Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Спектральная функция для силы (ЛХХ!Л) У(в) определяется соотношением Аагга ЛаХХа 2ВИТ вЂ” Ск= — —. вз ' я2 и Спектральные функции неаависнмых источников флуктуирующих сил будут складываться, поэтому спектральная функция флуктуирувощей силы в правой части будет равна — йТ (х+ — ) . Отношение этой величины к постоянной демпфирования х + + ЛаХХа(Л не зависит от х, Л, Л и ХХ.
24.3. Тело с теплоемкостью С отдает тепло окружающей среде со скоростью иЬТ, где Л Т вЂ” избыточная температура тела по сравнению с температурой среды. Определить спектральную функцию (считая ее не зависящей от частоты) флуктуаций суммарной скорости обмена энергией с окружающей средой в рассматриваемом случае, соответствующем закону охлаждения ХХьютона. Решение Для суммарной скорости получения энергии нз окружающем среды, которузо мы обозначим через Х (з), имеем С вЂ” + свХтТ = Х (в). Если на вход системы подается энергия ехр (вавв), то это приводит к непрерывному изменению Л Т: ехр (~ей) а+ ивс 557 Теорема Найкеиета и ее обобщекия Следовательно, функция реакции А (оо), связывающая входной сигнал 1 (е) с выходным сигналом ЛТ (1), равна А (оо) = —, а+еооС ' Обозначим спектральную функцию флуктуирующей величины 1 (7) через Сы а величины гаТ (о) — через бдт (ео); тогда ~ат(оо)=(А(оо)! ~7= а Это дает о Но, согласно результату задачи 20А, имеем в свою очередь ЛЕ' = — СйТа, и так как ЛЕ = СееТ, то КТ~=-— С Приравнивая два выражения для ЛТ', получаем 6, = — я)еТз.
в 24.4. Рассмотрим детектор излучения, основанный на измерении повышения температуры черного тела с площадью поверхности А при попадании на него потока излучения. Предполагая, что черное тело обменивается энергией с окружающей средой только путем испускания и поглощения излучения, определить минимальную возможную среднеквадратичную ошибку измерения интенсивности стационарного потока излучения, падающего за время Я.
'У к а з а н и е: Коли 1 (7) — флуктуирующая суммарная скорость получения энергии, то ошибка измерения интенсивности падающего излучения обусловлена величиной Решение Скорость получения энергии от окружающей среды; находящейся при температуре Т, равна АоТа. Скорость испускания энергии равна Ао (Т + ЬТ)е.
Таким образом, в первом порядке по ЬТ суммарная скорость потери энергии равна 4АоТеМ, так что Гэава М параметр а (см. аадачу 24.3) равен 4АоТз. Тогда спектральная функция для 1 (г) (т. е. для флуктуирующей суммарной скорости получения анергии) описывается выражением ~ 44, ТаьТз з Согласно задаче 23Л, среднеквадратичное значение 1 (г) А составляет 23 ') фг(т)от, о з так что для среднеквадратичного значения величины (4/Я)) 1(г)ог о (т. е.
флуктуирующей части скорости поступления энергии и, следовательно, для ошибки в измерении интенсивности) имеем н о ) фг(т)Лт. о Это выражение определяет минимально возках<кую среднеквадратичную ошибку в измерении интенсивности. Согласно теореме Винера — Хинчина (задача 23.11), связывающей спектральнуго функцию с корреляционной функцией, имеем 6,(0) = — „'Я фг(т) Ус.
о Следовательно, минимальную среднеквадратичную ошибку можно ааппсать в виде лб~ 8Аоэтэ Я Я 24.5. Если сопротивление А включено между выходными концами импедапса Я = Х + й', причем и сопротивление, и импеданс имеют температуру Т, то скорость перехода мощности от Л к 2 долл<на быть равна скорости перехода мощности от У к Л. Пусть это равенство выполняется в любой области частот (можно считать, что элементы соединены через фильтр). Показать, что если флуктуирующие силы, связанные с импедансом, задаются генератором флуктуирующего напряжения, последовательно соединенного с Я, то спектральная функция напряжения имеет вид бг (а) = — ХйТ.
2 Теорема Найкеиета и ее обобщения 559 Решение Ток, возникающий в цепи за счет напряжения ое'и', равен ое™ /(В + Я); следовательно, мощность, рассеянная на В, равна ЧаВ ~ У )о/~ В + Я !е, а мощность, рассеянная на Я, равна е/~Х ( 'е' )о/) Л + 2 )о. Это означает,в что областичастот йо рассеяние на 7 мощности, генерируемой флуктуирующнм напряжением 6тк (ю) тепловых шУмов в Л, составлЯет ~/зХс/тно(в/) В + Е )э, а рассеяние на Л мощности, генерируемой флуктуирующим напряжениембт, тепловых шумов в е', равно /аЛСт Ыеэ/) Л+ е' )'. Приравнивая эти выражения, получаем а,,= ~~ а„„= — 'Хит.
24.6. Получить соотношение между спектральной функцией флуктуирующей силы, связанной с импедансом, и действительной частью импеданса, состоящего из параллельно включенных сопротивления и емкости. Исходить из флуктуаций напряжения шумов сопротивления. Решение Коли выходные контакты нмпеданса разомкнуты, напряжение е' ехр (оооо), включенное последовательно с сопротивлением, дает на контактах напряжение (.+'"' ) ""' В случае короткого замыкания импеданса то же~напряжение будет вызывать в аакороченной цепи ток (й/В) ехр (еют). Итак, напряжение Р ехр (/оог), включенное последовательно с сопро- тивлением, эквивалентно напряжению ( ) '"' У/эвС Я+1/евС/ ееие, включенному последовательно с импедансом.
Поэтому флуктуирующее напряжение со спектральной функцией (2/я)"В/еТ, включенное последовательно с В, эквивалентно включенному последовательно с импедансом флуктуирующему напряжению со спектральной функцией (2/и) Яйт/ПеоС(о) 2 Я й = 2 Х/еТ Т3ГСтЖсет — о ю с' где Х вЂ” действительная часть импеданса, состоящего из сопротивления и емкости, соединенных параллельно. 24.7.
В настоящей задаче мы рассмотрим обобщение теоремы Найквиста для электрического импеданса на случай общего импеданса н представим результат различными способами. (Неко- 560 Глава ва торые соображения относительно более фундаментального обоснования обобщенной теоремы Найквиста составляют содержание задачи 24.8.] Если Р = Ро ехр (са~) — обобщенная сила, связанная с обобщенной координатой х системы, причем под действием этой силы координата х изменяется по закону х = хо ехр (сас), то можно записать Считая х аналогом тока, а силу Р— аналогом напряжения, выразить импеданс через Р (а) и с) (а).
Исходя из этого и используя аналогию с результатом Найквиста для электрического импеданса, получить выражение для спектральной функции 6г (а) флуктуирующей силы Р, действующей на систему при температуре Т. Вывести выражение для спектральной функции 6„(а) флуктуаций величины х. Наконец, записывая скорость поглощения энергии системой за счет силы Ро ехР (са8) в виде сс (а) ) Ро )ос2, полУчить обобщенное соотнолсенио Найквиста в виде соотношения между 6„(а) и сс (а); теоретическое обоснование соотношения Найквиста в такой форме будет дано в задаче 24.8. Решение Записывая х = хо ехр (сас), имеем хо = саха, поэтому ао Ро= .
са (Р— нр) Таким образом, импеданс равен 1/са (Р— с6). Беря действительную часть этого выражения и используя аналогию с результатом Найквнста, имеем 2 <Ца) 1 6е (а) = — — ( соТ. Спектральная функция результирующих флуктуаций х равна 6„(а) = (Ро + 6о) 6„(а) = — — )оТ. Элементарное рассмотрение работы, совершенной обобщенной силой в том случае, когда эта сила и соответствующая обобщенная координата изменяются синусоидально, позволяет найти иа исходного соотноснения между хо и Ро скорость поглощения энергии; она равна (сс'г) асс (а) ) Ро )о, Поэтому а (со) = а() (со), н мы имеем 6.
(а) =- — — )сТ. 2 сс (а) 24.8. Рассмотрим теперь в основных чертах квантовостатистическое обоснование обобщенного соотношения Найненста. Спе- Теорема Набнеиееяа и ее обобщения 561 циальные предположения относительно системы делаются только для того, чтобы избавитьсн от несущественных усложнений. Система имеет невырожденное основное состояние с энергией Ео, над которым расположен квазинепрерывный набор состояний, причем число состояний с энергией между Е и Е + е(Е равно р (Е) еоЕ. Координата х, которую мы считаем классической переменной (ср.
задачу 21.2), имеет ненулевые матричные элементы только между основным состоянием и состояниями непрерывного спектра. Матричный элемент х между основным состоянием и состоянием с энергией Е в непрерывном спектре обозначим через х' (Е). Найти при температуре Т: а) спектральную функцию С„(ы) флуктуаций величины х, б) скорость поглощения энергии системой, когда приложены внешние силы, приводящие к обобщенной силе Ео ехр (1юГ), действующей на х. Показать, что эти величины удовлетворяют обобщенной теоеме Найквнста, сформулированной в конце предыдущей задачи.
У к а з а н и е: Для каждого определенного квантового состояния системы значение классической переменной как функции времени можно отождествить с ее квантовомеханнческнм средним значением, вычисленным как функция времени. грурье-компоненты с частотой еэ во временнбй зависимости таких средних значений возникают аа счет пар стационарных состояний (в разложении данного состояния по стационарным состояниям) с разностью энергий йеэ, для которой переменная х имеет ненулевые матричные элементы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
