Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Обозначая поглощение энергии при Е„= Ео ехр ()го)) через (т/з) а (го) ) Ео )о, покааать, что интеграл от а (го) по всем положительным ю может быть связан со статическом поляризуемостью; при этом исходить 567 Теорема Найм«иота и ее обобщения из соотношения (задача 24.7) между спектральными функциями для р„и а (ю), а также из соотношения между среднеквадратичной флуктуацией р„и электрической поляризуемостью, получаемой из общего результата (задача 21.1). Показать, что искомый результат может быть также получен из соотношений Крамерса — Кронига, если предгюложить, что величина )1' (со) равна нулю; это эквивалентно предположению о том, что не существует мгновенного отклика поляризации, и поэтому является допустимым (эадача 23.16).
Решение Как мы видели (задача 24.7) Стр (ю) = )«Т 2 и (оз) Следовательно, Ъ с но, согласно общему результату (задача 21.1), р„=йт ' т (О)И', где у, (0) — статическая поляриауемость. Сравнение двух выражений для р„" дает 2 ( и(оз)бт я,) зов о Согласно задаче 24.7, а (ю) =- ео() (ю); это соотношение в данном случае мои«но записать в виде се (ю) = оз )1" (ю). Мы видим, таким образом, что полученный результат является частным случаем соотношений Крамерса — Кронига, установленных в задаче 24.9. ОБЩИЕ РАБОТЫ 1'. Де Гроот С., Мазур Н., Неравковесиая термодинамика, изд-во «М1иро, 1964.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Лаидау Л. Д., Ли««щиц Е. М., Статистическая физика, М., 1964, гз. 12. гдлвл 25 Соотношения Онсагера К. Мак-Колби э 25.1. Цель настоящей задачи состоит в том, чтобы на простом примере продемонстрировать положение, играющее важную роль при выводе соотношений Онсагера. Рассмотрим частицу с очень маленькой массой т, движущуюся при«нелинейно под действием зависящей от смещения силы — сх и демпфиругощей силы — хг, где х — координата частицы.
Будем считать, что величина т/х, имеющая порядок времени, необходимого для установления значения скорости частицы, соответствующего действующей силе, очень мала по сравнению с х/с — временем релаксации, необходимым для возврата частицы в исходное положение. Используя соотношение между корреляционной функцией и макроскопическим законом затухания, записать корреляционную функцию ф„(т).
Достаточно выразить ее через два корня Р» Рв уравнения тр — хр+с= 0 'аметить, что в рассматриваемом случае корень р, приближенно равен х/т, а корень р, стремится к с/х в пределе малых т. Далее рассмотреть выражение х (е) Ь (е + т) — х (Г))/т, равное [«рв (т) — фв (О))/т, н показать, что при т — е- 0 это выражение также стремится к нулю; показать таквее, что если значение т, выбираемое положительным, становится очень малым по сравнению с х/с, хотя все еще остается большим по сравнению с т/х, то в хорошем приблих<ении это выражение равно — /«Т/х. Можно интерпретировать этот результат следующим образом: величина хх равна нулю в соответствии со статистической механикой, но при использовании шкалы времени, в которой процесс установления скорости занимает пренебрежимо малое время, мы берем от х «производную» в момент времени, запаздывающий по отношению к моменту, для которого берется значение х, и получаем для кг значение †/«Т/х.
е С. И'. МеСотэеьь 1. 3. еЬошрвоа РЬув$са1 1аЬога«огу, Уз«тета!Фу о1 К«ай«аз, Кеайвя. Соотношениа Онсаеера Решение Из решения уравнения движения частицы (х имеет конечное значение, но х = 0 при / = 0) получаем нрн(т) = хо ~ оо ехр( — ре (т !) — ~' ехр ( — рт (т()~ при ро х/т, р, с/х и хо = /сТ/с.
Предельное значение (фн (т) — ф„(0))/т при т — о- 0 точно равно значению производной Мер„(т)/с/т при т = 0 и, как легко видеть, равно нулю. С другой стороны, если 1/р, (( ! т ( (( 1/ры то величина ехр ( — рз ) т О становится пренебрежимо малой, тогда как величину ехр ( — ре ~ т ~) можно заменить на 1 — ре ) т ~. Если выбрать т положительным, то Когда т имеет такую величину, что р,т )) 1, а отношение р1/рз пренебрежимо мало, правая часть становится равной — /сТт/и. Заметим, что если т выбирается отрицательным, то для (фн(т) — ер„(0))/т получается значение /сТ/и. 2о.2.
При условиях, указанных в предыдущей задаче, получить для хх значение — /сТ/и в пределе пренебрежимо малого т, исходя из макроскопического уравнения с х= — — х. н При этом не следует использовать явное определение корреляционной функции, поскольку, хотя это легко сделать в настоящем случае, такое определение приводит к значительным трудностям в случае систем с многими переменными, рассматриваемых при выводе соотношений Онсагера. Решение Рассмотрим большое число отсчетов, для которых х в момент времени г имеет значение х,. Тогда среднее по отсчетам в момент времени с+ т для малых т будет равно с хо хот н так как изменение х, вызванное флуктуирующей силой, связанной с демпфированием, в среднем равно нулю.
Поэтому усреднение величины . (с+т) — с(с) 570 Глава хз по всем отсчетам дает (так как величина х (1) точно равна постоян- ной х, для рассматриваемых отсчетов! Теперь, производя дальнейшее усреднение по хю получаем искомый результат. Следует отметить, что 'мы получили правильный результат при помощи формального умножения заданного макроскопического уравнения на х и последующего усреднения.
Эту формальную процедуру удобно применять и в несколько более сложных случаях, рассматриваемых ниже. 25.3. Пусть Х (г) и У (~) — две переменные, связанные с системой, причем обе ведут себя классическим обрааом. Статистический характер флуктуаций не меняется при обращении времени (т. е. переменные Х' (г) =- Х ( — 1) и У' (~) = У ( — ~) имеют те же статистические свойства, что и Х (~) и У (г)1. Вывести соотношение ЬХ (~) (й~ (с+ т) — ЛУ (~)) = ЛУ (~) [ЛХ (~+ т) — ЬХ (г)), откуда, производя деление па т и переходя к пределу малых т, получаем ЛХ(~) ЛУ у) = ЛУ Р) ЛХ (~).
Здесь, а также в последующих задачах следует помнить, что время т мало только в одной шкале времени, но остается большим в других (см. задачу 25.2). Решеиие Прибавляя величину ЛХ(7) ЛУ(~) к обеим частям первого из результатов, приведенных в условии задачи, получаем, что выражение, которое мы должны доказать, имеет вид ЛХ (~) ЛУ (~+ т) = ЛУ (~) ЛХ (~+ т). Но инвариантность статистических свойств относительно обращения времени означает, что такие средние значения пе зависят от времени д следовательпо, мы можем, в частности, написать ЛХ (г) ЛУ (г+ т) = ЛХ (~ — т) ЬУ (~). Ипвариантность относительно обращения времени означает, что мы можем заменить т на — т в правой части; тогда зто соотношение принимает вид ЬХ(й) ЬУ(7+т) = ЬУ(й) ЛХ(С+ г), как и требуется в условиях задачи.
Соооднонденин Онеоееро 57д 25.4. Предположим, что скорости иаменения переменных Х (1) и У (г) связаны с их отклонением от среднего значения соотношениями ЛХ (г) = аЛХ + ЬЬУ, ЛУ(с) =сЛХ+дЛУ. Получить уравнение, которому удовлетворяют коэффициенты а, Ь, с, дд; другими величинами, входящими в искомое уравнение, будут только ЛХ', ЛУо и ЬХЛУ. Решение Используя формальную процедуру, описанную в задаче 25.2, умножь первое уравнение на ЛУ (г) и усредним, а второе— на ЛХ (1) и усредним. Левые части тогда окажутся равными вследствие инвариантности относительно обращения времени (см. предыдущую задачу), а приравнивая правые части, получаем аЬ Х Ь У+ ЬЬ Уд = сЬХд+ с) Ь Х Ь У.
Это соотнодпеиие представляет собой частный случай соотношений Онсагера. Специфика его связана с тем, что скорости изменения ЛХ и ЛУ выражаются в рассматриваемых уравнениях через сами эти величины ЬХ н ЛУ. Более общие уравнения, которые будут рассмотрены ниже, связывают ЬХ и ЛУ с отклонениями от средних значений других величин. Если ЛХЬУ = О и ЬХ' = ЛУ', то приведенное выше соотношение сводится к типичному соотношению Онсагера: Ь=с.
Однако необходимо подчеркнуть, что физическое содержание соотнопдения между коэффициентами ни в коей мере не умаляется и тогда, когда оно не имеет такого специального вида. Это яде справедливо и в случае более общих уравнений, упомянутых выше: то обстоятельство, что величины, через которые выражаются ЬХ и ЬУ, всегда можно выбрать таким образом, чтобы соотношение Онсагера принимало свою типичную форму, являетс я до некоторой степени случайным. 25.5. Пассивный электрический четырехполюсник имеет две пары клемм; постоянные напряжение и ток на одной паре равны соответственно У„1„а на другой У,, Гд. Эти величины связаны уравнениями дд = ард + ЬУо, ' 1з = сУд + Л~,.
Глава 2в Четырехполюспик предполагается таким, что определитель из коаффициентов этих уравнений не равен нулю; это означает, что Хг н Хв не могут одновременно быть равны нулао, если У, и в"з не становятся одновременно нулями. Получить соотношение Онсагера для коэффициентов в этих уравнениях, используя следующую последовательность действий: а) Предположим, что к двум парам клемм параллельно подключены емкости С, и Сю Обозначим заряды на этих емкостях через д, и д,.
Показать, что если полная система находится при температуре Т, то д',=С,йТ;; д',=-С,ХвГ, дд,=О. б) Вывести из уравнений, задающих Хм Ха в виде функций от г'и ввм уравнения, связывающие дв и да с да и д,. в) Применить результат, получающийся прп обращении времени, двдз = дэд1 для нахождения искомого соотношения.
Решение а) Обобщенными силами, соответствующими зарядам д, и дю являются напряжения гг и ом включенные последовательно с емкостями (напряження подключены таким образом, что выполненная ими работа равна и,бд, в одном случае и аабд, в другом случае). Тогда напряя<ения на клеммах будут равны и, — дг(С, и о, — д 1См Если токи равны нулю (как это должно быть в равновесии), то напряжения также должны быть равны нулю. Поэтому дг = С,пм д, =- С,г,. Отсюда следует, что (д, и дм конечно, равны нулю при прило- я;енин нулевого напряжения, поэтому Лд, = дм Лд, = дв) д'„=йт (ф) =йтс„ б) Соотношения Онсагера Поэтому уравнения, связывающие 11 и У» с»'1 и»г», могут быть представлены в виде * а Ь С Ч1 С Чз' с Ы Ч2 С Ч1 С Ч2. в) Как и в задаче 25.4, умножим первое нз этих уравнений па Ч„второе на Ч, и усреднпм: а — Ь вЂ” г С Ч'Ч2 С с —, с~— Ч1Ч2 = — С Ч1 — С Ч1Ч2 1 2 Левые части этих соотношений равны, а приравнивая правые части, получаем прн использовании результата п.
«а» — — С»ИТ = — — С1ЬТ, 2 1 т. е. Ь = с. В~ этом случае мы получили стандартную форму соотношения взаимности Онсагера. 25.6. Настоящая задача служит иллюстрацией применения метода Опсагера для получения соотношения между коэффициентами переноса а веществе. Рассматриваемые коэффициенты связывают плотность тока Х и теплового потока Х с градиентом напряжения сс»Их и градиентом температуры с»Т/сгх в металле (металл предполагается изотропным, так что нет необходимости использовать векторные и тензорные величины).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
