де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 49
Текст из файла (страница 49)
е. нет дисперсии звука). Мы получили результат Лапласа. Для одноатомного идеального газа последнее выражение запишется в виде „/ь~гт Гь ат (12.108) где К =1ч'А — газовая постоянная, а М =Мт — малярная масса. (в 9 5) для случая, когда, помимо релаксации, роль играют и про. цессы теплопроводности и вязкости. В заключение данного параграфа рассмотрим теорию распростра пения звука в жидкости (газе), в которой можно пренебречь всеми необратимыми процессами. В этом случае соотношения (12.87)— (12.93) дают Вязкое сечение к явления релакеоцио ф 4.
Акустическая релаксация вязкости, но получим сле- !ае = рА, Из уравнений (12.111) — (12.113) с учетом (12.73) получаем соотношение (12.96) с акустической восприимчивостью ~ до )», е ~ д1 )р,, ( до /л,, 1 — во~ ' (12,115) так как (дх/ду), (ду/дг)„(дг/дх) = — 1, если между к, у н г сушествует функциональная связь. Дифференцирование при постоянном А следует производить при А = О, так как начальное состояние, относительно которого мы производили разложение термодинамических величин. есть состояние равновесия, при котором сродство А обращается в нуль.
В двух предельных случаях нулевой и бесконечной частот из этой формулы получаем и (0) =~ — ) +(д.) ( — ') =® = — (О (12 116) 'Л, 5 к (со) = ~ — ) = — — ( О, /др! 1 (12.1! 7) ~до)»,е от»,е куда входят две изэнтропических сжимаемости ул, н т»,. Первая нз них должна быть взята при постоянном сродстве А и для равновесия, Т. а. при А=О. Вторая изэнтропическая сжнмаемость должна быть взята при постоянном ~, т, е. для состояния, в котором процесс релаксации заморожен при значении степени развития процесса.
равной $ . Неравенства в последних двух формулах выражают условия термодинамической устойчивости. Из (12,73), (12.74), (12.116) Если пренебречь эффектами теплопроводности и сохранить явление релаксации, то из (12.87) — (12.93) дующую систему уравнений: ,ее р = — — озо 7(.А о я=О, (12.109) (12. 110) (12.111) (12.112) (12. 1 13) (12.114) Глава КП и (12.117) можно найти несколько полезных выражений для разности между к(0) и к(со): к(0) — к(со)= — (,~~ ) ~~А) ~ Д ) 1дА)в,,~ дв)е,, ~ ~ до )е (Неравенство следует из условия д~/дА~~О, которое опять является условием термодинамической устойчивости.) С другой стороны, из (12.73), (12.116), (12.117) и соотношения Максвелла, которое следует из того факта, что Ф(и — А":) есть полный дифференциал, имеем ~~о~ —.~~>=ф) — ( — ';) = — ( р) ( — ") =~ д1) (д ) = — (~ ) )~0.
(12.119) Следовательно. мы можем записать (12.115) в виде к(а) = к(оо)+ (к(0) — к(со)) .. (12.120) Мы получили общее выражение для спектра релаксации, обсуждавшееся в гл. ЧШ и Х, Разделяя к(а) на действительную и мнимую части к(а) = к'(а) + 1к" (а), (12. 121) получаем из (12.120) к'(а) = к(со)+ (к(0) — к(со)) 1,, О, (12,122) к"(а)= (к(0) — к(оо)) 1,,)~0 (длЯ а) О).
(12.123) Эти две функции удовлетворяют дисперсионным соотношениям, обсуждавшимся в гл. Ч111. Неравенство следует из неравенства т)~0 1см. (12.73)1 и неравенств в (12.116) — (12.118). Из (12.96) и (12.109) следует, что соотношение (12.94) в этом случае имеет вид „ггг — — = к(а). К К (! 2.124) Подставляя сюда (12.95) и (12.121), можно решить полученное уравнение относительно 7з и 7. Это дает Вязкое течение и явления релаксации где верхний знак относится к к, нижний — к Т и где значения к' и к" даются формулами (12.122) и (12.123). Мы нашли, таким образом, скорость звука с=а/й и затухание Т.
Мы видим, что с ч -'ь увеличивается от значения р-' [к(0)['=(р)(„) д при а — О до чения ро'[к(со)[ '=(роХ~,) ' при в=со, проходя через „область дисперсии" вблизи а=т '. Аналогично, Т увеличивается от нуля при в=О до максимума вблизи в=т ', а затем вновь уменьшается до нуля при а=со. Измерение либо дисперсии, т. е. функции с(а), либо адсорбции [(а) позволяет найти время релаксации т при помощи общих формул. приведенных выше. Наибольшее практическое значение имеет случай релаксации, обусловленной передачей энергии между колебательными и поступательными степенями свободы многоатомных молекул. Это явление было подробно изучено экспериментально.
Другим важным случаем является релаксация при наличии химических реакций, например диссоциацни двухатомного газа, которая была впервые исследована Эйнштейном [11[. Общая формула (12.125) упрощается в частном случае, когда к (0) — к (со)(([ к (со) [; (12. 126) в известном приближении это неравенство экспериментально реализуется в ряде случаев. Тогда для всех значений ат имеем к" (в) (([к'(а) [; (12.127) следовательно, из (12.125), используя тот факт, что к'(а) есть отрицательная величина, получаем приближенно Уг = аРо[к'(а)[ ', с~ =Р а[к'(а)[, (12.128) Т вЂ” 2 арок'(в) [к (О)[ (12. 129) При учете (12.122) и (12.123) эти формулы принимают вид се=, + [к(со) [ [к(0) — к(со)[ 1 (12.
130) Ро Ро 1+а т Ре к (О) — к(со) вет т 2 [к(0)[л 1+ .. ( ) тогда, используя (12.84), получаем р. = — ~ — к я „" > О. (12,132) а [ й (О)[ [ к (О) [ 1 -[- ~е (Заметим, что при ат ((1 коэффициент Т пропорционален атт. а коэффициент р пропорционален ат.) Глава лП Если построить график зависимости величин ез и р от 1и в, тв получим дисперсионную кривую с точкой перегиба при в=т-~ и кривую поглощения с максимумом при этом значении в. Возвращаясь к общему случаю. рассматриваемому в этом параграфе, вычислим теперь из (12.111) — (12.114) восприимчивости, определенные формулами (12.97) — (12.99). Используя также (12,73) и (12.74), находим температурную восприимчивость ~~( )=(г ) -~-1 д, ) ( — „),.„, (32133~ откуда имеем (12.134) В правые части этих формул входят адиабатические коэффициенты расширения ал, и а;, соответственно при постоянных А и Далее находим восприимчивости ю=( — ") (12,135) Второй член в правой части соответствует вкладу явлений конвекции.
Мы изучим случай „монохроматической" звуковой волны с частотой ва. Такая волна описывается выражением [см. (8.173)] о(г; г) — во= 2 о(г)е-' '+ 2 о'(г)е'"', (12.139) 1 1 фурье-образ которого по переменной 1 равен о(г; в)=п ~гг(г)Ь(е — ео)+о*(г)Ь(в+~во)).
(12.140) Запишем (12.138) с помощью интеграла Фурье: ао — р — = — — / ~ 1в'р(г; ю)о'(г в)е-'1" "О'АоИа'— ав — р, — + Конвекционный член. де (12,141) где мы использовали (12.74). Рассмотрим теперь диссипацию звуковых волн. Энергия, рассеиваемая на единицу массы в нашем случае, когда т1,=0, т)=0 и ),=О, согласно (12.60), равна ди Ые до ав — = — Р— = — (Р— Р ) — — (Р— Р )ю (1гапо — Р—. (12.138) де де о де о о,ц Вязкое течение и явления релаксации, Ввиду того. что к не зависит от К, находим нз (12.96) р(г; а)=к(а) й(г; а), (12.142) где р(г; а) — фурье-образ р(г; 1) — р, только по переменной Ф.
(Это также обратный фурье-образ р(Ф; а) по переменной Ф.) Следовательно, вместо (12.141) имеем НФ 4 т Х ~ 1ак(а)™(г; а)о (г; а)е Г ')~а~~с(~ с1о — р — + Конвекционный член, о лт (12.143) откуда после подстановки выражения (12.140) находим с1о гао — р — = — — (к(ао) — к( — а ))1 (о(г) Р+Осциляирующие члены; а 4 ( о о (12.144) Таким образом, диссипация энергии на единицу массы за период 2тс/ао равна ') «/а~а — ~ р — Н = яки (аД о (г) (' ) О.
-«,ч«д Неравенство следует из (12.123). В частном случае плоской звуковой волны имеем тз (г) оеьк ° г оегл г — т г н поэтому ~ о (г) (з = ~ о 1т е - тт (12.14?) (12.148) где в явном виде проявляется затухание, определяемое множителем,. В нашем случае, когда мы пренебрегаем теплопроводностью и вязким течением, из формулы для производства энтропии (12.56) получается следующее выражение для диссипации на единицу массы: — = — А — = — А — — Ап 8таб ",. (12. 1491 Те а'с дс ат дт ') Этот общий результат можно сравнить с (8,178), здесь мы не выписываем явно зависящие от времени члены (осциллнрующие с частотами ао и Зао).
Учитывая соотношение к(а) = к'( — а) 1см. (12.120) и (8.!04)) н соотношение (12.121), последнее выражение можно записать в виде — Р ' — = 2 'оок (ао)1о (г) )~+ ОсциллиРУющие члены. (12.145) ,<Й~ 1 ат 2 Глава Х// 304 Г!роводя вычисления по той же схеме, что и выше, получаем [ис пользуя (12.98) и (12.99)[ следующее выражение для диссипации на единицу массы за период 2я/ве: »/мр — / А — ' пг 2 к/ [ке(юо) нлЬ>е) — /с.'(ео)~л (<~о)[ [т/(/) [~.
(12.150) Используя выражения (12.136) и (12,137) для восприимчивостей, нз (12.150) получаем »/'»о дт ~ д:- /.,,',до/„„1+ ф' Из (12.116), (12.11?) н (12.123) сразу же находим, что это выражение можно записать в виде »/о>» — ~ А ~' //= е"(,)~ ()['> 0. дт (12.152) -»/»» Этот результат совпадает с (12.146), что и следовало ожидать. Покажем, наконец, что в области малых частот (вт((1) явление релаксации формально играет ту же роль, что и объемная вязкость, и выведем выражение для „эффективной объемной вязкости" через релаксационные величины [12, 13[. Заметим прежде всего, что при мт (( 1 восприимчивость (12.120) можно приближенно записать в виде к (а) = к (0) + [/г (0) — /г (со)/1 йот (12.153) или после подстановки (12.116) и (12.119) »( ) [»+/ -1- — [ — ~ (12.154) (12.156) Аналогично для ат((1 восприимчивость (12.137) запишется в виде (12.155) ~ до/»,» Используя в (12.96) и (12.99) последние два выражения и осуществляя обратное преобразование Фурье, получаем 'др' ~о/А,з Вязкое течение и явления релаксации где в последней формуле было использовано соотношение (12.73), а также математическое соотношение С учетом (12.64) мы можем записать (12.156) и (12.157) в виде ! др'1 1 / да;Я Р вЂ” Ро = ~ — ) (тт — кто) — ! — ) с!!ч й, (12.158) о 1 да)л,а 1ро !,да)я,а А= — — ( — ~ 6!ч а.
1 /да~ (12,159) — ». ~дав.„ Первую из этих формул можно подвергнуть дальнейшему преобразованию, если заметить, что вместо (12.61) уравнение состояния для давления может быть записано как (12.160) р = р (та, А, г); это дает следующее линейное приближение: р — а =! — „) (в — г)-~-(аа! А-$-( — ! Π— г~.(12.|61) ! д Р Ро= ~ ) (~ ~о). рава ! Р о ~дат!», (12.162) Равновесное давление рр"", даваемое этим соотношением, входит также в уравнение (12.158), которое, следовательно, можно записать так: 1 Удрала р= рр- — — 7 — ) Рро дат)л а (12.163) Далее, производство энтропии (12.56) для рассматриваемого случая (т. е. в пренебрежении членами теплопроводности н вязкого течения) с учетом (12.57) записывается следующим образом: а= — — о — А= — рА, Ро сто Ро о Т Л Т Р откуда после подстановки (12.159) получаем а = ~ — "7! (с!!ч ю)а. ТЬро 1 дат)л а (12.165) Здесь мы использовали равенство нулю сродства при равновесии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
