де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Входящие в (12.161) две производные прн постоянном сродстве А являются равновесными величинами и могут быть взяты при А=О. Для обратимого изэнтропического превращения (А=О. з=зо) соотношение (12.16!) принимает вид Глава ХП формально мы можем записать соотношения (12.163) и (12.165) в виде (12.166) р — рР'~" = П = — л б(ч в, Па1т в а = — — = — '(61ч еЯ; Т Т (12.167) эти соотношения совпадают с (12.25) и (12.23) для жидкости (газа) с „эффективной объемной вязкостью": (12. 168) Зг ~ да) ф 5. Влияние вязкости и теплопроводности на распространение звука рассмотрим теперь влияние вязкостей .4 и ~„ и теплопроводности ), которым мы до сих пор пренебрегали. Для этого мы должны вначале решить полную систему уравнений (12.88) — (12.93). При этом мы будем, однако, пренебрегать членами, нелинейными относительно параметра )..
Тогда, используя (12.74), получаем соотношение р = к т), где акустическая восприимчивость (см. также задачу 17) есть к(К; в)) = к)~)())))+ ' — ' ~кгг (в)), (12.169) '))вТв здесь к~1(ы) и кгг~()))) определяются формулами (12.115) и (12.133), справедливыми для случая чистой релаксации.
С учетом (12.87) из предыдущей формулы находим уравнение, связывающее К н еп Если рассматривать только эффекты, линейные по Л, 4 и ))„можно заменить К К в правой части на значение, следующее из (12.124). Это неотрицательная величина, так как из неравенства а) О для интенсивности источника энтропии следует, что р ) О. Таким образом, можно считать, что при малых частотах (т. е. при частотах, существенно меньших т ') явление релаксации играет такую же роль, как и объемная вязкость. Если в системе происходит более одного процесса релаксации, то мы можем считать, что те процессы, у которых характеристические времена т существенно меньше обратной величины о) ' экспериментально наблюдаемой частоты, вносят свой вклад в полную эффективную объемную вязкость; остальные процессы релаксации должны при этом рассматриваться как таковые 1141.
Вязкое течение и яыяеноя лелаксайиа Тогда получаем оР к(о1(ог) г'и Г 4 Л (кг~(го)~ ро ро 7(. 7( о ~ З 1+т1 — т -(о~, (12.171) о к (~г) Как и в 9 4, особый интерес представляет случай огт((1. При этом условии последнее уравнение принимает вид ро С учетом (12.107) и (12.168) это уравнение можно записать также следующим образом (см. задачу 18): го2 2 гог /4 —, с л сы лт — =со — — ~ — тг+тг,+тг,+> ~' ' ), (12,173) где с — лапласовская скорость звука в отсутствие необратимых процессов; т~, — „эффективная объемная вязкость". Величины ся л и с,,л суть теплоемкости при постоянном сродстве А.
В принятом здесь приближении из последнего соотношения с учетом (12.95) получаем скорость звука (12. 174) с= — = с„. и и затухание звука 2соро сора (12. 175) Для более высоких значений ют необходимо использовать полную формулу (12.171) '). ') Имеются указания, что в реальных системах при очень больших частотах представление звуковой волны на основе понятия о,коллективном движении" теряет смысл; см. [15). Последняя величина пропорциональна квадрату частоты и обнаруживает аддитивность вкладов четырех необратимьгх явлений: сдвиговой вязкости, объемной вязкости, релаксационной „вязкости" и теплопроводности. Для одноатомных идеальных газов имеем т1„= О, з1, = О, ср, и = 5й~2т и с„, л — — 8Ц2т (где т — масса атома, а гс — постоянная Больцмана), так что выражение для Т сводится к классическому результату Стокса и Кирхгофа: 301 Глава Х77 $ 6.
Упругая релаксация Выше мы рассматривали лишь изотропные жидкие (газообразные) системы. Изучим теперь свойства и поведение произвольной анизот- ропной упругой среды, з которой зозможен некоторый релаксацион- ный процесс 116,17). В этом случае уравнение движения, закон баланса энергии и закон энтропии принимают вид ~й> р — = — ИчР, аг р — = — Р: Огай и — йч.Г, а'и аг т — = — + — р: — — А —. ав аи 1 а Е ас аг аг р аг «Й (12, 179) (12.178) Последнее равенство следует из того, что з кзждый момент времени г координата Лагранжа а берется равной (эйлеровой) координате г. Из (12.178) — (12.181) сразу же получаем уравнение баланса энтропии (12.21) с потоком энтропии (12.22) и интенсивностью источника энтропии а= — / ° — — —: — — — — А.
огай Т П Н~ р ас Т2 Т' а'г Т.аг (12.182) Как и в й 4. мы пренебрежем теплопрозодностью и положим Р=р, т. е. П=О. При этом выражение для интенсивности источника энтропии принимает вид р ач а= — — — А. Т а'г (12.183) Уравнения состояния можно записать в обшей форме: Р=р(Е ° Е г) А= А(~, Е, г), т= т(Е, ч, з), (12.184) (12.185) (12.186) Здесь Р— полный тензор дазленнй (который мы опять предполагаем симметричным), а р — равновесный тензор давлений. Вязкий тензор давлений П дается при этом соотношением Р=р+П.
(12.180) Далее, 1= — симметричный тензор упругих деформаций, определяемый как (д/да)з, где з — вектор смещения материальной точки с координатным вектором а („координата Лагранжа" ). „Материальная" производная по времени определяется как производная по времени при постоянной координате Лагранжа а. Следовательно, можно написать вагаб п(г; г). (12 181) Вязкое течение и явления релаксации Удобно перенумеровать компоненты симметричных тензоров р и ~ числами от 1 до 6 и представлять для упрощения записи эти величины как 6-мерные векторы. Из вышеприведенных формул, совершенно так же, как в 9 4, находим систему уравнениЯ для фурье-образов физических величин; в частности, вместо (12,110)— (12.114) имеем теперь я=0, (12.187) (12. 188) йоГ = ~3А, (12.
189) (12.190) (12.191) р=к ° е, (12. 192) (12.193) А =кл ° е, где восприимчивости выражаются формулой к (ю) = к (оо).+ 1к (О) — к (оо)) ., (12.194) а адиабатические коэффициенты упругости прн постоянных А и ~ соответственно формулами к(0) ~ ) (12.195) -)=( — ) Если подвергнуть формулы (12.192) и (12.193) обратному преобразованию Фурье, то можно найти зависимость р и А от времени. Оказывается (как объяснялось в гл. ЧШ), что физическая ситуация в некоторый момент 1 зависит от всей предыстории процесса.
Таким (12.! 96) Точками здесь мы обозначили суммирование по шести компонентам е. Величины (др/де), являются адиабатическими упругими постоянными при постоянном ~. (Система этих 36 величин обнаруживает некоторые свойства симметрии, зависящие от пространственной симметрии среды.) Систему уравнений можно разрешить относительно р и А, что дает вновь в полной аналогии с 9 4 Глава Х// (12. 200) где двоеточия обозначают двойное суммирование по шести компонентам в н (Огайо)'.
Можно сравнить эти результаты с теми, которые мы получали в случае, когда вместо релаксационного явления в системе имело место вязкое течение. В этом случае, согласно (12.182), интенсивность источика энтропии записывается в виде а = — —, ° — „= — — ° (Огай и), П ~1в П Я Т й Т (12. 203) где точка означает однократное суммирование по шести компонентам. Соответственно имеем феноменологические уравнения П = — и (Огай и)', (12.204) где и в общем случае имеет 36 компонент.
С учетом (12.204) соотношение (12.203) записывается так: а = — и: (Огай и)' (Огай т/)', Т (12.205) образом, эти уравнения описывают упругое,последействие" и под- чиняются принципу причинности. Покажем теперь, что при малых частотах явление угругой релак- сации может быть описано как некоторый „вязкий процесс".
Дей- ствительно, в области гвт (( 1 вместо (12.194) и (12.197) можно написать й (ы) = к (О) + ( й (О) — к (со) ~ /ы-., / др1 кл (ч~) = 1 —.1 //а~т, ~ д$,),, Используя эти восприимчивости и применяя к соотношениям (12.192) и (12.193) обратное преобразование Фурье, получаем с уче- том (12.181) р =р + к (О) (в — в ) —; [к (О) — к (со)) дг А =; ( — ) ° — = — — „! — ) ° (Огай и)', (12.201) /дА~ дв 1 /дс~ где (Огайо)' представляет теперь вектор с шестью компонентами.
Эти соотношения, как нетрудно видеть. аналогичны соотношениям (12.156) — (12.163). При учете феноменологического уравнения (12.57) и выражения (12.201) для А получаем вместо (12.183) следующее выражение для интенсивности источника энтропии: ° =+~~~= 1 !~')„ф):~~ ~ог<~~а~ч', ~и201~ зп Вязкое течение и явления релаксации Сравнение выражения для р — рп'м', полученного нз (12.200), с выражением (12.204) для П, а также сравнение соотношений (12.202) и (12.205) показывает, что релаксацию в области малых частот можно описать при помощи „эффективных коэффициентов вязкости" (12.206) Система этих 36 коэффициентов обладает теми же свойствами симметрии, что и система коэффициентов упругости для рассматриваемой среды.
Если в системе происходят несколько отдельных процессов релаксации, то те релаксационные явления, для которых ыт! ((1 в представляюшей интерес области частот, всегда можно описать, используя „эффективные вязкости"; остальные процессы релаксации должны рассматриваться как таковые. Только в том случае, если все времена релаксации т, для рассматриваемой полосы частот удовлетворяют условию ыт; <К 1, можно говорить, что упругая релаксация представляет собой „упруговязкое" явление, ЛИТЕРАТУРА 1. Френкель Я.
И., Кинетическая теория жидкостей, М.— Л„1945. 2. С и г ! ! з в С. Г., Зоигп. свели РЬуз., 24, 225 (1956). 3. О г а 6 Н., Сопли. Риге АРР1. Ма$Ь., 5, 455 (1952). 4.. % а16 гл а пи $... Нап6ЬпсЬ 6ег РЬув$$г, Вй. 12, Вег!$л, 1958, 8. 301. 5. Рг !ной! пе 1., М ах иг Р., РЬуз!са, 17, 661 (1951). 6. Манит Р., Рг$яоя$пе 1., РЬуз!са, 17, 680 (1951). 7.
Н ооу гл ап О. 3., Манит Р., йе О гоо ! Б. К., Рйув!са, 21, 355 (1955). 8. С Ь ар гл ап 5., Сочг1$ пи Т. О., ТЬе МагЬегла$$са1 Тйеогу о$ поппп$1оггл Оазез, СаглЬг$йяе, 1952. (См. перевод: С. Чепмен и Т. Кач л и н г, Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, 1960.) 9. М е! х и е г 3., Апл. й. РЬуз., 43, 470 (1943); Асоизг!са, 2, 101 (1952). 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
