Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 99
Текст из файла (страница 99)
~ ехр(1р 'Я ерз)'ф(де)Це(де, (27Л4.3) а ф (д;) ПеГд, — вероятность обнарухеения случайной переменной де в интервале де, д; + од;. Решение В рассматриваемом случае, применяя соотношение (27.13.3), легко найти функцию распределения вероятности вр (1„) зр(7„) = — (2лз+1) ~. ПГ1 Используя формулу Стирлинга (см.
задачу 2.11, п. «б») 1п рА1 = л )п х — х+ — 1п х+ — 1п 2я 1 1 2 2 и предполагая, что ( уе — 7~'" (/~„(( 1, функцию распределения можно представить в виде И Грввн)э вг(7,)= ( 22 11, ) (2т+1) 'ехр ~ — (2еп+1) ~~~~ (27 А 4.4) Тогда для функции А (р)находим А(р) ) ... ') зр(7,)ехр( — 1рй) ~~~~ е(1,е(7„(27.14.5) где интеграл имеет кратность 2т, так как 7„удовлетворяет усло- вию (27.13.3). Это интегрирование, хотя и трудоемкое, выполняет- ся непосредственно; в результате получаем (27.14.6) 27.14. Найти нормированную вероятность ш (Л) е(й того, что введенная в предыдущей аадаче функция Гз лежит в интервале Л, Л + е(Л. Обсудить реаультат.
При этом испольэовать реаультат теории вероятности, согласно которому вероятность найти вели- чину 6»4 Гас»а 27 Подставляя (27.14.6) в (27А4.2) и оценивая интеграл, оконча- тельно находилг ги(Л) = ( ) ехр ~ — " , ); (27.14.7) это выражение показывает, что при больших Л' величина гг (Л) быстро убывает с ростом Л. 27.15.
Найти среднее значение и дисперсию величины Л. Решение Из выражения (27.14.7) имеем Л„= ~ (Л) Л )Л=,,'"~,, 2т (2т+2) ~,г »Р= ) гл = (вт ( Пг следовательно, используя тот факт, что т. )) 1, молсно написать Л'г ПЛ Л»Р) )сР 27.16. Применяя модель, рассмотренную в задаче 27.8, вычислить вероятность и» (Л, Л') того, что Л изменяется от Л до Л' за время т; при этом пространственное распределение центров рассеяния считать случайным. Решение Изменение Л связано с изменением 7'„имеем Л' — Л = 2 Х (7» — Д ) У' — )») 2 Х 7» ()» — 7») (27 16 1) где использовано соотношение (27.13.3). Пусть х», — число частиц, проходящих через ячейку и в ячейку и' аа время т. Среднее значение этой величины описывается выражением (ср. (27.8.1) и (27.8.3)] ,зт+~ ,с, (»т Если т достаточно мало и аХ достаточно велико„так что Ат (< 1, Л' >) ад» >) 1, (27.16.3) то, поскольку пространственное распределение центров рассеяния является случайным, в качестве распределения для х„, можно выбрать распределение Гаусса ( — й)г гр (х~ ) = (2яГ",) ' ехр ( — ' ~.
(27.16.4) Эргодичегкая теория, Н-пгеорема, пробяема гоаерата 615 Тогда имеем (ср. (27.8.3)) ~' — Уо = ~~ (Хв г — Хт ). (27.16.5) где .4(Р, о)= ~ ~ о)) т а)~ »Ф» .. Фта(х т т .. )хтт~р()г) Х Х Д ч(» (х„) ехр ~ (о ~ (~„— ~р "н)*+ 2(р,'»', 7', (У„' — ~„) ~. (27.16. 7) В выражениях (27.16.4) н (27А6.5) интегрирование по (2т +1)в переменным х,„выполняется непосредственно. Чтобы оценить интеграл по 2в» переменным 7', (р ~ О), введем новые переменные 1 (рави рави »ъ (27.16.8) и пренебрежем кубическими членами в экспоненте по сравнению с квадратичными членами.
Тогда получаем А( о»» Г + ~ ) (27 16,9) ( Лиар(2Нар+2т+1) — 2Н»я+ 2т+1( и из (27.16.6) и (27.14.7) находим окончательно ш(Л Лг) =(82яЛ»аЛ)-иге, ( (Л' — Л+2(2т+1) аЛ) 32НаЛ (27А 6.10) 27.17. Используя результаты предыдущей задачи, найти среднее значение Л величины Л через время т после того, как оно было равно Л, а также среднее значение Л" величины Л за время т до того, как оно стало равным Л (21. Решение Имеем Л р= ~ и (Л, Л ) Л ч(Л Лср=(1 — 2а) Л, или Теперь мы пришли к проблеме, аналогичной рассмотренной в аадаче 27.14, причем роль гра играет к»(Л) и»(Л, Л'). Таким образом, н»(Л) и (Л, Л') = = — ~ ~ ехр ( — (оЛ+ (р (Л' — Л)) А (р, о) а)р о(о, (27А6 6) 616 Глава 2в что соответствует уравнению [ср.
(27.8.3)]. Для Л„",р имеем ] д"во(д") ва(д", д) ад" ] ва(Л")во(Л"в Д)ЛД" отсюда вытекает выражение Лар = (1 — 2о) Л = — Лврв показывающее, что кривая Л симметрична во времени. 27.18. Установить время воаврата Т (Л) состояния, характеризуемого величиной Л. Решение Чтобы определить Т (Л), прех1де всего вычислим среднее время нахождения в состоянии Л. Пусть врд (йт) — вероятность того, что значение Л наблюдается в моменты времени О, т, 2т, Зт, ..., (й — 1) в, но не в момент времени йт. Имеем врд(йт)=ив~ "(Л, Л) [1 — и (Л, Л)].
(27.18.1) Среднее время О (Л) существования в состоянии Л, очевидно, опи- сывается выражением О (Л) = ~~ йтврд (йт) = У~ йт [1 — ив (Л, Л) [ и д ' (ЛЛ) = д=1 д=! (27,18.2) т-м(д, д) ' Аналогично пусть вр, (йт) — вероятность того, что при ироигвольном начальном состоянии Л, не совпадающем с Л, мы будем наблюдать состояние Л в моменты О, т, 2т,..., (й — 1) т и состояние Л в момент времени йт. Тогда имеем Т(Л) = У, йод(й, т).
д=~ (27.18.3) Ксли ив (Л, Л) — вероятность того, что из любого состояния Л, имевшего место за время т, система перейдет в другое состояние Л, то, очевидно, врд(йт) = ивг-т(Л, Л) [1 — ив(Л, Л)] (27.18.4) Зргодикеская теория, Н-ткеорема, проблема о»герата Е!7 и, следовательно, (27 18.5) Т(Л) = 1 — и«(А, Х) Таким образом, 1 -п»(Л, Л) = п«(Л, Л).
(27.18.6) В равновесии число переходов Л вЂ” » Л должно соппадать с числом переходов Л -» Л; ото!ода следует ]1 — пт(Л)] и«(Л, Л) = тр (Л) [1 — и»(Л„ Л)]. (27.18.7) Объединяя выражения (27.18.5) †(27.18.7), окончательно находим Т(Л)= [ ( )[ =0(Л) ( ) . (27.18.8) и«(А) [1 — «о(А, АН «о(А) Такив! образом, Т (Л) быстро убывает с ростом Л. ОБЩ1!Г РАБОТЫ 1, л'акое! Л., ТЬе !топ!«йа!!опв о! С!авв!са! апй Опав!о«п 8!а!Ммса! МесЬап»св, Ох1отй, 1969. С.
!ег Наат Н е Е!етоеп!в о1 8!а!1вмса1 Месйап!св, Хе»с»'отйп 1054. !11. тег Паат ))., Век. Мой. РЬув., 27, 289 (1955). [Имеется перевод: УФН, 59, Н«4, 619 (1956); 69, А1 1, 3 (1056).] 1У. Гагдийаг 1. Е., Егхойт ТЬеоту !и 8!а!М!!са1 МесЬап»св, Хе»т «'отй, 1964. У.а Улекдек Дж., Форд Дж., Лекции по статистической механике, ивд-во «5!кр», 1965. ЦИТИ!'ОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. »рееве!акд Н., Ас!а СЬепь 8сапй., 12, !117 (1958) 2. Саакйгагельаг о., Вес.
Ыой. 1'Ьув., 15, 1 (1043). (Имеется перевод: С. Чат«дрог«кар, Стохастические процессы в фивике и астрономии, ИЛ, 1047.) гллвА 28 Вариационные принципы и минимум производства энтропии" С. Сименс в МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ 28.1. Пусть производство энтропии о при необратимом процессе в системе выражается в виде о= У, 1,Х„ (28.1 1) р=-1 где Ур н Хр (1 < р ( У) являются соответственно потоками н силами в системе. Из теории Онсагера известно, что если соотношение между Хр и эр имеет внд линейного закона (см. задачу 25.7) (28.1.2) то в отсутствие магнитного поля и вращения системы лсатрица феноменологических коэффициентов 1 симмвтрилна, т. е. 1рч -—— = 1ЯР.
Доказать, что если Х, Хю..., Х, (в ( Дг) сохРанЯютсЯ постоянными, то .минимальное производство энтропии для переменных Х,.рп Хира,..., Хн соответствует стационарному состоянию системы, в котором все Х,~„У,р„..., Хл равны нулю. Решение Иа выражений (28.1.1) и (28.1.2) видно, что производство энтропии может быть представлено в виде с' ~' ЬрчХрХч (28.1.3) р, в=1 Чтобы минимизировать это выражение по переменным Х,ры Хвр„..., Хн, приравняем поочередно производные до)дхр нулю для в + 1 ( р ( Х.
Это дает к до — = 'Я (1,„,+1,,„)х,=о в — 1 ') Пояеаяым пособяем пря проработке материала настоящей главы является работа [П, (См. также [4).— Прим. ред,) * Л. Бстояв, 0пееп Магу Со)[вйе, Еопдоп. Вариациоккив прикципы и ми кимам проиввоаотва вктропии 619 для е + 1 < р < Х Наконец, используя соотношение симметрии Онсагера Лра —— . Бар, получаем к 2 ~~д Х,раХа=-О а=! для г + 1 < р < У, что эквивалентно соотно!пениям Х,.г! —... О =- = Х,„.з .—......
= Х,~.. Чтобы убедиться в том, что это действительно соответствует минимальному значению о (а не какому- либо другому стационарному значению), достаточно заметить, что согласно второму закону термодинамики, величина о всегда положительна. Следовательно, поскольку существует только единственное стационарное значение, эта величина долнч!а быть минимальной. 28.2. В обозначениях предыдущей аадачи производство эптропи~ равно О=Х Х Хр.
(28.2.1) р=! Очевидно, что в состоянии, когда применим линейный закон (28.1.2), имеем !у Хр=м ~ Мр,Х~ (28.2.2) а=! где М вЂ” матрица, обратная матрице Б. Тогда р! М ХрХа р, а=! (28.2.3) и, так как и) О всегда, М является симметричной, положительно полуопределенной матрицей !). Если система не находится в состоянии, когда выполняется уравнение (28.2.2), два выражения для и, (28.2.1) и (28.2.3), в общем случае будут различными. Будем в дальнейшем называть эти выражения соответственно собственным и несобственным производством энтропии и обозначать их через о, и о;. а) Если матрица ЛХра и силы Рр (1 < р < Л') заданы, доказать, что линейный закон (28.2.2) соответствует минимизации равности и; — 2о, при изменении Хр (1 < р < Л!). б) Показать, что линейный закон (28.2.2) вытекает из условия максимума ов, есле эта величина остается равной о,. !) Матрица М является положительно пояуопределеввой, если ~', МрахрХа ) О прв любых Х„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
