де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Тогда необходимо рассматривать еще один закон сохранения, а именно закон сохранения момента количества движения 11 — 4]. Момент количества движения на единицу массы можно представить либо как аксиальный вектор У с декартовыми компонентами /,, Уз н Уз, либо как анти- симметричный тензор ) с декартовыми компонентами У,а = †.Уд — — Уз (остальные компоненты получаются циклической перестановкой). Закон сохранения момента количества движения записывается так: з В р ~~' — — ~~ ~ (г„Раз — грР„„) (и, р = 1, 2, 3), (12.3) т=~ з где вектор г с компонентами г„есть вектор положения элемента массы по отношению к произвольной системе координат. В правой части этого уравнения написана отрицательная дивергенция „потока момента количества движения". Этот поток вызывается парой сил В двух предшествующих главах были рассмотрены скалярные и векторные явления.
В данной главе мы рассмотрим явления, связанные с тензорными величинами, используемыми в термодинамике жидких систем, а именно с тензором давлений н с полем градиентов скоростей. В этом параграфе будет развита термодинамика однокомпонентной изотропной жидкой (нли газообразной) системы, не подверженной действию внешних сил. Мы получим уравнения движения жидкости прн наличии вязкости тем же путем, что и в гл. 11 — 1Ч, но в данном случае будем учитывать также и явления, связанные с вращением. Законы сохранения энергии и импульса в жидкой системе в отсутствие внешних сил можно записать, согласно (2.19) и (2.31), в виде Вязкое течение и явления релаксации (по отношению к началу координат), с которой тензор давлений действует на элемент массы.
Полный момент количества движения можно представить как сумму двух величин: „внешнего момента количества движения" и „внутреннего момента количества движения". Таким образом, мы можем написать, используя или антисимметричные тензоры ил~) аксиальные векторы: 1,в=1„~+8„з (а, р= — 1, 2, 3), или,/=Ер+8. (12 4) „Внешний момент количества движения" на единицу массы Ь,:, илн Е, определяется следующим образом: Е, =грз — гзп, (а, ~=1, 2, 3). илн Е=(гп1. (12.5) „Внутренний момент количества движения" на единицу массы 8„., или 8, возникает вследствие возможного гращательного движения частиц.
составляющих систему. Можно написать 8,з — — Ве,„(а, р = 1, 2, 3), нли 8 = ттоз, где вз — средняя угловая скорость частиц в каждой точке жидкости (газа). Величина 6 есть (средний) моменг инерции на единицу массы частиц, составляющих систему '). Уравнение баланса для Х находим путем векторного умножения уравнения (1 2.3) на радиус-вектор г: з сЫ.„з ъ~ д р — „' = — 7 — (г,Р— тзР,)+Р„з — Р „(а, 3=1, 2, 3). (12.7) т 1 2~ д.„ Уравнение баланса для 8 получаем тогда из разности (12.3) н (12.7): с15,З ЫЯ р — ~= — 2Р,"з (а, ~=1, 2, 3), нли р — = — 2Рв, (12.8) сЫ ' ' ' ' ' сИ где Р.'з означает антисимметричную часть ~/з(Р, — Р,-„) полного тензора давлений Р„. Аксиальный вектор Р' обычным образом связан с антисимметричным тензором (Р",= — Рзз, остальные компоненты получаются циклической перестановкой).
Из уравнений (12.3), (12.7) и (12.3) следует, что если в системе не происходит собственного внутреннего движения (т. е. 8=0), то Е сохраняется и тензор давлений симметричен: Р = Р, или Ра = О. (12. 9) ') В уравнениях (12.1) и (12.3) мы опустили члены в потоках энергии и момента количества движения, описывающие влияние .внутренней плотности пар сил . При нормальных условиях [3) влияние этих членов в данных уравнениях и в выражении для производства энтропии пренебрежимо мало.
Глава ХП Наоборот, если тензор давлений симметричен, то как внешний Е, так и внутренний $ моменты количества движения сохраняются независимо друг от друга. Разделим теперь полную энергию на единицу массы на три части: фв в= 2 +и '+и (12. 10) где ва(2 — кинетическая энергия на единицу массы, и,— макроскопическая внутренняя вращательная энергия на единицу массы и = — йеР 1 2 (12.11) а и — внутренняя энергия на единицу массы.
Уравнение баланса для и, находим из (12.8) с учетом (12.6): аи, ИЗ Р иг =Р"> ' ~, = 2ю ' Р (=ю: Р ) (12.12) Уравнение баланса для ю2(2 получаем путем скалярного умножения(12.2) на скорость ян Ю92 р, = — я' ИчР= — 61~(Р в)+Р: Сааба. (12.18) И Наконец, уравнение баланса для внутренней энергии, которое получаем, вычитая (1 2.12) и (12.13) из (12.1), записывается в виде аи р — = — Р: бгаб и+2Р' ° ь — ~тЛ. Л ч (12.14) Р=Р1.)+П. (12. 15) Далее, для вязкого тензора давлений запишем П = ПИ + П'+ П'. (12. 16) где П вЂ” одна треть следа тензора П. П' — его симметричная часть с нулевым следом, П~ — антисимметричная часть.
Последнюю часть, которая, согласно (12.15) и (12.16), равна использованному ранее тензору Р~, вновь можно представить аксиальным вектором П"=Рв. Аналогично тензор градиентов скоростей можно представить в виде в Стаи в = — (61ч и) О +(0габ и)'+ (бгаб ю)', (12.17) Разделим теперь полный тензор давлений на две части, из которых первая есть (скалярное) равновесное давление р, умноженное иа единичный тензор Ц, а вторая — вязкий тензор давлений П: Вязкое течение и яелеиия релаксации где антисимметричная часть соответствует аксиальному вектору — го1 яг.
В результате уравнение баланса внутренней энергии запи- 1 2 шется следующим образом: р —" = — (р+П) г11ч'в — П': (0гаг1 и)' — П' (го1 в — 2вг) — йч,Р . сИ е' (12.18) Используя закон сохранения массы (2.14), можно в конечном счете записать уравнение (12.18) в виде о р1( — +р с™ ~~= — Пц(ч'в — П~: (Огаг1'в) — П (го1е — 2ьг) — г11ч„г ~~В лг~ Ч' (12.
19) где о=р ' — удельный объем. Подставляя это выражение в соотношение Гиббса ае сГи сГо т = +р сгг и сгг ' (12. 20) получаем уравнение баланса энтропии гге р — = — б!ч У +а, ггг е (12. 21) где поток энтропии ,ге Х вЂ”вЂ” Т (12.22) а производство энтропии ягаг1 Т Пг11ч е — Тг Т П: (бгагг в) П" (гог е — 2в) Т Т (12. 23) (12. 24) (12. 25) (12. 26) (12.
27) феноменологические коэффициенты в этих уравнениях суть теплопроводность Л. объемная вязкость т1,, обычная сдвиговая вязкость ~) и,вращательная вязкость' т1,. Все четыре величины положительны, В правую часть, как мы видим, входит сумма скалярных произ- ведений полярных векторов, скаляров, симметричных тензоров с нулевым следом и аксиальных векторов. Как было рассмотрено в гл. ч1, в изотропной жидкости (газе) потоки и термодинамические силы, входящие в (12.23), связаны следующей простой системой фе- номенологических уравнений: / = — Лйтаг(Т, П= — т1 Йчяг, о П' = — 2т1 (Огас1 яг)', П' = — г1, (го1 яг — 2вг). Глава ХП в чем можно убедиться, подставляя (12.24) — (12.27) в (12.23).
Так называемый коэффициент второй вязкости, который иногда исполь- 2 зуется, определяется как л — — ~1. э 3 Уравнение (12.27) можно записать в другом виде: П' = — 2т1, 1(Огас$ и) — ез», (12. 28) где вместо аксиальных векторов использованы антисимметричные тензоры.
Заметим, что если единственным движением жидкости является расширение, которое можно описать полем скоростей ю=аг, (12.29) я где а — постоянный скаляр, то(Огайо) и го1п равны нулю, но йчяг отлична от нуля, так что объемная вязкость играет определенную роль. Наоборот, если движение жидкости (газа) подобно вращению твердого тела, т. е. п=[Ь|), (12.30) где Ь вЂ” постоянный вектор.
то (Огайо)' и б1чяг обращаются в нуль, но го1 в= 2Ь, (12,31) так что может быть сушественной только вращательная вязкость. С помощью (12.6) и (12.27) уравнение баланса внутреннего момента количества движения (12.8) можно записать в следующей форме: (12.32) В эту формулу входит время релаксации рв 4чг (12. 34) внутреннего момента количества движения Я (или ю). Таким образом, по истечении небольшого времени величины 2га и го1п становятся равными друг другу и антисимметричная часть (12.27) тензора давлений обращается в нуль.
Если прсдположить, что го1 тг имеет во всех точках приближенно одинаковое значение, а скорость г» в начальный момент времени равна нулю, то из (12.32) получаем следующее выражение, описывающее изменение величины ю во времени: ю = — го1 и (1 — е-и'). 1 2 287 Вязкое течение и явления релаксаиии Подставляя феноменологические уравнения (12.25) — (12.27) в уравнение движения (12.2) и учитывая (12.15) и (12,16), находим р — = — 8тас[ р+Ич [22)(Огас[22) [+ вегас[ [ р„— — 4[с[1~ и + ~Й> Ю + го1 [~,(2оэ — го1 тс)[ = = — 8тас[ р+ 0Ы [с[ [2 (Огас[ п)е — [) с[1ч е[[+ +8тас[ ( ~ — т,+2[„) с[Ь~~+го1 [2[,(2св — го1 э)[.
(12.35) Производя дифференцирование, получаем общий результат ссе 71 р — = — игас[ р+ я Ь22+ ~ — 2[+7[ ) ряс[ с[В и+~„го1 (2со — го1п) + + 2 (Огас[ и)'. дгас[2)+(с[1ч тс) атас[ (т[, — — "2))— — [(2св — го1 22) дга с[ 2[, [. (12. 36) Для важного частного случая, когда вязкость слабо зависит от пространственных координат. имеем сИ) г1 Р—,г = а~аб72+ '~тз+~,3 [+').~атас[с[1час+т„го1(2ю — го1 тс) (12. 37) — 2 и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
