Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 100
Текст из файла (страница 100)
ра 620 Гзада 28 !У к а з а н и е: Так как М вЂ” положительно полуопределенная матрица, то У Мьд (Лʄ— з„) (Кд — Хд) )О, (28.2.4) ю д=-1 Решение а) Применяя соотношение (28.2Л) и условие симметричности матрицы М, находим ~~ МгдКзКд — 2~. 'М дКгУд+~~ МгдУгуд= 0 ' (282.5) Так как Х,=ХМ. Уд, д (28.2.6) зто дает МрдКгКд — 2 У, КрХр.-з — ~", Мрдз р,уд = У, Мрдз „зд — 2 ~', ХрХр. Таким образом, разность о~ — 2а„вычисленная для общих потоков, больше или равна значению той же разности, вычисленному для потоков, удовлетворяющих линейному закону (28.2.6), и, следовательно, зги последние потоки минимизируют разность а; — 2а,.
б) Чтобьг доказать второй вариационный принцип, ааметнм, что условие а; = а, соответствует ограничению У, МрдКрКд — ~, ХрКр — 'Я~ МгдКгХд, (28,2,7) при применении которого неравенство (28.2.5) принимает вид Х М„,.7,.т,) У М„,К,К,.
Р,д г, д где Кр — произвольные потоки и зр удовлетворяет уравнению (28.2.2).) в) Доказать, что линейный закон (28.2.2) вытекает из условия минимума о;/о,'. (У к а з а н н е: Так как М является положительно полуопределепной матрицей, то для всех вещественных Л. У Мл,(ЛКз+У„)(ЛК,+У,)=-О.
д=1 Представить левуго часть в виде квадратичной по Л формы и рассмотреть условие неотрицательности для вещественных Л.) Вариационние принципа и л~инимум проиввоуетва энтропии СЗГ Это означает, что при условии а; = о, величина а; достигает мак- симума для потоков, удовлетворяющих уравнению (28.2.6). в) Чтобы докааать третий вариационный принцип, заметим, что неравенство У, Мрд(Лкр+Хр) (Лк +Хд))0 эквивалентно неравенству а~~мКрКд+2Лл~~~~мрдКр1д+~~лмрдХрХд)~0 Чтооы это неравенство было справедливо для вещественных Л, должно выполняться условие (;».
МрдКрХр) ~( ~~ МрдкрКд Я~ Мрд1рХд, (28.2.8) Так как, согласно соотношению (28.2.6), У, М„,К„.1,=~ Х,К„ р,д р из неравенства (28.2.8) следует, что ~' Мрдхрхд ~ МрдХрУд Р 1 (У Хрх,)' ~ МрдХ,Хд (~ Хрх,)' р р,д р Это означает, что отношение а;1а,' минимально, когда Кр — — Хр. Другое докааательство этих реаультатов можно дать, поль- зуясь методами математического анализа. Чтобы получить пер- вый нз приведенных вьппе вариацнонных принципов, можно найти минимум разности а; — 2а, (рассматриваемой как функция К ), приравнивая нулю производную д (а~ — 2ав)1дКр при 1 ( р ( л»э.
Это дает ~М„К,— Х,=о (1~р:1У), где использовано свойство симметричности матрицы М. Полученное соотношеяие соответствует соотношению (28.2.6). Чтобы показать, что это действительно условие минимума, положим Кр —— = Хр + КХр, тогда К(а; — 2о,)= У, Мрд(Хр+ЛХр)(Хд+КХ )— — 2 ~~~~ (Х р+ КХр) Хр — ~ ~Мрд1рХд+ 2 ~ ХрХр —. = 2 Х МрдйХрХд + Х МрдКХрй|д 2 Х ХрйХр р,д 622 Глава ЗВ где использовано соотношение (28.2.6).
Так кан М вЂ” положительно полуопределенная матрица, отсюда следует, что Л (о~ — 2о,) ) О для всех ЛХр', таким образом, линейный закон действительно соответствует минимуму. Аналогичные, хотя и более длинные доказательства могут быть получены для двух других вариационных пршщнпов. 28.3. Рассмотрим состояние трех неравновесных систем, характернауемых обратными матрицами феноменологических коэффициентов М, М', М + М', н предположим, что некоторая сила Г приложена к каждой из систем. Пусть привыполнении линейного закона величины производства энтропии для систем равны соответственно ом, ом, ом+м ', используя третий вариационный принцип предыдущей задачи, доназать, что ) — + —.
ам+м' ам ам ' !У к а з а н и е: Рассмотреть отношение о;/о, 'для третьей системы, вычисленное для потоков, удовлетворяющих линейному закону в этой системе.1 Решение Пусть Хр (1 ( р ( Л ) — токи в системе, характеризуемой матрицей М + М', соответствуюнгей заданным силам Рр. Тогда 1 а; — (ври выполнении линейного закона) ам+м ае Х (зг„+/и„,) /,/ч р а=1 я У ./.х, р=~ Х зггчгг/ч ~~~. м'т/г/а г 9 Р Ч ~ /„х„У,.т„х р р (28.3.1) Первый член в правой части соотношения (28.3.1) равен о;/о', для системы, характеризующейся матрицей М, но вычисленной для токов, которые, вообще говоря, не удовлетворяют линейному закону в рассматриваемой системе. Таким образом, в соответствии с третьим вариационным принципом (см. задачу 28.2) этот член больше или равен о;/о, 'для системы с потоками, изменяющимися по линейному закону, т.
е. этот член больше или равен 1/ом. Аналогично второй член в правой части уравнения (28.3,1) больше или ранен 1/ом. Таким образом, из уравнения (28.3.1) сле- Вариационнне принэипи и минимум проивводетво внтропии 623 дует, что Решение Так как т Хр= ~в авГр в=-1 имеем М ое= ~, ЛХроХ Х р о=! т ~1 Хвв!авае, :, 1=! М т т (28.4.2) 1 ! )~ — + —. им+и ом ом' 28.4. В задаче 28.2 мы видели, что линейный закон Опсагера можно получить из некоторых вариационных прннципов (напри- мер, минимизацией разности о! — 2ое по отношению к потокам Хр). Это дает метод нахождения приближенных решений уравне- ния (28.2.2) для потоков (выраженных через заданные силы) в слу- чае, ко~да значение Л' велико, и поэтому трудно найти матрицу, обратную матрице М.
Будем считать, что решение уравне- ния (28.2.2) содержит набор неопределенных параметров (число которых меньше чем гв), и найдем оптимальные значения этих параметров путем минимиаации разности ов — 2о, относительно изменений параметров. Удобно ввести эти параметры в виде не- определенных констант в линейную комбинацию заданных век- торов, Поэтому будем искать решение для Хр в виде т Х„= '„а Грп (1 Р(Л). (28.4.1) =-1 Здесь Гр~ (1 ~( р ( еве, 1 ( в ( Т, Т ( !вг) — набор из Т задан- ных векторов н а, — произвольные постоянные. Используя это выражение для Хр одновременно с приведенным вьппе вариацион- пым принципом, доказать, что значения параметров а, опреде- ляются уравнениями вида т ,', Лв!а!.=(), (1(а(Т), 1=1 и получить явное выражение для Х(,! и (), через Хр, Мр, Г!'.
Показать, что в настоящем приближении величина производства энтропии определяется соотноптением т = Х,(Х(-'Ь ВЕ. 624 Глава ла где Л,в = ~ МртРрввр". р, т=1 (28.4.3) Далее, Я я т т с|в= 21 ХрХр = ~~ Хр(~ 1хврр") =в(),сс„(28.4.4) Р=1 р=1 -1 =1 где М Ов= ~ ХрГР. (28.4.5) Поэтому т т О1 — 2с'в = ~ Лввавас — 2 ~~ ~)вав. (28.4.6) в, 1=1 в=.1 Из выражений (28.4.2) и (28.4.3) легко видеть, что Л,1 является симметричной, положительно полуопределенной матрицей, поскольку такимн свойствами обладает матрица Ларю Поэтому выражение (28.4.6) имеет такой же вид, как и выражение для раЗНОСтИ О1 — 2нв ЧврЕЗ ИСХОДНЫЕ ПОтОКН Ур, ЕСЛИ ОтОждЕСтВИтъ и с 1, К с М и 14 с Х. Таким образом, с помощью такого же доказательства, какое применялось в предыдущей задаче для демонстрации того, что рааность о, — 2ов минимальна при Ур, удовлетворяющих уравнению (28.2.2), получаем, что разность ов — 2ов имеет мннимальну1о величину для значений а„удовлетзоря1ощих уравнению (28.4.7) т Х Л вс11 = в.) 1=1 где К и (~ определяются выражениями (28.4.2) и (28.4.5).
Иначе уравнение (28.4.7) можно вывести, приравнивая нулю производную д (п1 — 2о,)!да, для 4 ( г ( Т при разности ов — 2о„определяемой соотношением (28.4.6). Таким образом, для производства энтропии имеем т т г и= У Дв(Х [Л ~[в1 Я = ~ [Л '[вв(~ф1 (28.4.8) Заметим, что этот метод получении приближенного решения имеет особое значение для вычисления производства энтрокни, так как величина разности ов — 2н, минимальна при линейном законе и преобразуется в — а. Следовательно, если решение для потоков содерн1ит небольшую погрешность е, то ошибка в полученном значении н будет пропорциональна ев, т.
е. гораздо меньше. Поскольку правильное значение — н равно минимальному значению разности нв — 2н„ то значение о, определяемое выражением (28.4.8), будет меньше правильного значения н, т. е. уравнение (28.4.8) данг нижний предел и. Вариазионные принципы и минимум производства энтропии 6ЗЗ 28.5. В проводящей среде алектрический ток может описываться вектором Хр (1 ( р (3), где Х„Хг, Хг — соответственно компоненты плотности тока вдоль осей х, р, г декартовой системы координат.
Точно также электрическое поле может быть описано вектором Йр (1 ~ р ( 3), где $м Кг, Ц вЂ” соответственно компоненты электрического поля в направлениях л, у, г. Производство энтропии на единицу объема и задается соотношением з ТО=ХэХ «э (28.5.1) р=г здесь Т вЂ” абсолютная температура, а Ж и Ю связаны общим соотношением =Уг Х, (28.5.2) ~г где гра (1 (~ р, д ( 3) — тенаор сопротивления.
В частном случае в заданной системе единиц вектор поля е равен в '(2) и матрица сопротивления записывается следующим образом: 1 3 1 Получить выражения для о; н о, через Х„Хг, Хо. Если прибли- женное решение уравнения (28.5.2) имеет внд Хр — — аГр, где Г (2) и оз — произвольная постоянная, то, используя метод предыдущей задачи, оценить значение Тп. Сравнить это выражение с точным значением и объяснить результат.
Решение 9 о; = э ~~ граХрХ0 — — у (ЗХ1+ЗХ',+ЗХр+2ХзХг+ 2ХгХз+2ХгХэ), р, а=г 8 о' = г Х 8 Х' = т (Хг+2Хг+ ЗХг). 1 1 ру г 40-0880 Глава 22 Применяя предложенное пробное решение, положим У, —.— а, Х = 2а, Уе = За и получим Т (о~ — 2о,) = 64сса — 28а. Чтобы найти минимальное значение разности о; — 2п„приравняем производную д (и; — 2ов)!да нулю; тогда получаем 128а — 28 = = О, откуда а = 7!32. При этом значении а имеем Т (2ов — пв) = Тп = 3,06.
(28.5.3) Чтобы найти точное значение То, нужно сначала решить урав- нение (28.5.2) относительно Х,,; это дает Используя (28.5.3), получаем Та = 3,40; (28.5.4) как и следовало ожидать, приближенное значение (28.5.3) меньше точного значения. Численная ошибка приближенного значения стационарного тока гораздо больше: < 0,22 — 0,1 0,44, тогда как точное решение равно 0,4 0,66 0,9 Тем не менее ошибка в величине Тп много меньше (порядка 10%); это находится в соответствии с соображениями, приведенными в конце задачи 28 4. ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ЭЛЕКТРОННЫМ ПОТОКОМ 28.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
