де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 22
Текст из файла (страница 22)
[Соотношение (8.14) было получено независимо от каких-либо свойств четности а- нли нечетности р-переменных и, следовательно, применимо в рассматриваемом случае.] Сушествуют только два диагональных элемента матрицы ц ', так как равновесные корреляции между переменными а- и р-типов обращаются в нуль. Мы обозначили величину (ат) символом йя' ', а величину фт) символом йй ' в согласии с гл. Ч11, 9 2, и применением этих символов в уравнениях (8.65) и (8.66). Форма (8.68) матрицы Я следует из рассмотрения уравнений (8.65) и (8.66). Явное вычисление элементов матрицы (8.67) в замкнутой форме довольно трудоемко, поэтому мы воспользуемся иным методом.
Подставляя (8.65) в (8.66), получаем дифференциальное уравнение второго порядка: дел (т)~м З: д, + М д +й'й 'и(т)"~ '~=0 (л) О). (8.69) Умножая это уравнение на и и усредняя с помощью равновесного распределения 7 (ао, р ), получаем, согласно определению р.. [см. (8.2)[ р..(т)=„~,~ иаир(ио Ро)р(ао до[а Р' т)(*о4одМ (8 70) дифференциальное уравнение ~" ( ) + М Р" ( ) +уй 'р „(с)=0 (т) 0). (8.71) Это уравнение, которое по существу является уравнением гармонического осциллятора с затуханием, имеет общее решение р„„(т) = е-'йм'(с соз (о'т+ са з1п в'т) (т ) О), (8.72) Флунтуалионно-диссинайионнан теорема 135 11спользуя теорему Винера — Хинчина (8.24), получаем спектральную плотность для рассматриваемого случая (8.78): 2 МЫ~- ' ~па ( ) н (ит а и — !)2+ итят ' (8.80) В случае очень сильного затухания 1М)) )тс8'7т ') и для а((М эта функция сводится к 2 Ад' ' (д/ЛМ) ии ( ) ~ ~ 1 (й1ЛМ)т (8.81) Согласно (8.64), этот спектр соответствует функции (8.79).
Условие в((М выражает тот факт, что для больших времен т)) М вклад в р..(т) дает только низкочастотная часть спектра. Спектральные плотности Ю.а, Юа, и о можно получить из(8.80) путем умножения соответственно на — 1а, па и оР, как это следует нз (8.69) и (8.60). Гауссовы процессы полностью определяются спектром корреляционной функции. Действительно, для гауссова процесса первая, или равновесная, функция распределения, так же как и совместная функция распределения для значений сс при двух моментах времени, являются гауссовыми, так что эти распределения полностью определяются величиной матрицы дисперсии, т. е. в конечном счете матрицей корреляционной функции (см.
задачи 6 н 7 к гл. Н11). Если матрица корреляционной функции имеет вид (8.16), то процесс является не только гауссовым, но и марковским (см. гл. Н11, й 6 и 7, и задачу 8). В двух рассмотренных примерах мы воспользовались теоремой Винера — Хинчина, чтобы вычислить спектральные плотности по известным корреляционным функциям. Это было возможно, потому что мы располагали (в виде усредненных уравнений затухания флуктуаций) достаточной информацией для вычисления корреляционных функций.
Может, однако, оказаться, что необходимые корреляционные функции не могут быть найдены столь простым образом. Даже если постулировать существование достаточного числа переменных („полного набора" ), условные средние которых подчиняются линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, может случиться, что наблюдаемо только ограниченное число этих переменных, тогда как относительно числа и свойств переменных остальной части набора ничего не известно.
Если в этом случае мы сможем экспериментально найти спектральную плотность, то по спектру сможем получить и саму корреляционную функцию. Существует, однако, так называемая „флуктуационно-диссипационная теорема", которая дает возможность связать в этом случае спектр поглощения (илн, эквивалентно, спектр дисперсии) существенных переменных со спектральными плотностями корреляционных функций. (Спектры погло- Глава ЛП щения нлн дисперсии можно наблюдать, подвергая систему действию внешней силы, которая влияет на рассматриваемые переменные.) В то же время микроскопическая обратимость, определяющая некоторые свойства матрицы корреляционной функции, также проявляется в свойствах спектров поглощения и дисперсии.
Прежде чем рассматривать флуктуационно-диссипацнонную теорему, изучим сначала некоторые математические аспекты принципа причинности, которые необходимы для доказательства этой теоремы. ф 3. Принцип причинности. Соотношения Крамерса — Кроннга Рассмотрим п зависящих от времени внешних движущих сил Г",(1), Ге(г), ..., Р„(г), действующих на исследуемую систему. Эти силы вызывают зависящие от времени реакции системы х, (1), х,(г), ..., х„(г). 1Например, в упругой среде механическая сила Г(г) вызывает удлинение х (г).] Для достаточно малых движущих сил соотношение между силами н реакциями является линейным и имеет внд х,. (т) = ~~ ~ к,»(т — г') Р»(~')Н' =~~ ~ к,»(т) Р»(à — т)сИ, (8.82) со О5 х (1) = ~ к (Ю вЂ” т') ° Г(Гй) вй' = ~ к (т) ° Р(~ — т) сКт.
(8.83) Поскольку реакция системы не может предшествовать во времени вызывающему ее эффекту, мы имеем для к следующее условие: к(1 — г') = О для т ( т' (8.84) нли к(т)=О для а С О. (8.85) Это соотношение выражает принцип причинности для рассматриваемого случая. Мы потребуем также, чтобы постоянная конечная движущая сила вызывала постоянную конечную реакцию. Это означает, что СО к (а) ~й ( оо, о (8.86) т. е. указанные интегралы должны существовать и быть конечными. где коэффициенты к,» — некоторые конечные функции времени, спе- цифические для системы.
В матричных обозначениях формула (8.82) записывается так: Флуятуационно-дигсипационная теорема 137 Разложим теперь функции х(1), Р(1) и к (1) в интегралы Фурье '): х(~) = — ~ х(со) е-'"" доз„ вЂ” СО Р(г) = — ~ Р(~) е-'"' а'~, к (1) = — ~ к (ю) е-'"' г(оп 2я .1 оде их фурье-образы х(ю), Р(ю) и к(ы) даются формулами Х (ю) = ~ Х (1) еь'и Н вЂ” СО Р(а1) ~ Р(Г) еи и ~(Е к(ю) = ~ к (1) е'"'1 И. С учетом этих соотношений (8.83) записывается в виде Х (а) = к (а) ° Р(оз), (8.93) где мы использовали интегральное представление Фурье Ь-функции: 8(у)= — ~ в тсй.
(8. 94) Величину й(ю) можно назвать обобщенной матрицей восприимчивости. Условие (8.86) означает в соответствии с (8.92), что матрица к(0) конечна или, иными словами, что й(ю) не имеет полюса при ю = О. Мы потребуем, кроме того. чтобы й(в) не имела полюсов (не обращалась в бесконечность) ни прн одном значении ю з). (8.
87) (8. 88) (8.89) (8.90) (8.91) ') Здесь принимается, что функции х(г), Р(Г) н к(Г) удовлетворяют требованиям, необходимым для того, чтобы функция была представима в виде интеграла Фурье. В частности, мы принимаем интегрнруемость квадрата к(г). Это означает, что функция к(г) должна стремиться к нулю прн Г-ьсо. Согласно теореме Парсеваля, отсюда следует также, что в этом случае «(и) стремится к нулю при е-ьсо. ') Можно показать, что полюса «(и) на действительной оси соответствуют недиссипативным обратимым вкладам в макроскопические законы, описывающие эволюцию системы во времени.
В настоящей теории предполагается, что такие вклады отсутствуют, так как мы рассматриваем только необратимые явления. 138 Глава УШ Найдем теперь, какое влияние условие причинности (8.85) оказывает на матрицу восприимчивости. Для этого распространим определение интеграла Фурье (8.92) также и на комплексные значения тв=а+ь аргумента.
Поскольку к (1) для отрицательных времен обращается в нуль, вместо (8.92) можно записать к(тв) = ~ к(8)е'"'й$= ~ к(1) е'"" "'Ж. а а (8.95) Для положительных значений а интегралы (8.95) существуют и являются конечными, так как множитель е-"' только улучшает схолимость. Кроме того, для э — з.+соуказанное выражение стремится к нулю. Таким образом, утверждение, эквивалентное (8.85) (и являющееся его следствием), можно сформулировать следующим образом.
Функция к(и), еде чв = а+ Ь, не имеет полюсов (особых точек) в верхней комплексной полуплоскости и стремится к нулю в пределе при ч — + со '). (8.96) В нижней комплексной полуплоскости интеграл (8.95) расходится. Здесь функция к(тв) определяется только как аналитическое продолжение этой функции в верхней полуплоскости и может в общем случае иметь полюсы, Из (8.96) можно получить другие формулировки принципа причинности, применяя теорему Коши, соглзсно которой для замкнутого контура в комплексной плоскости справедливо соотношение ~ у' (чв) дтв = О, (8.97) если функция у'(чв) не имеет полюсов внутри контура. Интеграл берется вдоль контура против часовой стрелки. Применим эту теорему к функции У( )=„"'„. (8.98) где и — действительная величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
