Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 78
Текст из файла (страница 78)
«а». Показать, что измерение этого коэффициента позволяет определить положение уровня Ферми относительно соответствующей границы эоны. в) Кратко описать, чем настоящий подход отличается от подхода задачи 18.2. Решение а) Используя стандартный! анализ [7, 8, 1) и соображения, с помощью которых было получено выражение (18.2.11), можно найти для электропроводности следующее выражение: о = е»К,', (18.9.1) где К«, — интеграл переноса, определяемый выражением (18.2.8а) при Н, = «э = О. Поэтому //ерекле е металлах (1.[ ек-Ч)г о где мы также произвели замену переменных к = з/кТ, ц нн =— р/кТ. Интеграл в правой части можно взять по частям: ее Ых= (к+ 1) ~ „„Ык = (г+1) Р„(о)), (18.9.7) о о где интеграл, обоаначенный Г„носит название интеграла Фер- зои — Дирака.
Численные оценки интеграла Р„имеются в литера- туре. С учетом соотношения (18.9.7) можно написать г то (кТ)е н (г + 1) Р„(г)). (18.9.8) б) Коэффициент Зеебека можно выразить через интегралы переноса следующим образом [7, 1] [см. (18.2 13)): — '( —,'; — ц). При подстановке выражений (18.9.3) — (18.9.7) получаем 'к р (к+2) Ре+г (г)) е ~ (к+1)Р,(Ч) (18.9.9) (18.9.10) Соотношение (18.9.10) явно показывает, что величина и зависит только от тб когда величина г задана, измерение величины а, служит для экспериментального определения значения т).
в) В данном случае г/ = 0; кроме того, интеграл переноса К~, (18.9.2) не был выражен через подвижность, как это было 31 ° Как и в задаче 18.2, введем соотношение т = т е" '/г, о а также выражение (18.2.2) для /о. Тогда д/о ехр [(е — )о)/кТ)) (18.9.4 ао (1-(-охр [(е — р)/кТЦг кТ ° ) Необходимо также определить зависимость величины е от й,". для зон обычного типа функциональное соотношение имеет вид вгаг е= —, (18.9.5) где лг — эффективная масса носителей в зоне; в изучаемом случае эта величина является постоянной.
Подстановка выражений (18.9.3) — (18.9.5) в формулы (18.9 1), (18.9.2) дает Глава лз сделано в задаче 18.2, п. «в», где были введены соответствующие интегралы Ь (х'й). В результате мы можем выразить ни а (а также и к) исключительно через интеграл Р„, определенный соотношением (18.9.7), не содержащим и (е). Таблицы интегралов Р„(з)) содержатся в литературе, поэтому с помощью Р, (г)) легче выполнить расчеты, чем с помощью интегралов Л. 18ЛО.
а) Используя интегралы переноса для изотропных везцеств с зоной стандартного вида, показать, что проводимость при наличии слабого магнитного поля Н зависит от величины поля Нг, и установить, при каких условиях выполняется это приближение. б) Применить вызлеизложенное к случаю сильно вырожденного электронного гааа. Получить выражение для проводимости в присутствии магнитного поля и связать его с более общим рассмотрением задачи. в) Определить магнктосопротпвление в приближении п.
«б». Решеиие а) Согласно обобщению [1, 8) теории, с помощью которой было получено выражение (18.9.8) [см. также (18.2.8а)), проводимость нзотропного вещества в магнитном поле оннсывается выражением "' 1» (кТ)ам то ~ ( — — о) Ых, (18Л0.1) о еог„з (лу)ге-з ге-з 1+ еоггг и записывая для удобства о С ~ Ь (х) ( д ) с[х~ о (18.10.2) где 16нег [л 2т (аТ)в+сто заз (18ЛО.З) (18Л0.4) )з (х) — хеы [1 озггг (ку)ге-зхге-з[ где использованы обозначения вадачи 18.9.
Здесь оз = ~ еН!взс, где Н вЂ” внешнее магнитное поле и с — скорость света. Далее, Го = И1+ ехР (х — «[в)) — фУнкциЯ РаспРеделениЯ ФеРми— Дирака и х = з/кТ вЂ” приведенная энергия. Предполагается, что вещество имеет зону стандартного вида. Прн т = т з"-Ме и для (озт)з (( 1 можно аппроксимировать выражение (18Л0.1), полагая Неренос е меженное 465 Подстановка выражения (18Л0.4) в (18Л0.2) показывает, что мы можем написать е ,+е( З)о) ( (еНто) („7.)о,-е~ з ( а)о)д ~ .о о (18,10.5) где первый член представляет собой проводимость в вулевом магнитном поле, а второй представляет собой поправку первого порядка в случае, когда ооото (~ 1. Заметим, что а меняется пропорционально 1Р. б) Для сильно выршкдекного электронного газа производная ( — д7о!дх) приближается к б-функции Дирака.
Соответственно заменам выражение (18Л0.2) приближением Бете — Зоммерфельда а=.СЬ(т)~)+— (18Л0.6) где о)в — деленная на кТ энергия Ферми, отсчитываемая от соответствующего края зоны. Подставляя в выражение (18Л0.6) выражение (18Л0.4), получаем а (Н) = Ст)в+ (1 — вот, '(кТ)м ' т)в ) + + — Сяо(г(г+1)т)в — ео'то(кТ)' 'Зг(Зг — 1)т)в =Со)в+' ([ 1-)- ( — яз) г(г-(-1) т)во~~— -<отто(кТ)м 'т)в~ [1+ ( — Яо) ° Зг(3г — 1) т)в-~ ) . (18.10.7) Заметим, что в этом выражении только множитель го зависит от Н.
Выражение (18.10.7) является обобщением выражения (18.10.5) на случай сильно вырожденного электронного газа. При ео = Н = — 0 вместо вырансения (18.10.7) получаем с'(0) =Со)в~~ ~1+ ( — я~) г(г-(-1) т,во~, (18.10.8) что представляет собой обобщение выражения (18.9.8) на случай сильно вырожденного электронного газа. в) Магнитосопротивление определяется соотношением Ар р(Н) — р (О) а(0) — е(Н) ро р (О) с (и) подставляя сюда (18.10.7) и (18.10.8), находим ~р ро но Свез "ооотое(кТ)о" е ( 1+ — Зг(зг — 1) Чве~ С~)в+ .~( 1+ — г(г+1) т)йо )-коте(нТ)о~-~е)в" 1Г1+ —.Зг(зг-1)е)-е )) 6 е' в (18Л0.9) Глава гз 486 При исходном предположении второй член в знаменателе мал по сравнению с первым. Так как нам нужно сохранить только члены порядка аь, мы можем опустить второй член в знаменателе и упростить выражение (18Л0.9): Ьр ь ю-1 1+(я~(6) эг(зг — 1) Чв =о) ть (кУ) Чв 4+(яь(с) г(г+1) ч ь .
(18.1010) Выражение (18.10.10) показывает, что, пока выполняется основное предполоькение вать (( 1, магнитосопротивленне параболически возрастает при увеличении в или Н. 18Л1. Путем исследования потока энергии показать, что если $ (1г, г) — энергия, связанная с волновым вектором электрона Й в точке г, то энергия, связанная с соответствующей дыркой, равна — $ ( — )г, г). Решение Задачу можно решить путем определения скорости переноса энергии в группе электронов с волновыми векторами, лежащими в области от к до к + У)г: (18.1 1.1) Здесь („Ог, г) Ю)г/(4яь) — плотность электронов в точке г, волновые векторы которых лежат в области сь)г вблизи )г.
Полная энергия $ (к, г) электрона монгет быть записана в виде $()г, г) =$,(г)+з (1г), (18.И. 2) где $, — нижняя граница эоны и з„— энергия электрона, отсчитываемая от $,. Скорость этих электронов описывается обычным выражением [1, 8): т„()г) = д '\лье„(Ы). (18.И.З) Следует заметить, что $ (1г, г) = $ ( — )г, г), з„(к) = е„( — )г) — четные функции волнового вектора, тогда как т„(К) = — «„( — М) — нечетная функция й. Рассмотрим теперь поток полной энергии, полученный нз (18.ИЛ), а именно ~В 4 ьа ~ $ (й1 Г)ЗЙ (Зп () )) 1ь ()Г1 Г) РЫ, (18.11.4) ь и вычтем из него величину 4 ~ $ (к, г)(Ъ(а.(н)) и')г=-0, (18.И.5) ь Перенос е неспаееах которая обращается в нуль, так как В является четной функцией й, а ее производная печетна по й.
Имеем теперь ев 4 за ) е (сс г) Чь(~п(к)) (1 )п()с1 г)) сззсс. (18.И.6) ь На этом этапе важно связать зависимость различных функций от )сз с их аависимостью от — )с. Поэтому перепишем выражение (18.И.2) в виде $(1с, г)=й( — )с, г)=Ж,(г) — ер( — )с), (18 И 7) где $, — верхняя граница той же зоны и ер — энергия электронов относительно ео. Сравнение с выраженкем (18.И.2) покаэывает, что ар(1с) = ар ( — й) = Ж, (г) — Ж, (г) — е„(1с).
(18.И.8) Отсюда теперь следует, что~ тъье ()с)= — зуье„()с)= — р ье ( — )с), (18.И.9) где стоящий справа член получается иэ стоящего в левой части при подстановке ер ( — к) для ер (к) и — ч ь для чю Наконец, исследуем новую функцию распределения, определяемую соотношением 1р ( — )с, с') — = 1 — )п (1с, с').
(18. И . 10) Подставляя выражения (18.И.7), (18.И.9), (18.И.10) в (18.И.6), находим для потока энергии Ув= 4 зл ~ — й ( — й г)! — Ч- 'р ( — й)) Л ( — й, г) (з( — й) ь (18.И 11) Осуществляя последний шаг, мы заменили интеграл + ~ ~ ~ (й„ )й„ )й, на — ~~ ~ )( — й„)1( — й„),1( +ее и затем поменяли пределы интегрирования, чтобы получить Ю ~ ~ ~ с( ( — й„) Ы ( — )ср) с( ( — й,). Поскольку интегрирование всегда выполняется в направлении возрастания значений переменной интегрирования, эта процедура позволяет нам заменить ) с(зк на ) с)з( — )с). ь ь Глава 13 Исследование показывает, что исходное выражение (18.11.4) для ак может быть представлено в виде (18.11Л1), где интегрирование по положительным )г заменено интегрированием по отрицательным !г.
Далее, функция распределения 7„(И, г) заполненных состояний с различными к заменяется функцией распределения 'гр ( — )г, г) по незаполненным состояниям!см. уравнение (18.11ЛО)) с различными — )г. Функция распределения по скоростям для электронов заменяется функцией, содержащей величины, связанные с — й. Наконец, как видно из (18.11.8), «кинетическая» энергия е„(К) заменяется отрицательной «кинетической» энергией — зр ( — )г).
Изложенное выше позволяет сделать важный вывод, заключающийся в том, что суммирование вкладов всех электронов в перенос энергии в заданной зоне можно заменить суммированием по дырочным состояниям в той же зоне. Однако сравнение выражений (18.11Л) и (18.11.4) показывает, что в этом случае величина Ж ()г, г) должна быть заменена на — 8 ( — м, г). Иначе говоря, полная энергия, связанная с дыркой, должна иметь обратный знак по сравнению с энергией, связанной с электроном.
Кроме того, поскольку вектор )г в выражении (18Л1.4) превращается в — к в выражении (18Л1.11), импульс свободных дырок — яй отрицателен, тогда как импульс свободных электронов + 2)г пололгителен. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Напева Т. С., Ноа!з е. М., ТЬеппое1ес!пс апй ТЬегшошвзпепсв ЕНесгв апй Арр!!св!1опв, Нет Уог)г, 1967. 2. 7(пге! С., 1п!гойпс!моп !о Бо)!й 3!в!е РЬув!св, Зй ей., Нет г'огЬ, 1966. (Имеется перевод: Ч. Натталь, Введение в фввпку твердого тела, М., 1963) 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
