де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Таким образом, правая часть (14.25) оставалась бы неизменной, а тензор Р был бы по-прежнему ннвариантен относительно преобразования Галилея. Необратпятые процессы в яояяроэованнык системах На самом деле да ке прн нашем выборе Р тензор давлений Р не является независимым от полевых величин, как мы увидим в последующих параграфах. Это связано с наличием взаимодействия между полями н веществом в поляризованных системах. Именно в силу этого обстоятельства определение пондеромоторной силы является до некоторой степени произвольным.
В гл. ХП1 мы не сталкивались с этой трудностью, так как в случае отсутствия поляризации электромагнитное поле не влияет на механический тензор давлений. Конечно, выражение для пондеромоторпой силы должно сводиться к ргЕ+ с '[7В[, когда поляризация обращается в нуль. Выражение (14.1?) для силы было выбрано здесь по лвуч причинам. С одной стороны, мы покажем, что эта форма удобна прн термодинамическом описании поляризованных систем. С другой стороны, это выражение сводится к пондеромоторной силе, предложенной Кельвином для случая электрически поляризованной среды. К вопросу о произвольности определения пондеромоторной силы и тензора давлений в поляризованных системах мы вернемся в 3 3, где будет показано, что более известная форма пондеромоторной силы.
впервые полученная Гельмгольцем, не противоречит нашей точке зрения. в. Закон сохранения энергии. Умножая (14.25) на тт, получаем уравнение баланса для макроскопической плотности кинетической энергии '/гроз системы: дг 2 р~ = — й[~[2 Ро'тт+Р ~7)+Р: Сгайо+Р тт. (14.26) Используя явное выражение (14.23) для Р. находим скалярное произведение Р о Р тс= ргЕ' о+ — [гВ'[+ о (Огай Е') ° Р'+ о (Сгас1 В') ° М'+ + — ° (Огай о) ([Р'В'[ — [М'Е'))+ р — — „г [р'Вт[ — р — — [т'Е'[. (14. 27) Имеем также соотношения о ° (Огай Е') Р' = сыч (Р' Е'о) — Е' 0[ч оР' = дР' Н = й[ч(Р' Е'о)+ Е' ° д — рЕ'( ° Р, (14.28) о (Огай В').
М' = й[ч (М' ° В'тс) — В' ° Г'.ач оМ' = дМ' е = й[ч(М' ° В'о)+ В' д — рВ' ° —, (14.29) о (Стай о) ([Р'В'[ — [М'Е'[) = й[ч [(Ь[Р'В'[ — [М'Е'[) тяп[в — о Ич тс ([Р'В'[ — [М'Е'[) = с[! ч [([Р'В'[ — [М'Е'[) ° оо[+ +о ° — ([Р'В'[ — [М'Е'[) — ро ° — „([р'В'[ — [т'Е'[), (14.30) Глава Х!р где были применены уравнения баланса (14.?) и (14.8), а также соотношения (14.13) и (14.14) для Р' и М'. Вводя эти соотношения в (14.27), получаем (сохраняя члены порядка о/с) Р о=йъ.](Р' Е+М'.В)о]+Е дг — М д + дг В М'— др дВ д дг с М вЂ” — — ]Е' [ом']] + раЕ' ц — с ~ — В'|в [с др', длг' рЕ .
— рВ . дс ' дс (14.31) Š— + Н вЂ” = — йч с[ЕН] — ! Е. (14.33) дв дВ дг дс Это есть теорема Пойнтинга, а величина с '[ЕН] представляет собой вектор Пойнти ига. Складывая (14.32) и (14.33), получаем уравнение баланса дг ~ 2 ртр+ э Е'+ 2 В' — М' В+с 'Е' [ом']~= 12' = — йт / —,;.о2о+ Р о — (Р' Е+ М' В) тг+ с]ЕН] ~+ +Р ()табо — 1 Е' — рЕ' — — рв (14. 34) Уравнение (14.34) является обобщением уравнения (13.30) на случаи поляризованных систем. Его можно интерпретировать следующим образом: скорость изменения во времени суммы плотностей кинетичес ой энергии и электромагнитной энергии, равной '/ Е'+'/ В~— — М' В+с 'Е' ]тгм'], равна потоку энергии плюс член типа источника Р: Стяг[о — 1.
Е' — рЕ' — — рВ' —. (14 35) др', Ит' ас аг Таким образом, это количество энергии превращается в другую форму энергии. Заметим, что (14.35) содержит только величины, Здесь мы опять воспользовались соотношениями (14.18) н (14.19), связывающими штрпхованные и нештрихованные полевые величины. Уравнение баланса для '/тро~ можно теперь записать в форме д 1 дР дВ д , 1 д — р — Š— +М вЂ” — — В.М+ —, Е.[ М]= дГ 2 дт дт дГ с дт = — с1!ч ~ — ртРо+Р о — (Р'. Е+М' В)о~+раЕ' о— — 4 ~ — В'~+ Р: Огаг[ о — рЕ' — — рВ' —.
(14.32) ге у ар алг !с ! ат Н С другой стороны, из уравнений Максвелла (13.3) — (13.4), следует, что 35! Необратимая цьэцесгы л лоллрлэоалнных сисгелил' е' де„ дг (14. 36) Определим плотность внутренней энергии следующим образом [см. (13.32)): ри=с — ~ — рея+ — Е'+ — В' — М'. В+с 'Е' [еМ') ~= ~ 1 1 . 1 [2 2 2 [1 1,, 1 12 2 2 =с,— [ — роя+ — 0' Е + — В Н вЂ” —,, РŠ— — — М' В'+ 2с Ъ [Е'Н') ~. 1 (! 4.37) В последнем члене мы выразили плотность электромагнитной энергии через штрихованные полевые величины, входящие в (14.18) и (14.19), и пренебрегли величинами порядка о"-/сз.
Нетрудно видеть, что соотношение (14.37) не только определяет внутреннюю энергию системы, находящейся в покое, но и показывает, как изменится с, прн преобразовании Галилея (внутренняя энергия, по определению, инвариантна относительно этого преобразования). Определим также поток тепла [см. (1 3.33)) .7 =/,— 1 — резв+ рио+Р о — (Р' Е+ М' В) о+ с [ЕН) (. 12 (14. 38) Вычитая (14,34) из (14.36) и используя (14.37) и (14.38), получаем уравнение баланса для внутренней энергии: Ыи р — „=- — б!ч.7 — Р: Огас) о+ с Е'+ рЕ' — „+ рВ' †. (14.39) Это уравнение является обобщением уравнения (13.35) на случай поляризованной системы. $2. Уравнение баланса энтропии в поляризованных системах Чтобы найти уравнение баланса энтропии для поляризованных систем, обобщим сначала уравнение Гиббса (13А5) на случай таких систем.
Прежде всего рассмотрим однокомпонентную систему; уравнение (14.39) записывается тогда в виде Ии р др р лиФ р — = — д!чl — Р: Огай е+ рЕ' — + рВ' ° —, (14.40) ч ~й ' ' й определенные по отношению к наблюдателю, движущемуся со скоростью е. Следовательно, как и можно было ожидать. член типа источника инвариантен относительно преобразования Галилея. Чтобы получить уравнение баланса внутренней энергии, мы можем поступить, как в гл. Х111, 9 3; сохранение полной энергии выражается формулой (13.31) 352 Глава Х!У илн р — = р — — Р: Стаи о+ рЕ' ° — + рВ' ° —, (14.41) Ли А7 ар', АП' гИ Н а'г аг где дд — тепло. поступающее за время Ж в элемент, имеющий единичную массу. Для обратимого превращения системы имеем 1 сну с~в т гг и' (14.42) где а — энтропия на единицу массы. а Т вЂ” температура.
Уравнение (14.41) можно записать в виде аа ав ар' ~ а'т' р — = вТ вЂ” — Рраэв: афтаб о+ рЕравв ' а. +рВравв ' — ~ (14 43) здесь Рр„„— тензор давлений (напряжений) при обратимом (или Р Ф равновесном) превращении. Аналогично Ер„в и Вр„, представляет собой электрическое и магнитное поля при таком превращении. Но в равновесии векторы электрической и магнитной индукции Р' и Н' связаны с полями Е' и В' соотношениями Р'=е ° Е', И'= р- В'. (14. 44) (14.45) (14. 46) (14. 47) где к и )г — соответственно тензоры электрической и магнитной вос- Ф / приимчивостн.
Следовательно, в (14.43) поля Ерввв и Врвв„связаны с мгновенными значениями р' и па' соотношениями В' „в = р (Х+ 0) ° Х ' ° па'. (14.48) (14. 49) Для изотропных систем (1 4.50) (14.51) ='.(). Х =Х() где х и Х вЂ” электрическая и магнитная восприимчивости. Соотношения (14.48) и (14А9) тогда примут вид В А (14.52) (14.53) где е — диэлектрический тензор системы, а р — тензор магнитной проницаемости. Для электрической и магнитной поляризации получаем формулы Р' юв (е — 0) ° Е' = к Е', И'=() -и) и'=Х и'=Х (Х+О) ' В.
Необратимые процессы в поляризованных системах 353 В этих соотношениях х н у зависят только от термодинамнческих переменных, характеризующих локальное (равновесное) состояние системы. Заметим, наконец, что, согласно (12.181), имеем Отабек= — „, р — =(.1: —, ~ГЕ Во (14.54) где Š— (мгновенный) тензор деформации системы, Таким образом, (14.43) принимает внд би бз — б Е ~~р' ' тгт' р — = То ~ — Рре,и . — + рЕреы, . — аг-+ рВрем, ° .
(14.55) В дальнейшем мы будем рассматривать жидкие или газообразные системы, т. е. системы, изотропные в отсутствие поляризации н намагниченности, причем скалярные электрическая и магнитная восприимчивости являются функциями только температуры и плотностей (или энтропий н плотностей). Представим энергию и в виде и = из+ Ьи, (14.56) где ие — энергия системы при равных нулю поляризации и намагниченности, но при тех же значениях з и р. Тогда из (14.55), (14.52) и (14.53) имеем р' ПЗ Ди = — ' ~ х 1х+ '(у+1) ~ у ау = — 'р" + '('+') тм" (14. 57) Для многокомпонентной системы это соотношение обобщается оче- видным образом [ср. также (13.36)1: ав 1 аи Р ао Ерав стР Враия стт Т тГГ + Т бт Т сГГ Т ттт и т т Следовательно, Ьи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
