де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 48
Текст из файла (страница 48)
гл. 111 и Х, в частности формулу (10.18)). йв аи гГв гй Т вЂ” „= — +р — — А —, аг аг аГ ат ' (12,55) ягай Т П йги гг П': (Огай в)' р д$ ч Т2 Т Т Т, А )~ О. (12.56) феноменологическое уравнение для процесса релаксации записывается в форме а% — = — — -А= — рА, йГ рт (12.57) если отсутствуют перекрестные члены, содержащие й!ие (см., однако, гл.
1Ч, э 2). Коэффициенты 1 и р положительны, поскольку величина в должна быть неотрицательно определенной. Другими феноменологическими уравнениями являются уравнения (12.24) и (12.25) (где мы опускаем возможный перекрестный член со сродством А) и (12.26). Предположим, что теплопроводность ), сдвнговая вязкость и1 и объемная вязкость 4, являются однородными величинами.
Явлениями. связанными с вращательной вязкостью 4„ пренебрегаем. Таким образом, имеем закон сохранения вещества (2.14) ав р — = й1ич> аг (тг=р ') (12.58) где А — сродство релаксационного процесса, а Р— переменная, характеризующая степень развития процесса. (Обобщение на случай более чем одного релаксационного процесса очевидно.) Закон баланса энтропии, следующий нз законов сохранения и закона энтропии(12.55), имеет обычную форму (12.21) с учетом (12.22), но интенсивность источника энтропии имеет вид Глава ХП 294 во внимание, что в равновесном состоянии сродство обращается в нуль.
Девять производных в последних трех уравнениях являются соот ветствующими равновесными величинами. Из трех диагональных элементов получающейся матрицы первый связан с изэнтропической сжи маемостью у;, при постоянном ~, а именно (др/дп);, = — (поуу,) '. Из условия термодинамической устойчивости следует, что сжимаемость должна быть положительной величиной. Второй диагональный элемент есть производная от сродства А по переменной ~ при постоянных и и г или, что то же самое, при постоянных и и и, как это видно из (12.55). Эта производная в сочетании с величиной р типа скорости входит во „время релаксации" -., определяемое как характеристическое время, в течение которого о уменьшится в в раз по сравнению с ее начальным значением при постоянных о и и (см. гл.
Х). Действительно, из (12.68) вытекает — = — Р 1=~ (ч — ~о)' дЕ дА1 дс д.= 1в, „ (12.72) следовательно (1 2.74) (12. 73) Неравенство следует из условия ~)~0 (так как производство энтропии есть величина неотрицательно определенная) и условия термодинамической устойчивости (д",/дА) )~ О. Третий диагональный элемент (дТ/дв)в ~ равен (Т/с„;), где с; — теплоемкость при постоянных ю и ~. Эта величина опять положительна в силу условия термодинамической устойчивости. Шесть недиагональных элементов связаны попарно соотношениями Максвелла, которые следуют из (12.55): Физический смысл этих величин ясен из самих обозначений: так, первая и последняя дают изменение давления и температуры на единичное изменение переменной ~ во время процесса релаксации при постоянных объеме и энтропии. Вторая величина связана с коэффициентом расширения при постоянных ч и в. Заметим, что все равновесные величины при постоянном ~ должны быть взяты при равновесном значении этой величины г = .
Запишем теперь каждую из восьми физических величин г/(г; г) в виде четырехмерного интеграла Фурье в форме ,7(у- 1) ' ' " "~7(й ы)в-~«л+юв гав </ч, (12.75> Вязкое течение и явления релаксации Мы предполагаем, естественно, что этн интегралы существуют, при- чем параметры а н й являются действительными. Фурье-образ дается выражением ,т(ь ы) — ~ ~,7(~" Г)е~ и-1» едете (12. 76) Можно обобщить определение преобразования Фурье на случай комплексных значений К=й+'Т (12.77) и написать ",7(К.
а) ~' ~ с7(г. г)еы-~к с(гЖ, (12.78) где величина Т должна лежать в некоторых пределах, обеспечиваю- щих сходимость интеграла (12.78), если интеграл (12.75) с заменой й на К сходится при этих значениях Т 1103. При этих условиях можем написать вместо (12.75) с7(г; т)=~ — ) ~ ~ с7(К; а)е-' '+'и'еИйо (12.79) или, с учетом (12.77), 70"' Г)=~~ ) ~ ~ Ч(К; ы)е "+"'-1'Иа~~. (12.80) Из (12.78) следует 1КЧ(К; а)= ~ ~ агадд(г; г)е'"'-'гс'ИгН, (12.81) где га — единичный вектор. Из (12.80) и (12.82) получаем, что функ- ция д(г; с) может быть представлена суперпозицией аатухающих пар- циальных волн с амплитудами д(К; в)е-т'", направлениями распро- странения и и фазовыми скоростями (12.83) откуда видно (если д — скалярная величина), что й и Т в (12.77) являются параллельными векторами.
Можно, следовательно. записать эти векторы в виде Т=Тм (12.82) Глава ХЕЕ Амплитудное затухание на единицу длины определяется множителем 7. Следовательно, коэффициент амплитудного затухания на расстоянии одной длины волны 2к/й равен безразмерной величине 2ят (12.84) Используя фурье-преобразование (12.78), получаем вместо (12.64) и (12.65) соотношения 0)рво — К 'в, (12.85) Е'вРо'в =ЕКР— Ч(К ' К) в ~ 3 «1+'Ъ) К(К' 'и), (12.86) где о и о — фурье-образы функций о — ив и о — пв.
Исключая в из этих уравнений, получаем Р= — ~ (К.Е() Ро+Ев~ ~3 т1+'Ъ)~ о. (12.87) Выполняя фурье-преобразование соотношений (12.66) †(12.71), находим чьорвй = — вРврво — Е) (К. К) Т, (12.88) Тз=й+рр. (12.89 ) (12.90) (12.91) Еа ='РА, (12. 92) (12.93) (12.94) У ('"' К ' К) = О что эквивалентно двум действительным соотношениям. Следовательно, решения нашей системы уравнений должны представлять собой супер- позиции парциальных волн (звуковых волн), у которых К и в связаны этими соотношениями. Скорость с и коэффициент амплитудного затухания ( звуковых волн теперь однозначно определяются часто- Система алгебраических уравнений (12.88) — (12.93) для фурьеобразов р. о и т.
д. величин р — рв, о — ор и т. д., которые все являются функциями К и в, допускает неравные нулю решения, если детерминант из коэффициентов обращается в нуль. Это условие дает комплексное соотношение между а и К в форме Вязкое течение и явления релаксации той а. Действительно, для данного направления распространения га мы можем найтц две действительные величины 7е и т из (12.94) с учетом (12.77) и (12.82). В нашем случае изотропной системы К входит в соотношение (12.94) только в виде К ° К.
Последняя величина, которая, согласно (12.77) и (12.82), может быть записана в виде К К= йз — Тэ+ 2йт, (12.95) (12.96) (12. 97) (12. 98) (12. 99) Т= ктчз. Е =ссету, А =се„о. Коэффициенты. входящие в эти формулы, будут называться восприимчивостями э). Мы вычислим эти восприимчивости и соответствующие свойства дисперсии и затухания звука в следующих двух параграфах: сначала (в 9 4) для случая, когда существует процесс релаксации, но можно пренебречь явлениями вязкого течения и теплопроводностн, а затем ') В аннзотропной системе, однако, соотношение (12.94) в общем случае имеет вид у(в; К) =О. Если найти я и т нз этого уравнения, то получатся выражения, зависящие как от в, так н от и. Это указывает на зависимость скорости звука и затухания от направления распространения волны.
е) Величина н, введенная здесь, должна соответствовать обратной восприимчивости в смысле гл. ЧП1. Это объясняется тем, что мы для удобства поменяли ролями и-переменную (здесь и) и движущую силу Р (здесь р).так как в системах, рассматриваемых в данной главе, легче фиксировать и и найти влияние на р, чем осуществить обратную процедуру, которую мы применяли в гл. Ч1Н. Этн обратные восприимчивости удовлетворяют условиям причинности (см. гл. ЧШ).
не зависит от и. Это значит. что й (или скорость звука с = ю/л) и т, получаемые из (12.94), будут функциями только а и не будут зависеть от направления распространения п '). Рассмотрим теперь поляризацию звуковых волн, т. е. направление колебаний, которое определяется вектором ю перемещения элементов вещества по отношению к направлению распространения и; последнее, как мы видели выше, совпадает с направлением К.
Из уравнения (12.86) видно, что вектор чэ 1который согласно (12.78) параллелен ю] параллелен К. Таким образом, поляризация звуковых волн в рассматриваемой системе является продольной, т. е. колебания происходят в том же направлении, что и распространение волны. Из системы уравнений (12.88) — (12.93) можно найти величины р, Т, 1 и А (а также и и з) как линейные функции ян Глава ХП 298 (02 Р= . Ро 2 К К о (12.100) я=О, (12.101) (12.102) Т ( — ) о, (12.103) что указывает на изэнтропический и неизотермический характер распр гранения звука.
В силу (12.96) и (12.97) последние два выражения означают, что восприимчивости суть 'др' 1 к=( — ) = — —, , до оул' (12.104) (12. 105) где у — лзэнтропическая сжимаемость и а,— изэнтропический коэффициент расширения. Далее, (12.94) записывается просто в форме к 1 (12.106) К. К Ро Ро«» это означает, что величина К действительна. Следовательно, затуха- ние отсутствует ((=О) и скорость звука (12.107) 1~РОх не зависит от а (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
