де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 21
Текст из файла (страница 21)
— 1,). (8.1) Этим свойством инвариантности относительно сдвига по оси времени в микроканоническом ансамбле обладает также и совместная функция РаспРеделениЯ 1 (а,, 1,; пг, 1; ..., и„„ 1 ) длЯ т пРоизвольных моментов времени. Отсюда следует, что микроканонпческий ансамбль соответствует стационарному случайному векторному процессу и (1). Глава 7111 126 Матрица корреляционной функции р(т) для зтого процесса определяется соотношениями (а (1) а (1+ с)) — = ~ / аа'7 (а, 1; а', 1+ т) а а (с(а' (все т), '7'(а, а'; ) с1а с1а'= (8.2) ~ аа'1 (а) Р (и ~ а', с) сна (Ка' (т > 0), ()= где Р (а ) а', т) — стационарная плотность условной вероятности (см.
(7.68)1. Из стационарности процесса а (1) следует, что р (т) = р ( — т), (8.3) так как (а(1)а(1+ ))= ~ / аа'7" (а, 1; а', 1+ )сна(Х~'= а'У(~, 1 —; ~', г(Ш~Ш '= =(~(Я вЂ” (и(ф=(аЯ Р вЂ” ((, (8.4) где мы использовали свойство (8.1). Вместе с тем из свойств микроскопической обратимости следует, что для а-переменных р(с) = р(т), (8.5) так как ~ ах'7(а) Р(а~а'; ч)с1а(1а'= ~ ~ аа'7(а')Р(а'(а; с)(((а,1а~ = ) ~ а'а1 (а)Р(а~а', т)с1ас1а'.
(8.6) (8.7) (8.8) (8.9) где первое равенство вытекает из свойства микроскопической обра- тимости (7.83). Если при описании системы используются также и переменные р-типа и если к системе приложено внешнее магнитное поле В, то вместо (8.5) имеют место соотношения р (т, В) — р (с, — В), р (; В)= — р (т; — В), Рва (т; В) = р((, (т; — В), фядктуачиоино-диссипациоиния теорема 127 где р„„(т; В) =(а(г) а(Ю+т))в, р (т', В) =(а(с) р(Е+т)),, ( В) — (Р (~) г' (~+ т)) (8. 10) (8.1 1) (8.
12) Индекс В здесь указывает, что средние должны быть взяты с функциями распределения, зависящими от внешнего магнитного поля. Соотношения (8.7) — (8.9) следуют из (7.93) с учетом (7.33). Заметим далее, что, согласно (7.20), имеем р(0) =(а(г) аИ)) =?а-'. (8. 13) Для случая линейных законов затухания флуктуаций (7.94) с решениями (7.96) матрица корреляционной функции имеет вид р(т)= ~ ~ аа'К(а)Р(а!а'; т)сКасйс'= = ~ а(е™ а)7'(а)сйс=?сц-' е™ (т ~ О), (8.14) Е= — О м= — й 11 др (к) с + 0 д (8,16') Для стационарных процессов имеет место важная теорема,— теорема Винера — Хинчина, которая связывает корреляционную функцию с так называемым спектром процесса. Чтобы сформулировать эту теорему, определим стохастическую векторную переменную а(с; ?'), такую, что (а(с), если 1с~ ( Т) а(?; Т)=! .
), 1!ш а(Е;Т)=а(~). (8.17) если !с~ ) Т) г-1, Тогда а(г; Т) можно разложить в интеграл фурье: а (~; Т) = —, / а (ы; Т) е-""' аЪ. (8.18) где использовано также определение (7.95). Поскольку р(т) удовлетворяет условию стационарности (8.3), имеем для положительных н отрицательных значений т (8 15) ~ ?се-м ~" ц-' (-. к" О) ! Матрица ( коэффициентов линейных законов затухания флуктуаций связана с матрицей корреляционной функции следующим образом: 128 Глава !т!П Для фурье-образа функции а(~; Т) а(в; 7)= / а(1; Т) е'""И (8.19) имеем а (в; Т) = а' ( — в; 7), (8.20) так как а (г; Т) — величина действительная (звездочка обозначает комплексно сопряженную величину).
Рассмотрим матрицу 3 (в)= 1!ш — а*(в; 7) а(в; Т). т+ -"7 (8.21) Используя (8.19), находим ОЭ 3(в)= — / сне'". !!тп — ~ а(1; 7)а(1+т; 7)сИ. (8.22) 1 1 я т~ т т р()=( (г) (1+ ))= !нп Т ~ ® (1+~)'11= т.+ со = !!'и — ) а(г; Т) а(г+с; Т)еУ. (8.23) т т Подставляя это выражение в (8.22), получаем — ( ) ег -.атт 1 т (8.24) или, применяя обратное преобразование Фурье, СО = — Г 3( ).- -Ы 2 (8.25) Соотношения (8.24) и (8.28) выражают теорему Винера — Хинчина, согласно которой корреляционная функция и матрица 3 (в), так называемая матрица спектральной плотности, связаны между собой преобразованием Фурье.
С другой стороны, согласно основному постулату статистической механики, средние по фазовому пространству от динамических функций в микроканоническом ансамбле равны средним по времени. Следовательно, флуктуационно-дисеиаационнаа теорема 129 Матрица спектральной плотности имеет следующие свойства. 1. Из определения (8.21) следует 8( )=8*( ). (8.26) Таким образом, матрица 8 (в) является эрмитовой. [Это свойство следует также из (8.24) с условием стационарности [8.3).[ 2. Из условия действительности (8.20) вытекает, что 8 (») = 8е( — а).
(8. 27) [Это свойство вытекает также непосредственно из (8.24), так как матрица р(т) действительна.[ 3. Из определения (8.21), кроме того, следует, что ф ° 8 $*= 1нп — [$ п(а; Т)[з) О, т -Т (8. 28) где ф=т[+1~ — произвольный и-мерный комплексный вектор (т[ и ~ — произвольные действительные и-мерные векторы). Таким образом, эрмитова матрица 8 является положительно определенной. Запишем теперь матрицу 8(в) в форме 8 (а) = 0 (а) + [Н (в), (8. 29) где Я и Н вЂ” действительные матрицы. Тогда из (8.26) имеем Я (а) = Я (ю), (8.30) Н (ы) = — Й (~).
(8.31) Следовательно, действительная часть 8 является симметричной, а мнимая часть — антисимметричной. Далее, из (8.27) имеем О (а) = 0 ( — ы), Н( )= — Н( — ~). (8. 32) (8.33) 8 ~8= т[ 0 ° т[> О, (8.34) так как, согласно (8.31), Н т[=0. (8.35) Таким образом, Я является действительной положительно определенной симметричной матрицей, четной по а, тогда как Н является действительной антисимметричной и нечетной по а. так что действительная часть 8 является четной, а мнимая — нечетной функцией о. Наконец, из (8.28) следует, что 130 Глава П0 Применяя (8.29), (8.32) и (8.33), получаем вместо (8.25) р(т) = ~ 8(а) соз оп йо+ ~ Н(оо)з1п в".Ив.
(8.36) о о Для -.=0 из этого выражения находим, используя (8.!3), р (0) = (оок) = 1оц ' = / 0 (а) ~Хв. о Для одной переменной я это дает р(0)=(ао)=1од ~= ~ 6(со)с(в, о (8. 38) где 6 (оз) — положительная величина 1см. (8.34)1. Величина 6 (в) Иа представляет вклад, вносимый в среднюю флуктуацию а компонентами а(г), частоты которых лежат между ш и а+Иа. Отсюда и наименование „спектральная плотность", в силу чего матрица 8 называется „матрицей спектральной плотности". До сих пор мы не рассматривали влияния микроскопической обратимости на свойства матрицы 8.
Учитывая (8.5), получаем для переменных оо-типа соотношение Я (в) = 8 (в), (8.39) что следует из (8.24); следовательно, в силу (8.29) — (8,31) Н(оз) = О. (8,40) Таким образом, (8 36) записывается в более простом аиде: р (а) = ~ Я (м) соз опт сна. о (8.41) (8.43) Для. переменных оо- и р-типов и при наличии магнитного поля вместо (8,24) имеем 8„(м; В) = — ~ р„„(;; В) е'" гй, 1 (8.42) В.Е(оо; В) = — ~~ р (т; В) е'""гГо, 1 е Зве(а; В)= — ~ р (т; В)е' 'е(т. 1 г (8.44) Матрицы Я„„и 8во снова удовлетворяют условиям (8.26) — (8.28) или (8.30) — (8.34).
Вводя определение З„е (о>) = (а„» (в) +1Н„о (со) (8.45) где как 8„е, так и 8е„ удовлетворяют условию действительности (8.27). Из условий микроскопической обратимости (8.?) — (8.9) следует теперь (8. 49) (8. 50) (8.51) илп, с учетом (8,45) — (8.48) и соответствующих соотношений для 8ае 8ер Оаа Ора Н«и и Нас О,„(а; В) = — О,„(а; — В). Н.. (м; В) = — Н,. (а; — В), О„а(ы; В) = — О а(а; — В), Н а(~о; В)=- Н„а(со; — В), (8. 53) Осе(м' В) = Оаа(а' — В). Нас(ы; В) = — Нра(ы; — В).
(8.54) Заметим, что для В = 0 имеем н =о, в. =о, н =о. (8.55) Если число переменных Р-типа равно числу переменных сг-типа и если Р-переменные являются производными по времени от и-переменных 1см. (?.121)1, то получим Р'О() ( ( г("+ )) ( ()дт (+ )7 д д д (с) сс(с + т)7 — д Р„ (т) = д Р„ ( -.), (8.56) (8.57) д д . де = — (ф(1) ас(1+т)) = — р (с) = — — р (;).
(8.58) Флунтуаиионно-диссиоаиионнан теорема для матрицы 8,а, мы вместо (8.26), (8.30) и (8.31) имеем 8.а (~о) = 8г. (и ), Оа5 (ы) — Ода (а>), Наа (~о) — Наа (<а). 8,„(а; В) = 8,„(а; — В), 8.а(; В) = — 8,.«', — В), 8~с(и1; В) = Яеа(ю; — В), р,„(т) = р„,( — т) Рея (т) = (Р И) Р И+ т)) = (Р И): м (е+ т)) = (8.46) (8. 47) (8.48) Глава ИП 132 В последнем равенстве (8.56) использовано условие стационарности (т) = р ( — т) (см. (8.3)!. Соотношение (8.57) есть условие ста. ционарности для матрицы корреляционной функции рв.(т). Наконец, в (8.58) использованы оба соотношения (8.57) и (8.56). Из (8.42) — (8.44) с учетом (8.46), (8.56), (8.58) и (8.25) сл .
дует 8.в=8в.— — — со8... 8вв= '8- (8.59) (8.60) или, эквивалентно, О«в = (яв = аН (8.61) Нав = Нва = ся0аа 0вв = м Йаю Нвв=<> Наа. (8.62) р (т) = 7гд-'е-и1'!. Из (8.24) получаем спектральную плотность (8.63) (8.64) В качестве второго примера возьмем случай системы. на которую не действует внешнее магнитное поле и которая описывается одной сс- и одной 13-переменными, причем р = и, Эти переменные подчи- Из (8.61) находим, что матрицы 0,в и Ов„являются антисимметричными, и Н„в н Нв„— симметричными, так как матрицы Н„и Я„ являются соответственно антисимметричной и симметричной.
Микроскопическая обратимость в этом случае полностью выражается соотношениями (8.49) или (8.52). Соотношения (8.50), (8.51), (8.53) и (8.54) не содержат никакой дополнительной информации. Как приложение рассматриваемой теории вычислим спектральные плотности корреляционной функции в двух частных случаях. Вопервых, рассмотрим случай одной переменной я-типа, подчиняющейся уравнению затухания флуктуаций (7.94). Корреляционная функция дается при этом 1см.
(8,15)] выражением Флуктуационно-диссилационная теорема няются линейным уравнениям затухания флуктуаций (7.127) и (7.128): ди („)~ю Ре дт (8.65) ~1(т)"' ' й'-1 ( )ям Ее Л4[о( )ян Ре (8. 66) дт где мы обозначили символом Л4 величину йЛ . Матрица корреляцион- ной функции в этом случае имеет вид р (т) = = й, ° (т ) О), (8.67) где матрица М дается формулой н=( „, ). (8. 68) Выражение (8.67) получается, если выписать в явном виде матричное соотношение (8.14) для данного двумерного случая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
