Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 77
Текст из файла (страница 77)
пятую строку табл. 18.2.3 при г = 0) (18.6. 7) где и — дрейфовая подвижность и р — уровень Фер»пц отсчиты- ваемый от соответствующей границы зоны. Для удобства воспользуемся системой единиц СГСМ. Подста- вим следующие значеш«я: к!з = 86,4 мкВ К ' — — — 8,64 10» ед. СГСМ К», й!с =- 12 10« см' В 'с-' = 1,2.10-' см' ед. СГСМ ' с», кТ = 0,0259 эВ для Т =- 300 К, р =- 0,27 эВ (предполагается, что сдвиг уровня Ферми между 78 и 300 К пренебрежимо мал). Это дает Х =- 0,16 см'К 'с т.
(18.6.8) Подставляя это значение, а также величины Л„Т =- 4 К, 1»П„= г4 в (18.6.6), получаем — гагр' = 8,1.10» ед. СГСМ = 8,1 10 е В = 8,1 мкВ. (18.6.9) 478 Глава 18 Следует заметить, что соотношение (18.6.7) иыеет ограниченную применимость, так как поле моп«но считать слабым, только пока пН/с «1. В наше»1 случае йН/с = 1,2, но можно считать, что выполненные вычисления позволяют получить достаточно хорошее приближение первого порядка.
18.7. Цель настоящей задачи — позлакомить читателя с общей линейной термодинамикой необратимых процессов в приложении к рассмотрению токов и потоков тепла в твердом теле. На основе довольно общих соображений можно показать '), что если в твердом теле существует градиент температуры УТ и градиент злектрохимического потенциала на единицу заряда, равный У (Я/е) = У, то в нем возникают потоки знтропии Хз и электрического заряда (плотпость тока) Х. В рассмотренном выше случае ТХе = С+ аХ, где, как и прежде, С обозначает поток тепла и и — коэффициент Зеебека для образца. Следует отметить, что в отсутствие тока величины ТХз и С совпадают. Обычно предполагают, что ТХз и Х линейно зависят от У и УТ, поэтомУ мол«но использовать соотношениЯ виДа ТХе = = АУТ + ВЧ, Х = СУТ + РЧ, где А, В, С, Р— постоянные.
Однако зти соотношения можно упростить, используя так называемую теорему взаимности Он«авера; в приложении к данному случаю эта теорема гласит, что если заменить УТ на У (1/Т) и У на У/Т, то уравнения, описывающие реакцию именно на зти термодинамические «силы», имеют вид 7'Хе = Ь1«У — + — У. й!2 Т Т Ха В»«УТ+ Т У, Г,~ (18.7Л) (18.7.2) Решение а) При постоянной температуре в случае однородного вощества имеем Х = (В»2/Т) У = (Ь2,/Т) Е [см. (18 1.9)[. Эта связь меясду Х и Е представляет собой формулировку закона Ома; следова- 2) См.
гл. 25 в 28. См. также работы [6, 4[. где коэффициенты Л12 и Ь21 идентичны. Приведенные выше уравнения служат основой дальнейших исследований. Используя приведенные выше уравнения: а) показать, как различные козффициенты Вы можно выразить через кинетические коэффициенты, являющиеся экспериментально наблюдаемыми величинами; б) переписать феноменологические уравнения, содержащие различные Л„., аамеяня эти коэффициенты кинетическими козффициентами. Перенос е меогоееас тельно, =о или Пгг Т (18.7.3) где о — удельная проводимость изотропной среды.
В отсутствие результирующего тока из (18.7.2) имеем (е.ге —— = с'гг) (18.7.4) Егг Т ТггТ Коэффициент Зеебека а при Ю = О определяется соотношением Ч = иЧ1' (см. (18.1.4)); сравнение сх соотношениями (18.7.4) и (18.7.3) показывает, что ггг = егг = Тгао.' (18.7.5 ) Теплопроводность х определяется уравнением (см. (18.1.6)) Теэ = — хЧТ = хтгЧ (1!Т) с учетом дополнительного условия Ю = О.
Используя последнее условие, мы можем подставить вместо Ч в уравнение (18.7.1) выражение (18.7.4); это дает ТУ я ~ ~ ) Ч т г Ч Ьегг 1 4 (18.7.6) Используя результаты (18.7.3) и (18.7.5), находим тм=т'(х+т '). (18.7.7) б) Подставляя выражения (18.7.3), (18.7.5) и (18.7.7) в (18.7Л) и (18.7.2), получаем ТХз = Тг (х+ Таге) Ч Т + Т'ао —, (18.7.8) у=тгааЧ Т +То Т (18.7.9) или (18.7ЛО) ~Ю = — ааЧТ + оЧ. (18.7Л1) 18.8. В настоящей задаче мы рассмотрим явления переноса в твердых телах, в которых электроны в зсне проводимости и дырки в валентной зоне одновременно принимают участие в процессах проводимости.
В дальнейшем индексы г = 1 и г = 2 относятся соответственно к дыркам или электронам; кроме того, предполагаготся выполненныьпг условия стационарности, так что величины Ч = Ч (~Ге) и ЧТ одинаковы для носителей зарядов в каждой из зон. Кроме того, предполагается, что можно выполнить все упрощения, с помрщью которых получены результаты табл. 18.2.3 (модель Зоммерфельда). 480 Глава 18 а) Выразить полные значения о, а, х через плотности, эффективные массы и подвижности носителей в каждой из двух зон, считая, что число носителей в каждой зоне достаточно для того, чтобы статистика была сильно вырожденной, и предполагая, что для обоих типов носителей преобладает рассеяние на акустических модах. Использовать результаты, приведенные в табл.
18.2.3. б) Применить рассуждения п. «а» к металлу с «зеркально-симметричнымк» зонами. Решение а) Применим уравнения (18.7.10) и (18.7.11) к каждой зоне по отдельности. Обозначим этн зоны верхними и нижними индексами 1 и 2 соответственно. Тогда в обозначениях задачи 18.7 имеем ,вз~н= — (ф+а«вов)ЧТ+иво1У '(1=1, 2) (18.81) Ю"1 = — аво1УТ+ овУ (1= 1, 2). (18.8.2) эз = 33'+ Хз" = — "' '- УТ вЂ” (а',о1+ йо») УТ+ (аво1+ св»о») У, т (18.8.3) Ю = Лов + Х1м = — (аво1+ аао») УТ + (о, + о,) У. (18.8.4) В случае Т = 0 для однородных веществ имеем (см. задачу 18. 7) Л = (о, + о,) У = (о, + о,) Е. (18.8.5) Это выражение представляет собой закон Ома для системы с проводимостью О = О1+ О,.
(18.8.6) Пря,в = — 0 соотношение (18.8.4) принимает вид У а!о1+а2о2 УТ а,+О2 (18.8.7? Используя определение У = иУТ и учитывая (18.8.6), находим аво1+ а»оа о (18.8.8) Коэффициент теплопроводности определяется из соотношения ТЮа= — яУТ при Х = О. Имея в виду это последнее соотношение„мы можем, используя (18.8.7), исключить У из соотноше- В силу предположевия о стационарностн можно считать, что градиенты от Т я Ь,'е имеют одинаковые значения в ка«идой зоне.
, В силу аддитивности потоков получаем Леренее е металлах ния (18.8.3). Это дает (а о -)-и о )з ТХз= — ~ (х +ха)+Т(а о~+а~о~) — Т ( ~~1+ е е) 1 нТ. (18.8.9) В сочетании с выражением (18.8.8) отсюда имеем х =- х1+ х2 + Т' (а',о, + а,'оз — аео). (18.8.10) Используя (18.8.6), зто выражение можно представить в виде х= х~ +хе+ Т вЂ” ''-' (а~ — оа)'-. о (18.8.11) (18.8,12) о; =- и;еи; Ц =. 1, 2), где и; — дрейфовая подвижность носителей н и; — их плотность в зоне г'. Коэффициент Зеебека для вырожденного электронного газа в зоне стандартного вида описывается вырал1ением (см.
табл. 18.2.3) г, ахат а;= зев; (18.8,13) где р; — положение уровня Ферми относительно границы валентной зоны (1 = 1) или грааицы зоны проводимости (Е = — 2), Уг = 1 и 7, = — 1 и где мы положилн г = О. Вместо и~ подставим выражение, справедливое для сильно вырожденного электронного газа в зоне обычного вида (см. табл. 18.2.3; членом порядка ц '" пренебрегаем): (18.8.14) 2т; здесь и; — эффективная масса носителей в 1-й зоне. Тогда (18.8.15) где ее =— Ы2л. Наконец, для определения электронного вклада в теплопроводность воспользуемся законом Видемана — Франца (см. задачу 18.5): (18.8 16) зев ' 3е ш-оззе В действительности полученное выражение строго корректно только для электронных вкладов в теплопроводность.
Поэтому для нахождения полной теплопроводности мы должны добавить к (18.8.11) вклад аа счет решетки. Для двух рассматриваемых зон напишем теперь специальные соотношения 482 Те«ее И Подставляя выражения (18.8.12), (18.8.15), (18.8Л6) в (18.8.6), (18.8.8), (18.8.11) и упрощая, получаем следующие результаты1 о = е (я~и~ + п,и»), (18.8.17) (18.8Л8) к»Т и» 4 е«т» е(п ~ч» к = — — (в~и~+ пги»)+ — — ( — ) Х с 3 9 ев«(3) Х"" ("" ) '"""*'+""" ')' (18.8Л9) (з1и»)» (п1и1+п»и») б) Рассмотрим теперь особо случай зеркально-симметричных Ф Ф зон, где п, = п = и, тд — — т, = т, и, = и» = и'. Выражения (18.8Л7) — (18.8Л9) тогда упрощаются: о = 2п'еи', а=О, 18.9. До сих пор при рассмотрении теории переноса мы использовали специальные приближения, которые позволили нам получить окончательные результаты в замкнутой аналитической форме. В задачах 18.9 — 18Л1 освещается более общий подход к предмету.
Ниже используется основная модель, описанная в задаче 18.2. Главное отличие от задачи 18.2 состоит в том, что мы не вычисляем интегралы переноса в различных предельных случаях. а) Выразить электропроводность вещества с одной зоной стандартного вида через интегралы, используемые в статистике Ферми — Дирака. Считать, что в настоящем случае применимо приблия<ение времени релаксации и что магнитное поле отсутствует. б) Выразить коэффициенты Зеебека вещества через те н<е величины, что и в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
