Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 84
Текст из файла (страница 84)
В клас- 33» 516 Глава 20 сическом предельном случае как фермиевское, так и боэевское выражение для среднего числа заполнения принимают вид и, = = ехр ( — (е, — р)!йТ). Поэтому У= ~~~в,=ехр ( „~ ) ~к~ ~ехр( — — „' ) =ехр Я) г, в соответствии с уже найденным выражением. 20.8. Сравнить флуктуации числа заполнения одяочастичного состояния для невэаимодействующих боэе-частиц с флуктуациями квантового числа для гармонического осциллятора. Распределения вероятности имеют одинаковый вид, откуда следует, что среднеквадратичные отклонения от среднего, т.
е. среднеквадратичные флуктуации (дисперсин), для этих двух случаев должны быть одинаковы. Решение Согласно результатам для большого канонического распределения для боэе-частиц, распределение вероятности числа эаполнення и одночастичного состояния с энергией е имеет вид р„=Се р ( — ( ~ ) ) =С(е р~ — (е В случае канонического распределения вероятность р„ того, что осцнллятор с угловой частотой в находится в г-и квантовом состоянии, описывается выражением Р„= С'ехр~ — (г+ 2 ) ~~|=С" (ехр( — ~~ )1 ° Эти распределения согласуются, если мы положим е = лю и р =- О.
Постоянные С и С, поскольку они определяются иэ условий нормировки, очевидно, должны быть одинаковыми, когда е и р выбираются укаэанным выше способом. глАБА 21 Флуктуации обобщенных классических механических переменных К. Лтах-Л'омби * 21.1. Показать, что если Х вЂ” обобщенная координата классической системы, находящейся в контакте с термостатом при температуре Т, и ЬХ = Х вЂ” Х, то —, ~еХ~ где г' — обобщенная внешняя сила, влияющая на Х. (У к а з а н и е: Рассмотреть канонические функции распределения для невозмущонпой системы и для системы, к которой приложена сила г', так что гамильтониан содержит дополнительный член — ГХЛ Решение Когда на систему действует сила г', имеем Х вЂ” ~ Х(р, Ч) ехр( — (Но — РХу(ЬТ) Лрйу ~ ехр ( — (Не — РХ)(аТ) Ир оя где мы ввели канонические координаты и импульсы и выразили Х через них. Дифференцирование сразу же дает ЗХ ) 1 ) Х (Р Ч) ехр( — (На — ГХУаТ) ~)Р "и ( †) = ~ ехр ( — (Нд — РХУ ЬТ) Ир ИЧ ) ( х(р, ч) ехр( — (на — Гхпат) дрдч ЬТ 1 ( ехр( — (Не ГХГЬТ) Ырйу — — (Хх Х ) =- 1 лХз.
Мы будем часто использовать этот результат для определения величины флуктуаций при Н = О; при этом производная по г' должна браться в точке Р = О. Однако полезно заметить, что этот результат справедлив и в более общем случае. Более общий реаультат " С. )Р. МсСомме, 1. 1. ТЬошрзоп РЬуз1са1 ЬаЬогагогу, Оа(тегвау о1 Ввай)пз, Кеабшз. В(В Глава 31 будет применен ниже (см. задачу 21.3) для определения флуктуаций объема системы при фиксированном отличном от нуля давлении. 21.2. Рассмотрим теперь вывод реаультата задачи 21.1 в случае, когда система описывается квантовомеханически, но переменная Х ведет себя классически.
Зто означает, что если рассматривать аависимость Х от времени, то все компоненты с частотой те, не удовлетворяющей условию Хе> (( йТ, будут пренебрежимо малы [1). Вклады частоты ге в зависимость Х от времени воаникают за счет матричных элементов переменной Х между стационарными состояниями, отличающимися по энергии па Йте. Из предположения о классическом поведении величины Х следует, что Х имеет пренебрежимо малые матричные элементы между состояниями, разность энергии которых не очень мала по сравнению с ЙТ.
Используя это предпололтение, вывести результат задачи 21.1. Решение Снова запишем гамильтониан системы в виде Не — г'Х и обозначим через т число собственных состояний > т ) с собственным значением Е, гамильтониана Н„. Среднее значение Х в том случае, когда сила равна тт, может быть записано в виде У, (г ) Х ехр ( — (Не — РХУаТ) ) т> у Зр (Х ехр [ — (Не — РХРВТ)» бр (ехр ( — (Не — )тХу>тТ) У (г ! ехр ( — (Нд — ГХу/)тТ) / т> Ъ" (г > Х ( г> (т ( ехр ( — (Нд — )тХ у)тТ) ( г> ~ ~(т ! ехр ( — (Не — РХ)>>тТ)! г> г Поскольку Х и Не могут и не коммутировать, нельзя непосредственно дифференцировать это выражение по Р.
Однако, используя постулированное в условиях задачи классическое поведение переменной Х, можно заменить записанное выражение эквивалентным, дифференцирование которого не вызывает трудностей. Если предположить, что экспоненциальный оператор разложен по показателям экспоненты, то типичный член в разложении (э(ехр( — (Н,— г"Х)>'ЙТ) (г) имеет вид (г(На — РХ (рт)(рт!Не — РХ(рх) Х ... х Рч ° Ра-г х (р„т ! Не — г"'Х ( т). Матричные элементы оператора Х, а следовательно, и оператора Н, — г"Х (поскольку Не содержит только диагональные матрич- Фиунтуации обобигенннн мохинииоаних нороменнни б(з иые злемекты) имеют заметную величину лишь в тех случаях, когда оки берутся между состояниями, различающимися по зиергии иа величину, значительно меньшую нТ.
Отсюда следует, что для всех состояний, входящих в члены, дающие ощутимый вклад в эаппсавную выше сумму, собственные зиачеиия Н, будут преиебрежимо мало отличаться от Е„. Поэтому мы можем заменить Не на Е„во всех таких члепах, а следовательно, и в экспоненте.
Замечая, что ехр ( — ЕгйТ) представляет собой просто числовой миожитель, имеем У, ехр( — Ег/УТ) (г) Х )о>(о) ехр(РХ)ЬТ) )г> Х="'' ~~ ехр ( — Ег)>гТ) (г) ехр (ГХ)йТ) ) г> У ч~~ ехр ( — Ег)нТ) (г ) Х ехр (РХ>аТ) ) г> ~~ ехр ( — Ег)йТ) (г ) ехр (РХ>ЕТ) ) г> Так как теперь ие возникают трудкости с коммутируемостью операторов, мы можем непосредственно продиффереяцировать по Р; это дает ~ ехр ( — Ег)ЬТ) (г) Хх ехр (ГХ>ЛТ) ) г> ( — )-— бХ ') бР )т >гТ У ехр( — Ег>уТ)(г) ехр(РХ)>гТ))г> г ~~~~~ ехр( — Ег>>г ") (г) Хехр (РХ(ЬТ) ) г> ~' ехр ( — Ег)>гТ) (г ) ехр (РХ)>гТ) ) г> Если примеяить к Х' сообра>кения, испольэоваяяые выше для преобразования выражения для Х к другому виду, то мы получим первый член последнего сооткошепия.
Следовательно, йт(',~ ) =Хи — Х'=ЛХ. Может оказаться удобиым включить часть члена ЕХ в Н; это ие повлияет иа проведенные вылив рассуждения. Если, например, Х представляет собой объем, так что Е является давлением (со знаком микус), то можпо подобным путем избежать рассмотрения системы при пулевом давлеиии, так как такая система (иапример, идеальный газ) пе может иметь кояечиый объем. 2х.З. Используя результат задачи 21.2, найти а) средиеквадратичпую флуктуацию объема системы при фиксироваяиом вяешием давлении, которое ие равно пулю, б) средиеквздраткчиую флук- 520 Гаава 21 туацию отклонения подвеса гальванометра, в) среднеквадратичную флуктуацию заряда конденсатора с емкостью С, обкладки которого соединены через сопротивление, г) среднеквадратичную флуктуацию расстояния г между смежными атомами в одномерной цепочке атомов одного сорта, взаимодействующих с ближайшими соседями посредством гармонических упругих сил.
Предполагается, что все системы находятся в контакте с термостатом при температуре Т. Решение а) Обобщенной силой, связанной с объемом и, является отрицательное давление — р. Поэтому общий результат имеет вид Это выражение связывает флуктуации объема с изотермической сжимаемостью. б) Обобщенной силой, связанной с отклонением О, является момент ЛХ. Поэтому общий результат имеет вид Если с — (изотермическая) упругая постоянная при вращательной деформации, то Ц~2 Этот результат, конечно, согласуется с получаемым с помощью теоремы о равномерном распределении — сЛО~ = — ЙТ, 2 2 однако поскольку он выведен из общей формулы, то это устраняет сомнения в том, можно ли рассматривать макроскопическую подвешенную систему как имеющую только одну степень свободы. в) В качестве обобщенной силы, соответствующей заряду о на обкладках конденсатора, можно выбрать разность потенциалов У на батарее, последовательно соединенной с конденсатором.
Пусть положительный полюс батареи соединен с пластиной конденсатора, заряд на которой равен д (работа, совершенная батареей, равна Убд). Общий результат поэтому имеет вид з г ьТ(ач) ьТС Это выражение согласуется с результатом, полученным с помощью теоремы о равномерном распределении: — — = — йТ. Флуктуации обобсцлкних кеханииеских керекекких 521 г) Обобщенной силой, свяаанной с расстоянием г между ближайшими соседями, является внешняя сила Р, действующая па два атома. Если увеличение энергии связи между соседними атомами равно к (бг)о/2, то дисперсия Лгз= йт ( б", ) становится равной Лса = кйТ.
Предполагается, что цепочка имеет свободные концы или является очень длинной с фиксированными концами. 21.4. Показать, что результаты, полученные в задачах 21.1 и 21.2, могут оказаться неснраведливымн, если Х не ведет себя как классическая переменная. Предположим, что Х представляет собой х-компоненту дипольного момента большого числа Л" заряженных частиц с массой т и зарядом е, ваашюдействнем которых можно пренебречь; при этом центры частиц связаны таким образом, что частота нх осцнлляций равна юо. Решение Обоаначая х-компоненту смещения г-й частицы через х„н х-компоненту полного дипольного момента череа Р, имеем Рк кк ~ ех,.
Так как х, и х, (г ~г) неаависимы и в отсутствие внешнего поля имеют нулевое среднее значение, то х,х,= О. Поэтому Ре = ез У, х„х, = ез У х'„' = Лгезхз. с, с Средняя потенциальная энергия осциллятора равна половине средней энергии, поэтому "осе 2 о = 2 ( 2 о+охр(зсоо/УсТ) 1) Это выран<ение дает — Лех Г1 асоо алсос ! 2 +охр(ас~~ДсТ) — т ) ' Так как величина Р„в отсутствие внешних полей равна пулю, то величина ЬРо будет при этом равна Р;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
