де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 47
Текст из файла (страница 47)
отас[ в = игас[ — р2 — [22 го1 р]. 2 (12.38) Часто из (12.37) исключают либо атас[с[1ч, либо ~~, при помощи операторного равенства (в декартовых координатах) 8тас[ с[1ч =,А + го1 го1. (12. 39) Мы видим, что (12.32) и (12.37) образуют систему связанных дифференциальных уравнений для со и и. Однако во многих случаях величины св и '/2го1тс становятся практически равными по истечении времени порядка т, определяемого соотношениями (12.34). Тогда член с я, выпадает из дифференциального уравнения (12.37) и мы получаем обычное уравнение Навье — Стокса: ссе /1 р — = — дгас[ р+ т[,Л, и+ ~ — 2[+ 2),) дг ас[ с[[к и.
(12.40) Это уравнение можно еще упростить для случая разреженных газов, где, согласно кинетической теории, обращается в нуль объемная вязкость т[,, Мы получили уравнения Навье — Стокса, содержащие, помимо сдвиговой и объемной вязкостей, также и вращательную вязкость. В левую часть уравнения, помимо локальных производных д22/д1, входит нелинейный член 288 Глава ХП В несжимаемой жидкости имеем й1чо=О.
Тогда последний член в уравнении (12.40) обращается в нуль, так что объемная вязкость опять не будет входить в уравнения движения'). ф 2. Вязкое течение в магнитром поле П д!ч в П': (Огай в)' П': (Огай в)' (12 41) Т Т Т где (12.42) и'=пи+ й' есть полный (симметричный) тензор давлений и (Огай о)'= — (й1ч о) О+(Огай в)' (12.43) есть полный (симметричный) тензор градиентов скоростей.
Используя выражения для потоков и термодинамических сил, входящих в последний член в (12.41), можно установить следующие феноменологические уравнения: з Л, ~(Огай'и) (а, р=1, 2, 3), (12.44) т, в=1 в которые входит 81 феноменологический коэффициент Е.а... Поскольку тензоры потоков и термодинамических сил симметричны, они содержат каждый только 6 независимых чисел; используя эти величины. можно получить систему феноменологических уравнений. содержащую 36 независимых феноменологических коэффициентов. ') Можно также построить формализм для смесей (см.
гл. П вЂ” !Ч). Важным случаем здесь является так называемая .двухжидкостная теория, в которой предполагается, что передача импульса между двумя компонентами полностью или частично запрещена. Эта теория применялась при выводе макроскопическнх уравнений, описывающих поведение жидкого гелия П (см. 15, б] ). Первоначально изотропная жидкая или газообразная система (например, ионизированный газ), помещенная во внешнее магнитное поле, обнаруживает более сложное поведение (вязкого типа), чем это описывается феноменологическими уравнениями Э 1.
Действительно, даже если антисимметричной частью тензвра давлений можно пренебречь, то, как мы покажем, необходимо ввести восемь коэффициентов вязкости (вместо 4 и 4,), которые связаны одним соотношением Онсагера. Выпишем вначале выражение для производства энтропии, которое в отсутствие теплового потока и при П' = О, согласно (12.23), имеет вид 289 Вязкое течение и явления релакепиии так что мы можем написать следующие феноменологические соотно- шения: т Х7.глуя (1 1' 2' ' '' 6)' (12'46) 1 Я-1 Сюда входит 36 независимых феноменологических коэффициентов Е,я, через которые можно выразить Е,21, сравнивая (12.44) и (12.46). Выберем направление магнитного поля В в качестве оси х.
Чтобы выяснить влияние вращательной симметрии вокруг оси х. применим формулу (6.12) к коэффициентам Е,~ 4, причем в качестве матрицы А выберем матрицу К вращения вокруг оси х. Простейшая матрица, соответствующая бесконечно малому повороту вокруг оси х, имеет вид К= О 1 — а (12. 47) где а — бесконечно малый угол. Таким образом, путем прямого вычисления, пренебрегая квадратами и более высокими степенями а, находим систему коэффициентов Е.„ят,.
Получающийся результат можно представить также в форме системы коэффициентов Е,». Он записывается в виде О О 72 з ~24 722 724 1 7'24 2 ( 22 7"зз) О О 711 712 Ь21 122 421 ~2З (12. 48) О О О Е24 О О ~55 ~за О О О О Здесь мы имеем восемь различных чисел. Для удобства введем обозначения П,, П2, .... Па для компонент 5 Х Я Я Я Я 5 Я Ю Пкт. Пуу Пея. Пул=Пгу Пгк= Пкч и П у=Пу» и аналогично )(1, У2...., У, ДЛЯ (кзтад21)„„, (Стад21)'~, (1ЗГад П)~„, 2(бтаС122)',= =2(0габ21)' и т. д. соответственно.
1Множитель 2 отражает то Зу обстоятельство, что член со смешанными индексами входит в (12.41) дважды.) Тогда выражение для производства энтропии принимает внд .=-Т У,п„,. 1 (12. 45) 1=1 Глава Х!! Поскольку всякая ось. перпендикулярная оси х, есть поворотная ось второго порядка, феноменологические уравнения инвариантны относительно поворота координатной системы на угол и вокруг оси г (х -ь — х, у -э — у, я — ~ г). В новой системе координат поле В направлено в отрицательном направлении осн х (В-+ — В). Отсюда следует, что Е„з„является четной (нечетной) функцией В, если индекс - встречается в системе индексов Е,з, четное (нечетное) число раз, Таким образом, для коэффициентов Ез„имеем Е,, Е,з, Ез,.
Езз, Езз и Езз являются четными функциями В, (12 49) Е „и Еза являются нечетными функциями В. В дополнение к этому феноменологические коэффициенты связаны соотношениями взаимности Онсагера: Епа (В) = Етн( — В), (12.50) из которых ввиду (12.48) и (12.49) вытекает только одно новое соотношение между восемью числами, полученными выше: (12.51) Таким образом, в конечном счете остается семь независимых коэффициентов вязкости.
Наконец. мы можем записать феноменологические уравнения с помощью потоков н термодинамических сил, входящих во второй член (12.41); они рассматривались также в 9 1. Эти уравнения принимают простую форму, если ввести следующие линейные комбинации семи независимых коэффициентов Е!з.' 1 % = бу (2Е11 — 4Е1,+Езз+ Езз) 1 ~Ъ = бт (Е1 1 — 2Е, з + 2Ез з — Ез з) 1 чз 7 за' т14 т Езз 1 (12.52) 1 Ъ т Езб' 1 ~= бт (Е11+Е1з — Еза Езз) 1 9у (Ез|+ 4Е~ я+ 2Езз+ 2Егз) Используя эти величины, получаем с учетом (12.48) н (12.51) следующую систему феноменологических коэффициентов, связываю- Вязкое течение и явления релаксации щпх потоки и термодинамические силы 171 (соответственно левый столбец таблицы н первая ее строка.) (Огай гг)~ (Огай и)ах (Огай а)ух (Огай в)гх (Огай е) й!Ч в ~хх — 2), — 2ч Й'„ ~га — 2')г — 2 (г), ')а) — 2 (ч1 — ча) — 2т„ 2 ~)4 — 2ч, 2ч,— 4г)а (12.53) г75 — ч ~ах — 2ча — 2Ча — 2ча Ау 2г(а — 2ч а1 =О, ч)з=О, ~=О. (12.54) Таким образом, матрица коэффициентов (12.53) становится диагональной и эквивалентной уравнениям вязкого течения (12.25) и (12.26) для чисто изотропных жидкостей.
включающим только два коэффициента вязкости: коэффициента сдвиговой вязкости л=)1(=т) =то и коэффициента объемной вязкости т),. о Коэффициенты т),, т)~, ..., о)з связывают компоненты тензора П с компонентами (6та(1 4))'. Следовательно, их можно назвать коэффициентами сдвиговой вязкости. Коэффициент а1, связывает следы П и (1(ч ят и, следовательно, является объемной вязкостью. Седьмой коэффициент 1 описывает перекрестные явления, в которых играют роль сдвиговая и объемная вязкости. Из (12.49) и (12.52) следует, что л), т),, г)з, 1 и о)„являются четными функциями магнитного поля 8, тогда как т)4 и т)з — нечетными функциями этого поля.
Схема коэффициентов (12.53) и характер симметрии коэффициентов вязкости по отношению к магнитному полю находятся в согласии с результатами кинетической теории газов, помещенных в магнитное поле 18). Можно заметить, что в приближении кинетической теории коэффициенты Г. и я обращаются в нуль. Как нетрудно проверить. в отсутствие магнитного поля нз пространственной симметрии следует, что Глава ХП ф 3. Распространение звука В настоящем и следующих двух параграфах мы изучим влияние необратимых явлений на распространение звука 19]. Распространение звука может сопровождаться такими необратимыми процессами, как теплопроводность, вязкое течение, явления релаксации и химические реакции.
Мы покажем, что эти процессы вызывают дисперсию и поглощение звука. Сначала в данном параграфе мы обсудим некоторые соображения, связанные с акустическими явлениями в общем случае. Рассмотрим изотропную жидкую или газообразную систему, в которой, помимо процессов теплопроводности и вязкого течения, может иметь место один процесс релаксационного типа (или одна химическая реакция). Для такой системы закон энтропии Гиббса записывается в виде [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
