этого менее формально- ') В неравновесной термеднкаквке зту функцию принято также называть функцией реакцяя.— >грим.рея.
544 Гяава ЗЯ го определения спектральной функции.) Так как узкополосная компонента флуктуации является синусоидальной со слабо меняющейся амплитудой и фааой, величина ~ А (ю) ~ будет равна отношению выходной амплитуды к входной амплитуде для рассматриваемой полосы частот, и результат получается отсюда сразу же.
Для среднего квадрата выходного сигнала имеем ра= ~ Со(и) ш»= ~ ~А(<е) ~з6г(ы) йд о о 23ЛО. Вычислить передаточную функцию А (ю) системы иа последовательно соединенных емкости и сопротивления; входным сигналом является приложенное напряжение, а выходным сигналом — ток, текущий по цепи. Вычислить также передаточную. функцию для демпфированной вращательной системы, где входным сигналом является приложенный момент сил, а выходным сигналом — отклонение.
Решение Если емкость С и сопротивление В включены последовательно, напряясение У = У,е'"' и ток 1 = .(ре™ связаны соотношением г, = г(ю)1„ где Я(ю) — импеданс, который вводится в злементарной теории переменного тока: г(ю) =Л+ —,,„ 1 1мС' ' По в соответствии с определением величины А (а) ) о = А (ю) ~'о, так что 1 1 Я (в) В+1ДвС Для демпфированной вращательной системы отклонение О связано с приложенным моментом Р следующим уравнением: .1О ~ кО ~ сО = Р «). Если положить Р «) = е'"', то для О после затухания переходных процессов имеем ею~ О= с — 1из+ иа так что А (ю) = а — 1вз+ 1ке Зависимость Ьеауитуаций вт времени 23.11.
Вычислить А (ю) для случая, когда входной сигнал х (е) обусловливает выходной сигнал р (в) = х (е + т) — х (г). Получить отсюда среднеквадратичное значение сигнала на выходе, если спектральная функция входного сигнала равна Си (ю). Выразить корреляционную функцию ф„(т) для х через спектральную функцию 6„(ьо), т. е. вывести соотношение Винера — Хинчина между корреляционной функцией и спектральной функцией. Показать, что полученное соотношение можно обратить, т.
е. выразить спектральную функцию через корреляционную функцию. [3 а м е ч а н и е: Ни одна реальная физическая система не может обладать описанным здесь откликом на входной сигнал (величина т предполагается положительной), так как это означало бы, что отклик, скаькем, на приложенную на входе б-функцию предшествует входному сигналу. Однако это несущественно для чисто математического рассмотрения, которое имеется в виду.1 Решение Входной сигнал х (1) = еь"' будет вызывать сигнал на выходе у (ь) — еьиьь+и еьиь (еьиь 1) еьиь так что А (ьо) = еь"" — 1. Выражая средний квадрат сигнала на выходе через его спектральную функцию [А (ю) [еСи(ю), получаем [х (ь' + т) — х (ь)[' = ~ [ еь"' — 1[о С, (ьо) ь)ьо = о = 2 ) (1 — соз ьот) С, (ьо) ь[ьо. о Но левая часть равна ха (е+ т) + хо (ь) — 2х (г) х (е+ т) = 2хо — 2фа (т) = = 2 ~ 6„(оь) ь[ьо — 2ьрв (т) . о Отсюда следует, что ф„(т) = ~ 6,(ю) соз ьосдьо.
о Чтобы написать обратное соотношение, исходя из более известного вида фурье-преобразования, содержащего экспоненциальную функцию, можно действовать следующим образом. Определим зв-озвв Глава зо 6 (оо) для отрицательных 'е выражением 6„( — Го) = 6„(оо) н пе- репишем приведенное выше соотноптение следующим образом: ф (т) Г~ 6 („)е™т,(,„ 1 Г '~/2н х У2— ) 2 х Обратное соотношение имеет вид (/2н 2 х .)/2 — ~ х 6 (Го)=- — ( ф„(т)(е-и Нт, или СО 6„(н) = — ) фе(т) сов оетдт.
2 Г о 23Л2. Показать, что если корреляционная функция убывает практически до нуля при т ) т„то спектральная функция будет постоянной вплоть до значений частот порядка 1(т,. Величина т называется еременем корреляции. Решение Согласно соотношению Винера — Хинчина, выведенному в предыдущей задаче, 6(оо) = — ) ф(т) созоотдт. 2 Г о Так как функция ф(т) пренебрежимо мала при т ) т„можно ограничить область интегрирования по т интервалом (О, т,). Ксли Го ((1!т„величина ат будет значительно меньше единицы для всех т в указанном интервале, так что соз оот при интегрировании мояоно заменить единицей. Поэтому в хорошем приближении имеем для значений е порядка 1~т„но меньших этой величины 6(оо)= — ~ ф(т) Нт.
о Зто выражение не зависит от Го. 23ЛЗ. Оценить спектральную функцию флуктуаций, связанных со случайным набором одинаковых импульсов, применяя соотношение Винера — Хинчина (задача 23Л1) к выражению для корреляционной функции, полученному в задаче 23.6. Убедиться, что реаультат согласуется с полученным путем прямого использования определения спектральной функции (задача 23.8). Заме- Зависимость яауитуациа от времени тпм, что в атом решении мы не делаем предположения (введенного для упрощения в задаче 23.8) относительно того, что интеграл по времени от иьшульса равен нулю. Решение Согласно задаче 23.6, имеем Су(т)=Х ~ ~(1Я(Г+т)й. Соотношение Винера — Хинчина дает +ОС + СО Су(со)= — ) $у(т)созсотМт= — ~ $у(т)е'"'с)т= 2 Г 1 о СО +СО +СΠ— ~ 7'(1) 7'(г+т) Е'Омйдт= Х ОО +ОС Н- Х вЂ” ~(1с) ~(ст)ес <се и> йс йз= — СΠ— СО О СО +СО г'(1) е'осй ) ) ~ У(с) е-'исй| — 2)ь(Р(со) 1з Ю где Р (со) обозначает фурье-образ функции ( (с) и при получении последнего выражения испольаован тот факт, что 7 (1) — вещественная функция.
Это согласуется с результатами, полученными ранее. 23.14. В задачах 23.14 — 23.17 мы получим важный результат, касающийся функций реакции физических систем. Этот результат будет использован и в следующей главе. Реысцию линейной системы можно определить, зная выходной сигнал ~ (1), вызванный 6-образным сигналом на входе.
Применяя фурье-преобразования к сигналам на выходе и входе, когда входной сигнал есть 6 (е), показать, что функция реакции А (со) (передаточная функция) системы равна фурье-образу функции р' (1), умно>пенному на ус 2тс. Фурье-образ Е( со) функции г (е) задается соотношением Р (со) = — ~ 7" (с) е — сие й 1 ~/2я Решение Фурье-образ входного сигнала 6 (е) равен +СΠ— ~ 6(1)е-емй= — ' "р2л уБ ' Глава 28 а фурье-образ выходного сигнала Г (8) имеет вид Р(в)=- ) 1(1)е-™е)г'. Но на частоте в отношение фурье-компоненты выходного сигнала к соответствующей фурье-компоненте входного сигнала долявно быть равно А (а); отсюда следует, что А (а) = г'2лР (а), т. е.
ыы пригзли к искомому результату. 23.15. Рассмотрим систему, для которой отклик на входной сигнал 6 (1) есть также дельта-функция 6 (т — т), сдвинутая по времени на т. Определить функцию реакции А ( а) для системы и показать, что если она записана в виде А (в) =- А' (в) — 1А" (в), где А' (а) и А" (а) — вещественные функции, то А' (в) и А" (а) удовлетворяют соотпошенпям Р ~ А" (вв)ав' А" (в)= — — Р ) Г А' (вр) аы' л,) в' — в в том и только в том случае, когда время запаздывания т положительно.
Символ Р указывает, что следует взять интеграл Коши в смысле главного значения. +» (3 а ы е ч а н к е: Интеграл ~(з)пах)х) ох имеет аначение л, О илп — л соответственно, когда параметр а положителен, равен пулю или отрицателен.! Решение В рассматриваемом случае Г (г) = 6 (1 — т), и, согласно задаче 23.14, имеем А(в) = г'2лР(в) = у 2л — ') 6(г — т) е-~""от= = е-'"' = соз ат — 1 з1 и вт. Поэтому А' (в) = соз вт, А" (а) = з1п вт. оависимость флуктуаций от вуемеки Отсюда следует, что +со А" (со') ат' ~ о1вт,'т йо' Ми [(т' — т) т+тт) а (со' — т) — ОР + Йх+з(псотР ~ — Их= Г соо тх х т)0, т =- О, т(0.
Г оштх =созеот ~ х л соз сот О, — л соз сот Поскольку А' (оо) = соз сот, мы видим, что первое соотношение удовлетворяется в том и только в том случае, когда т ) О. Мы использовали тот факт, что величина РГ~ [(соз тх)!х) с[х равна нулю, так как (соз тх)!х — нечетнал функции, и что поскольку интеграл + [(з1п тх))х) дх не имеет сингулярностей, то процедура взятия главного значения на него не влияет.
Другое соотношение может быть проверено аналогичным образом. 23А6. Пусть г' (Г) описывает реакцию физической системы на входной сигнал в форме б-функции, приложенный в нулевой момент времени. Функция / (г), очевидно, должна быть равна нулю для отрицательных д так как реакция системы не монсет опережать поступающий сигнал. Но функциго ~ (Г), равную нулю при отрицательных значениях т, можно представить в виде суперпозиции запаздывающих дельта-функций б (à — т), где все т положительны или равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
